1、函數的極值與導數函數的極值與導數已知函數已知函數 f( (x)=2)=2x3 3-6-6x2 2+7+7 (1) (1)求求f( (x) )的單調區間的單調區間, ,并畫出其圖象并畫出其圖象; ;【復習與思考【復習與思考】 (2) (2)函數函數f( (x) )在在x=0=0和和x=2=2處的函數值處的函數值與這兩點附近的函數值有什么關系與這兩點附近的函數值有什么關系? ?xyo72-1（， ），（ ，）；（ ，） f(x)= 6x(x - 2)f(x) 0 -02 +f(x) 0 0 2解析解析（1）由由 得增區間：得增區間：由由 得減區間：得減區間：（2）函數函數f (x)在在x=0處的函

2、數值比其附近的函處的函數值比其附近的函數值都大，而在數值都大，而在x=2處的函數值比其附近的函處的函數值比其附近的函數值都小數值都小 設函數設函數y=f (x)在在x=x0及其附近有定義，及其附近有定義，(1) 如果在如果在x=x0處的函數值比它附近所有各點處的函數值比它附近所有各點的函數值都大，即的函數值都大，即f (x)f (x0),則稱則稱 f (x0)是函數是函數y=f (x)的一個的一個極小值極小值.記作記作:y極小值極小值=f (x0)極大值與極小值統稱為極大值與極小值統稱為極值極值, ,x0 0叫做函數的叫做函數的極值點極值點. .yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfox)

3、(2xf)(3xf 觀察上述圖象觀察上述圖象,試指出該函數的極值點與極值試指出該函數的極值點與極值,并說出哪些是極大值點并說出哪些是極大值點,哪些是極小值點哪些是極小值點. (1) 極值是一個極值是一個局部概念局部概念,反映了函數在某一反映了函數在某一點點 附近的大小情況附近的大小情況;(2) 極值點極值點是是自變量的值自變量的值，極值極值指的是指的是函數值函數值; (3) 函數的極大函數的極大(小小)值可能不止一個值可能不止一個,而且而且函函數的極大值未必大于極小值數的極大值未必大于極小值;【關于極值概念的幾點說明【關于極值概念的幾點說明】 (4) 函數的極值點一定在區間的內部，區間的函數的

4、極值點一定在區間的內部，區間的端點不能成為極值點端點不能成為極值點.而函數的最值既可能在區而函數的最值既可能在區間的內部取得，也可能在區間的端點取得間的內部取得，也可能在區間的端點取得.【問題探究【問題探究】 函數函數y=f (x)在極值點的導數值為多少在極值點的導數值為多少?在極值點附近在極值點附近的導數符號有什么規律的導數符號有什么規律?yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfox)(2xf)(3xf (1) 如果如果f /(x0)=0, 并且并且在在x0附近的左側附近的左側 f /(x0)0 右側右側f /(x0)0, 那么那么f(x0)是極大值是極大值【函數的極值與導數的關系【函數的

5、極值與導數的關系】 (2) 如果如果f /(x0)=0, 并且并且在在x0附近的左側附近的左側 f /(x0)0, 那么那么f(x0)是極小值是極小值 （3）檢查）檢查 在方程根左右的值的符號，如果左正右在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么負，那么 在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么 在這個根處取得極小值在這個根處取得極小值)(xf )(xf)(xf（2）求方程）求方程 的根的根0)( xf（1）求導數）求導數 .)(xf 求可導函數求可導函數 的極值的步驟如下：的極值的步驟如下：)(xf【求函數極值的步驟【求函數極值的步驟】例例、求函數求函

6、數 的極值的極值 4431)(3 xxxf例題講解例題講解解：解：)2)(2(42 xxxy當當x變化時，變化時， 的變化情況如下表：的變化情況如下表：yy , +00+極大值極大值y2(-2,2)-2xy )2,( ), 2(32834 極小值極小值令令 ，解得，解得2, 221 xx0 y當當 時，時，y有極大值，并且有極大值，并且2 x328 極大值極大值y當當 時，時，y有極小值，并且有極小值，并且2 x34 極小值極小值y例例、求函數求函數 的極值的極值 1)1()(32 xxf解：解：22)1(6 xxy當當x變化時，變化時， 的變化情況如下表：的變化情況如下表：yy , 無極值無極值極小值極小值0無極值無極值y+0+001(0,1)0(-1,0)-1xy )1,( ), 1( 令令 ，解得，解得1, 0, 1321 xxx0 y當當 時，時，y有極小值，并且有極小值，并且0 x0 極小值極小值y【思考交流【思考交流】導數值為導數值為0的點一定是函數的極值點嗎的點一定是函數的極值點嗎? 對于可導函數而言對于可導函數而言,其極值點一定是其極值點一定是導數為導數為0的點的點,反之導