1、四、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補充補充)三、已知平行截面面積函數(shù)的三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積第二節(jié)一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積二、二、 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線( ) (0)yf x=與直線,()xa xb ab=及 x 軸所圍曲則d( )daf xx=xbaoy)(xfy xxxd( )dbaaf xx=邊梯形面積為 a ,右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy 12( )( ) dbaaf xfxx=-xxxd例例1. 計算兩條拋

2、物線22,xyxy在第一象限所圍所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22yx=得交點) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxadd22332x01331x3110axxy22oy4 xy例例2. 計算拋物線xy22與直線的面積 . 解解: 由xy224 xy得交點)4,8( , )2,2()4,8(yyyad)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有yyyd42aabxoyx例例3. 求橢圓12222byax解解: 利用對稱性 , xyadd所圍圖形的面積 . 有axya0d4利用

3、橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時得圓面積公式xx dtoyxababoyx一般地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 )()(tytx給出時, 按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形面積21d)()(ttttta)(1axt對應(yīng))(1bxt對應(yīng)例例4. 求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tada解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042

4、)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20axyoa22u0.20.40.60.81sin4u2. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(c設(shè)求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r x d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2a所求曲邊扇形的面積為d)(212a 對應(yīng) 從 0 變例例5. 計算阿基米德螺線解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20a22a331022334a點擊圖片任意處點擊圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停到 2 所圍圖形面積 . ttadcos82042例例6

5、. 計算心形線所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02a02ad2cos44(利用對稱性)2t令28a43212223aoxya心形線心形線(外擺線的一種)2222yxaxayx即)cos1 ( ar點擊圖中任意點動畫開始或暫停 尖點:)0,0( 面積:223a 弧長:a8參數(shù)的幾何意義2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例7. 計算心形線與圓所圍圖形的面積 . 解解: 利用對稱性 ,)0()cos1 (aar2221aa22221aad)2cos21cos223(所求面積)243(2122aa22

6、245aa ar 2a2sin2a例例8. 求雙紐線所圍圖形面積 . 解解: 利用對稱性 ,2cos22ard2cos212a404a402a)2(d2cos0則所求面積為42a思考思考: 用定積分表示該雙紐線與圓sin2ar 所圍公共部分的面積 .2adsin2026ad2cos21462ayox44答案答案:二、平面曲線的弧長二、平面曲線的弧長定義定義: 若在弧 ab 上任意作內(nèi)接折線 ,0m1imimnmabyox當(dāng)折線段的最大邊長 0 時, 折線的長度趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧 ab 的弧長 , 即并稱此曲線弧為可求長的.iimm1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.(

7、證明略)ni 10lims則稱sdyxabo(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長xysbad12xxfbad)(12(p96)22)(d)(ddyxs(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長元素(弧微分) :因此所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長元素(弧微分) :(自己驗證)odrdr22d( d )

8、dsrr)ch(cxccxccsh1例例9. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成懸鏈線 .求這一段弧長 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂懸鏈線方程為例例10. 求連續(xù)曲線段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧長.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x421cos2cos2xx例例11. 計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(

9、t的弧長 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa221cos2sin2ttd222aa例例12. 求阿基米德螺線相應(yīng)于 02一段的弧長 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(參見分部積分法ppt)212a21ln2102)412ln(24122aa22222221ln()22aax dxxxaxxacxab三三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面

10、積為a(x), ,)(baxa在則對應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxavd)(d因此所求立體體積為xxavbad)(xxxd)(xa上連續(xù),yba( )a yxyoabxyoab)(xfy 特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時, 有軸繞xbxaxfy)()(xdbav當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有2)(yyddcvxxoy)(yxcdyayxb例例13. 計算由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(

11、利用對稱性)3222312xxaab0a234aboav02xy d2x方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則xyvad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積.343axyoa2例例14. 計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyvaxd202利用對稱性利用對稱性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin

12、322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyoa2a繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxvayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注注)(1yxx 分部積分對稱關(guān)于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uuds

13、in820222184226a2柱殼體積說明說明: xxxdy也可按柱殼法求出yvyx2柱面面積xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxvayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02偶函數(shù)yvttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函數(shù)336a例例15. 一平面經(jīng)過半徑為r 的圓柱體的底圓中心 , 并與底面交成 角,222ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系, 則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為

14、tan)(21)(22xrxa)(rxrrxxrv022dtan)(2123231tan2xxr0rtan323r利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .orxyxorxy思考思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?此時截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?),(yx)(ya提示提示:tan2yx22tan2yryvr0tan2yyryd22()f xx ( )f xo)(xfy abxoxya22211122arr1r2r21211(- )()2rrrrs12( )2()2asf xf xx 00limlim( )()xxdaasf xf xxdxxx 2( )dadsf xdxd

15、x2( )daf x dsxyoab四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 設(shè)平面光滑曲線, ,)(1bacxfy求上的圓臺的側(cè)面積位于d,xxxsysd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfsbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abxxyo)(xfy abxsysd2d側(cè)面積元素xyd2sdxdxyd2因為的線性主部 .若光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出, 則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積s 的 )(2ttttd)()(22s注意注意:側(cè)面積為xryo例例16.

16、 計算圓上繞在,21222rrxxxryxx 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積 s .解解: 對曲線弧,2122xxxxry應(yīng)用公式得212xxs22xr 2 122xrxxd21d2xxxr)(212xxr當(dāng)球臺高 h2r 時, 得球的表面積公式24rs1x2xozyx例例17. 求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 s .解解: 利用對稱性2022sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞 x 軸旋轉(zhuǎn) taytax33sin,cos222ddbasyxy星形線星形線taytax33sin,cosa星

17、形線是內(nèi)擺線的一種.t點擊圖片任意處點擊圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停大圓半徑 ra小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動時, 小圓上的定點的軌跡為是內(nèi)擺線)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程上下限按順時針方向確定直角坐標(biāo)方程注意注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小21d)()(tttttad)(212a3. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積baxxavd)(旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxa繞 x 軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積sysd2

18、d側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式)yxxa2)(繞 y 軸 :(柱殼法)(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xxyy 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 a 及邊界長 s .提示提示: 交點為, )3,9( , ) 1, 1 (yad 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 2. 試用定積分求圓)()(222brrbyx繞 x 軸oxyrbr上上半圓為22xrby y22xrx下下222)(x

19、rb222)(xrbrv02xdbr222求體積 :提示提示:方法方法1 利用對稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 v 及表面積 s .方法方法2 用柱殼法rbrvdy2x2ydrbrbv4oxyybyryd)(22ybr222說明說明: 上式可變形為2rvb2d2br 20上上半圓為,22xrby下下 y22xrx此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示). dd2brv求側(cè)面積求側(cè)面積 :oxyrbrr02)(222xrbxyd12r02)(222xrbxyd12相同二者2yrb08xyd12br24利用對稱性rs2b2s上式也可寫成d2br20上上半圓為,22xrby下下 y22xrx它也反映了環(huán)面

20、微元的另一種取法. 作業(yè)作業(yè) p200 1 (2) , (4) , (6) , (7) ; 2 (2) (5) ; 8 (2) , (4) , (5) 面積及弧長部分面積及弧長部分： 體積及表面積部分：體積及表面積部分：p200 7 (2) , (3) 9 (2) , (4)補充題補充題: 設(shè)有曲線 , 1xy過原點作其切線 , 求由此曲線、切線及 x 軸圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.軸所圍圖及表示xtxxfytv)0(, )()(例例15. 設(shè))(xfy 在 x0 時為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且 ,0)0(f形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 , 證明:. )(2)(

21、tftv 證證:x)(xfxoytxxd利用柱殼法xxfxtvd)()(2d則xxfxttvtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftvtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftv 故abzxyco垂直 x 軸的截面是橢圓1)1 ()1 (22222222axaxczby例例17. 計算由曲面1222222czbyax所圍立體(橢球體)解解:它的面積為)1 ()(22axbcxa因此橢球體體積為xbcaxd)1 (22bc20abca34特別當(dāng) a = b = c 時就是球體體積 .)(axaav02x233axx的體積.ox1 2ybc3a例例18. 求曲線132xy與 x 軸圍成的封閉圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94 考研)解解: 利用對稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為v432xxd)2(32