1、第五章第五章 數值積分方法數值積分方法計算計算 badxxfI)( )( )F aF b 但是在許多實踐問題經常遇到以下情況：但是在許多實踐問題經常遇到以下情況：1原函數存在但不能用初等函數表示；原函數存在但不能用初等函數表示； 2原函數可以用初等函數表示，但構造復雜；原函數可以用初等函數表示，但構造復雜； 3被積函數沒有表達式，僅僅是一張函數表。被積函數沒有表達式，僅僅是一張函數表。 處理以上情況的積分問題，最有效的方法為數值積分法。此種方法是利用被積函數在一些離散點處的函數值，而求得滿足一定代數精度要求的定積分近似值。abab取左端點矩形近似取左端點矩形近似 數值積分的思想：數值積分的思想

2、：分割、近似、求和分割、近似、求和取右端點矩形近似取右端點矩形近似ab 定積分幾何意義：定積分幾何意義：曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 數值積分公式的普通方式：數值積分公式的普通方式：0()()nnkkkIfA f x ( )baf x dx 其中其中011nnaxxxxb 求積節點求積節點求積系數求積系數0 1 , ,kAkn 僅與求積節點有關僅與求積節點有關求積公式的截斷誤差或余項：求積公式的截斷誤差或余項：0()( )()nbnkkakEff x dxA f x 5.1 插值型求積公式插值型求積公式用被積函數用被積函數 在區間在區間 上的插值多項式近似替代計算上的插值多項式近似替代計算(

3、)f x , a b作作n n次次LagrangeLagrange插值多項式插值多項式: :設知函數設知函數 在節點在節點上的函數值上的函數值( )f x01naxxxb 01(),(),()nf xf xf x0( )( ) ()nnkkkLxlx f x ( )( )bbnaaf x dxLx dx ( )( )bbnaaf x dxLx dx 0( ) ()nbkkaklx f x dx 0()( )nbkkakf xlx dx 0()nkkkA f x 其中其中( )bkkaAlx dx 余項余項111()( ) ( )()!nbnnafEfx dxn 011011() ()() ()

4、( )() ()() ()kknkkkkkknx xx xx xx xl xxxxxx xxx 那么有數值積分公式那么有數值積分公式0( )()nbkkakf x dxA f x (5.1)(5.1) 這是用插值函數替代被積函數導出的定積分近似這是用插值函數替代被積函數導出的定積分近似計算公式，稱為插值型數值積分公式。計算公式，稱為插值型數值積分公式。n=1時的求積公式時的求積公式一、梯形公式一、梯形公式 10011010101( )d()()()( )d( ) ( )( ) ( ) d ( )( ).bkkakbabaf xxA f xA f xA f xL xxlx f al x f bx

5、A f aA f b 00111212 ( )dd() ( )dd()bbaabbaaxblxxxbaabxalxxxbaba 其其中中 2( )d( )( )T(f) (5.2)babaf xxf af b ab用梯形面積近似用梯形面積近似 這是用線性插值函數替代被積函數導出的定積分近這是用線性插值函數替代被積函數導出的定積分近似計算公式，稱為梯形數值積分公式。似計算公式，稱為梯形數值積分公式。幾何意義幾何意義11011101321212( ) ( )( )( )()(), ,! ( )( )d( )d( )()()d() ( ), (5.3) bbbaaafR xf xL xxxxxabE

6、xf xxL xxfxxxxxbafab 截斷誤差：知線性插值的截斷誤差為截斷誤差：知線性插值的截斷誤差為 積分中值定理： 延續、不變號( ) , ( ) , ( )( ) , ( ) , ( )xa bf xa bf x dxxa bf xa bf x dx b b a ab ba a對對(5.3)(5.3)可可作作如如下下的的幾幾何何解解釋釋：當當f f在在上上恒恒為為負負時時，在在上上為為凸凸，表表示示梯梯形形的的面面積積小小于于曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積，此此時時（5.25.2）式式計計算算出出的的值值比比積積分分的的值值小??；當當f f在在上上恒恒為為正正時時，在在上上為為凹凹，表

7、表示示梯梯形形的的面面積積大大于于曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積，此此時時（5.25.2）式式計計算算出出的的值值比比積積分分的的值值大大. .n=2時的求積公式時的求積公式 2001122020011220122( )d()()()()( )d( ) ()( ) ()( ) () d ( )( ).bkkakbbaaf x xA f xA f xA f xA f xL x xl x f xl x f xl x f xxabA f aA fA f b = =二、二、Simpson公式公式將將 a, b 二二 等分，等分節點等分，等分節點 x0 = a ，x1 = (a +b)/2，x2 = b

8、作為積分節點，構造二次作為積分節點，構造二次Lagrange插值多插值多項式項式L2(x)：00112221264616()/ )() ( )dd()()/ )() ( )d() ( )d().bbaababaxabxbAlxxxbaaababAlxxbaAlxxba 其其中中，2462( )d( )d( )( ) () (5.4)bbaabaabf xxLxxf aff bS f 這是用二次插值函數替代被積函數導出的定積分近似這是用二次插值函數替代被積函數導出的定積分近似計算公式，稱為辛普森數值積分公式。計算公式，稱為辛普森數值積分公式。SimpsonSimpson積分公式的截斷誤差定理：積

9、分公式的截斷誤差定理：3220122231316( )( )( )( )( )( )()()(), !, ( )( )d( )d( )()()()d (5.5) bbaabafRxf xLxxxxxxxabExf xxLxxfxaxxxbx 542880( )()( ), bafab 積分中值定理： 延續、不變號復合求積法復合求積法 通常把積分區間等分成假設干個子區間，在每個子通常把積分區間等分成假設干個子區間，在每個子區間上用低階的求積公式如梯形積分公式區間上用低階的求積公式如梯形積分公式SimpsonSimpson積分公式，對一切的子區間求和即得整積分公式，對一切的子區間求和即得整個區間個

10、區間a, ba, b上的積分公式，這種方法稱為復合求上的積分公式，這種方法稱為復合求積法。積法。5.2 復合求積公式復合求積公式5.2.1 5.2.1 復化梯形積分復化梯形積分 將將a, ba, b分成假設干小區間，在每個區間分成假設干小區間，在每個區間xi, xi, xi+1xi+1上用梯形積分公式，再將這些小區間上的數上用梯形積分公式，再將這些小區間上的數值積分累加起來，就得到區間值積分累加起來，就得到區間a, ba, b上的數值積分。上的數值積分。這種方法稱為復化梯形積分。這種方法稱為復化梯形積分。 計算公式計算公式 將將a, b na, b n等分等分, h = xi+1- xi= (

11、b -a)/n, , h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,n,xi = a + ih, i = 0,1,2,n, 110110311110121102212111222( )d( )d ()()()()() ()()() ( )()()iinbxaxiniinkniiiiiiiinniiiif xxf xxhf xf xEfxxxxf xf xfhf af xf x 積積分分的的性性質質1301212( )()niihf bf 1122( )( )()( )nnkkhTff af xf b 復化梯形公式的幾何意義復化梯形公式的幾何意義小

12、梯形面積之和近似小梯形面積之和近似復化梯形公式復化梯形公式復化梯形公式的余項復化梯形公式的余項31012()()()nnnkkhRfITff 設設2( ) , f xCa b 101min( )()( )nkaxbaxbkmfxfmax fxMn 由介值定理由介值定理 , a b 101( )()nkkffn 余項估計式余項估計式133032121212()()()()( )() ( ), , nnniihhEfI fTffnfbafa bn 計算公式計算公式 將將a, b 2m a, b 2m 等分等分, m , m 為積分子區間數，記為積分子區間數，記 n = 2m n = 2m，n+1n

13、+1為節點總數為節點總數 ，h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,n,i = 0,1,2,n, 2221012212201121201442464231802( )()( )d( )d ()()()() ( )()()( )( ) iimbxaximiiinimmiiiiI ff xxf xxhf xf xf xEfhf af xf xf bbahf 5.2.2 復化復化Simpson公式：公式：復化復化Simpson公式公式復化復化Simpson公式的幾何意義公式

14、的幾何意義小拋物面積之和近似小拋物面積之和近似1121201423()( )()()( ) ()mmniiiihSff af xf xf b 5.55.5系數首尾為系數首尾為1，奇數點為，奇數點為4，偶數點為，偶數點為2復化復化Simpson公式的余項公式的余項41401802( )()()()nnniihhEfISff 設設4( )( ) , f xCa b 144401( )( )( )min( )()( )nka x ba x bkmfxfmax fxMn 由介值定理由介值定理 , a b 14401( )( )( )()niiffn 441802( )( )( )( )nnbahEfI

15、Sff 余項估計式余項估計式例：例： 分別利用復化梯形公式、復化分別利用復化梯形公式、復化SimpsonSimpson公式計算公式計算積分積分 的近似值，要求按復化的近似值，要求按復化SimpsonSimpson公公式計算時誤差不超越式計算時誤差不超越 。10sin xIdxx 60 5 10. 解：解： 首先來確定步長首先來確定步長1bahnn 444418021802( )()( )nbahbahRffM 復化復化SimpsonSimpson公式的余項：公式的余項：44( )max( )a x bMfx 其中其中4M此題此題 的求法：的求法：sin( )xf xx 10costxdt 11

16、002( )sincos()fxttxdtttxdt 11220022( )coscos()fxttxdtttxdt 由歸納法知由歸納法知102( )( )cos()kkkfxttxdt 1100121( )( )cos()kkkkfxttxdtt dtk 415M 4441111180 2900 2()nRfMnn 60 5 10. 4n 解不等式得解不等式得將區間將區間 8 8等分，分別采用復化等分，分別采用復化SimpsonSimpson、梯形公式、梯形公式0 1 , 0 1/8 1/4 3/8 10.9973980.9896880.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 10.9

17、588510.9361560.9088580.8771930.841471ix()if x復化梯形公式復化梯形公式(n=8)(n=8)復化復化SimpsonSimpson公式公式(n=4)(n=4)81113022 8848153712848( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )T ffffffffff 18h 0 945692. 411357046 4888811321424( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )Sffffffffff 0 9460832. 14h 0 946083070367.代數精度代數精度的判別方的判別方法法1Def 假設求積

18、公式假設求積公式對一切不高于對一切不高于m m次的多項式都恒成立，而對于某個次的多項式都恒成立，而對于某個m+1m+1次多項式不能準確成立，那么稱該求積公式具有次多項式不能準確成立，那么稱該求積公式具有m m次代數精度。次代數精度。0()()nnkkkIfA f x 0()()nnkkkIfA f x 定理定理 求積公式求積公式具有次具有次m m代數精度的充要條件是代數精度的充要條件是 為為 時求積公式準確成立，而時求積公式準確成立，而 為為 時求積公式時求積公式不能成為等式。不能成為等式。( )f x231mxxxx、 、( )f x1mx 5.3 數值積分公式的代數精度和數值積分公式的代數

19、精度和 Gauss求積公式求積公式21 ( )( )badxf af b b ba af f例例 求求證證梯梯形形公公式式具具有有一一階階( (x x) )代代數數精精度度。1( )f xx 證證首首先先驗驗證證、 時時，梯梯形形公公式式準準確確成成立立。11 122 ( )( ),bababadxbaf af b 22222 ( )( ),babababaxdxabf af b 2( )f xx 再再驗驗證證時時，梯梯形形公公式式不不成成立立。33222222 ( )( ),babababax dxabf af b 11( )f xxa x 0 0由由于于對對于于、 ，梯梯形形公公式式準準確確成成立立，而而任任一一一一次次多多項項式式可可表表示示成成a a的的形形式式，所所以以梯梯形形公公式式具具有有一一階階代代數數精精度度。例例2 見見p73的例的例5.5 Gauss求積公式求積公式一、一、 Gauss積分問題的提法積分問題的提法 前述的求積公式中求積節點是取等距節點，求積系數前述的求積公式中求積節點是取等距節點，求積系數計算方便，但代數精度要遭到限制；計算方便，但代數精度要遭到限制； 為了提高代數精度，需求適中選擇求積節點為了提高代數精度，需求適中選擇求積節點:當求積節點個數確定后，不論這些求積節點如何