1、橢圓的幾何性質 南昌十七中 數學教師 何東華一、教學目標(一)知識教學點通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實際應用(二)能力訓練點通過對橢圓的幾何性質的教學，培養學生分析問題和解決實際問題的能力(三)學科滲透點使學生掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等二、教材分析1重點：橢圓的幾何性質及初步運用(解決辦法：引導學生利用方程研究曲線的性質，最后進行歸納小結)2難點：橢圓離心率的概念的理解(解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對橢圓形

2、狀的影響)三、施教對象普通中學中等程度學生四、教學手段提問、講解、閱讀后重點講解、智力小游戲、再講解、動畫演示、例題講解、學生演板、講解后歸納、小結（運用幾何畫板）五、活動材料準備小黑板、多媒體演示平臺、幾何畫板軟件、MathFun數學畫圖軟件六、教學過程(一)復習提問1橢圓的定義是什么？2橢圓的標準方程是什么？學生口述，教師板書(二)幾何性質根據曲線的方程研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一.本節課就根據橢圓的標準方程（a > b > 0）來研究橢圓的幾何性質說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質是與坐標系選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變1范圍引導學

3、生從橢圓的標準方程得出不等式，即|x|a，|y|b，這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里(圖)注意結合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點另外，再把標準方程分成和兩個函數式，讓學生從函數的定義域和值域來認識橢圓中x與y的范圍。2對稱性先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質2設問：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時換成-x、-y時，方程都不變，所以圖形關于y軸、x軸或原點對稱的” 呢？事實上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x，y)在曲線上時，點P關于y軸的對稱點Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關于y軸對稱類似

4、可以證明其他兩個命題向學生指出：如果曲線具有關于y軸對稱、關于x軸對稱和關于原點對稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱如：如果曲線關于x軸和原點對稱，那么它一定關于y軸對稱事實上，設P(x，y)在曲線上，因為曲線關于x軸對稱，所以點P1 (x，-y)必在曲線上又因為曲線關于原點對稱，所以P1關于原點對稱點P 2 (-x，y)必在曲線上因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關于y軸對稱最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心向學生介紹一個有趣的小游戲：有一張標準的橢圓形的桌子及足夠多的一元硬幣，兩位同學利用上述道具進行一場游戲。規則為：兩人輪流在桌上放

5、硬幣（硬幣不能重疊累放），輪到在桌上沒有空地放硬幣的一方即為輸。如果你來參加這個游戲，你會選擇由你開始放還是由對方開始放硬幣，而且有沒有一種方法可以使自己不敗？此時課堂氣氛會很活躍，注意控制和引導。下面是答案：利用橢圓的對稱性，中心對稱，軸對稱。先由特殊情形，若橢圓桌子很小，小到只能放下一枚一元硬幣，顯然先放的同學獲勝，當橢圓桌和我們平時常見的一樣，則還是先放的獲勝，方法為：先放的同學最初一枚硬幣放在橢圓桌中心，然后對方放好后只須找到對方所放位置的中心對稱點即可。當然該題還可以利用軸對稱性，如圖：甲同學先放在中心位置后，乙同學任意放一處，如點P，則甲可以P關于x軸的P位置放，亦可獲勝，當然找P

6、關于y軸的對稱點一樣。 向學生指出：做題之前先考慮特殊情況是一種良好的思維方式，實際在做選擇題時，我們所用的一種“特殊值法”即為該思維方式。3頂點引導學生從橢圓的標準方程（ a > b > 0）分析它與x軸、y軸的交點.只須令x = 0，得y = ±b，(也就是橢圓在y軸上的截距)點B 1(0，-b)、B 2(0，b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y = 0，得x=±a ，（也就是橢圓在x軸上的截距）點A1(-a，0)、A 2(a，0)是橢圓和x軸的兩個交點強調指出：橢圓有四個頂點A1(-a，0)、A 2(a，0)、B 1(0，-b)、B 2(0，b)教師還需指出：

7、(1)線段A 1A 2、線段B 1B 2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；(2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；這時，教師可以小結一下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描出較少的點，就可以得到較正確的圖形4離心率教師直接給出橢圓的離心率的定義：橢圓的焦距與長軸的比 記憶方法：a b c d e 倒過來讀 e 等于（d）c 比（b）a等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義先分析橢圓的離心率e的取值范圍：ac0， 0e1再結合多媒體演示分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：(1) 當e接近0時，c越接近a , 從而越小，因此橢圓越扁；(2

8、)當e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；(3)當e = 0時，c =0，a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為，圖形就是圓了(三)講解例題為了加深對橢圓的幾何性質的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例題：例1 求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形本例前一部分請一個同學板演，教師予以訂正，估計不難完成后一部分作圖由教師講解，以引起學生重視，步驟是：（1）列表，將變形為，根據在第一象限及y軸的范圍內算出幾個點的坐標(x , y)x012345y43.93.73.22.40(2)描點作圖先描點畫出橢圓在第一象限內的圖形，再利用橢圓的對稱性

9、就可以畫出整個橢圓要強調：利用對稱性可以使計算量大大減少此時再利用幾何畫板（或名為MathFun的一個數學畫圖軟件）畫出橢圓的圖形，又快又標準。鞏固頂點坐標、離心率的概念，給出如下例題：例2 求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）經過點；（2）長軸的長等于20 ，離心率等于0.6.本例題第（1）小題，注意啟發學生觀察P、Q兩點的特殊性（即為橢圓的頂點）從而得a=3、b=2，再觀察長軸在x軸上，所以橢圓的標準方程為.向學生指出：一般情況下求橢圓的標準方程關鍵就是求出a、b、c中的任意兩個.本例題第（2）小題，可以讓一位學生回答，教師書寫，列出關于a、c的方程組是關鍵，解出a=10、c=6，再利用

10、得，最后的答案為或.向學生指出：不能判斷長軸在x或y軸上時答案會有兩種情況。（四）學生練習102頁練習題4、54、求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）焦點在x軸上；（答案：）（2）焦點在y軸上.（答案：）教師提問：把這兩小題的后一段“焦點在x、y軸上”去掉，結果會怎樣？5、下列每組橢圓中哪一個更接近圓？（1）與；(答案：第二個)（2）與.(答案：第二個)(五)小結解法研究圖形的性質是通過對方程的討論進行的，同一曲線由于坐標系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質是一樣的，即與坐標系的選取無關前面我們著重分析了第一個標準方程的橢圓的性質，類似可以理解第二個標準方程的橢圓的性質布置學生最后小結下列表格：（課前用小黑板畫好） 標準方程（ a > b > 0）（ a > b > 0）圖象范圍對稱性頂點長軸短軸焦點坐標離心率（六） 布置作業103頁 習題8.2 第1、2、3、4題七、教學反思 1、這堂課在講解對稱性質時，還可以引入奇函數、偶函數的圖形特征及它們的解析式特征。如：y=f(x)=f(-x) 為偶函數即點（x , y）與（-x , y）都符合函數解析式（即為點（x , y）與（-x , y）都是方程表示的曲線上）圖形關于y軸對