1、初中幾何證明題經典題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CDAB，EFAB，EGCO求證：CDGF（初二）2、已知：如圖，P是正方形ABCD內部的一點，PADPDA15°。求證：PBC是正三角形（初二）3、已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F求證：DENF經典題（二）1、已知：ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O為外心，且OMBC于M（1）求證：AH2OM；（2）若BAC600，求證：AHAO（初二）2、設MN是圓O外一條直線，過O作OAMN于A，自A引圓的兩條割線交圓O于B、C及D、E，連

2、接CD并延長交MN于Q，連接EB并延長交MN于P.求證：APAQ3、如圖,分別以ABC的AB和AC為一邊,在ABC的外側作正方形ABFG和正方形ACDE，點O是DF的中點，OPBC求證：BC=2OP（初二）證明：分別過F、A、D作直線BC的垂線，垂足分別是L、M、NOF=OD，DNOPFLPN=PLOP是梯形DFLN的中位線DN+FL=2OPABFG是正方形ABM+FBL=90°又BFL+FBL=90°ABM=BFL又FLB=BMA=90°，BF=ABBFLABMFL=BM同理AMCCNDCM=DNBM+CN=FL+DNBC=FL+DN=2OP經典題（三）1、如圖

3、，四邊形ABCD為正方形，DEAC，AEAC，AE與CD相交于F求證：CECF（初二）證明：連接BD交AC于O。過點E作EGAC于GABCD是正方形BDAC又EGACBDEG又DEACODEG是平行四邊形又COD=90°ODEG是矩形EG=OD=BD=AC=AEEAG=30°AC=AEACE=AEC=75°又AFD=90°-15°=75°CFE=AFD=75°=AECCE=CF2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DEAC，且CECA，直線EC交DA延長線于F求證：AEAF（初二）證明：連接BD，過點E作EGAC于GABCD是正

4、方形BDAC，又EGACCAE=CEA=GCE=15°在AFC中F =180°-FAC-ACF =180°-FAC-GCE=180°-135°-30°=15°F=CEAAE=AFBDEG又DEACODEG是平行四邊形又COD=90°ODEG是矩形EG =OD =BD=AC=CEGCE=30°AC=EC3、設P是正方形ABCD一邊BC上的任一點，PFAP，CF平分DCE求證：PAPF（初二）證明：過點F作FGCE于G，FHCD于HCDCGHCGF是矩形HCF=GCFFH=FGHCGF是正方形設AB=x，BP

5、=y，CG=zz：y=（x-y+z）：x化簡得（x-y）·y=（x-y）·zx-y0y=z即BP=FGABPPGFCG=GFAPFPAPB+FPG=90°APB+BAP=90°FPG=BAP又FGP=PBAFGPPBAFG：PB=PG：AB4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D求證：ABDC，BCAD（初三）證明：過點E作EKBD，分別交AC、AF于M、K，取EF的中點H，連接OH、MH、ECEH=FHEM=KMEKBDOB=OD又AO=CO四邊形ABCD的對角線互相平分ABCD是平行四邊形AB=DC

6、，BC=ADOHEF，PHO=90°又PCOC，POC=90°P、C、H、O四點共圓HCO=HPO又EKBD，HPO=HEKHCM=HEMH、C、E、M四點共圓ECM=EHM又ECM=EFAEHM=EFAHMACEH=FH經典題(四)1、已知：ABC是正三角形，P是三角形內一點，PA3，PB4，PC5求APB的度數（初二）解：將ABP繞點B順時針方向旋轉60°得BCQ，連接PQ則BPQ是正三角形BQP=60°，PQ=PB=3在PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5PQC是直角三角形PQC=90°BQC=BQP+PQC=60°+9

7、0°=150°APB=BQC=150°2、設P是平行四邊形ABCD內部的一點，且PBAPDA求證：PABPCB（初二）證明：過點P作AD的平行線，過點A作PD的平行線，兩平行線相交于點E，連接BEPEAD，AEPDADPE是平行四邊形PE=AD，又ABCD是平行四邊形AD=BCPE=BC又ADP=ABPAEP=ABPA、E、B、P四點共圓BEP=PABPAB=PCB又PEAD，ADBCPEBCBCPE是平行四邊形BEP=PCBADPE是平行四邊形ADP=AEP3、設ABCD為圓內接凸四邊形，求證：AB·CDAD·BCAC·BD（初三）

8、證明：在BD上去一點E，使BCE=ACD=CAD=CBDBECADCAD·BC=BE·ACBCE=ACDBCE+ACE=ACD+ACE即BCA=ECD+得AB·CD+AD·BC =DE·AC+BE·AC =（DE+BE）·AC =BD·AC=,BAC=BDCBACEDCAB·CD=DE·AC4、平行四邊形ABCD中，設E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P，且PAECF求證：DPADPC（初二）證明：過點D作DGAE于G，作DHFC于H，連接DF、DESADE=AE·DG，

9、SFDC=FC·DH又SADE=SFDC=SABCDAE·DG=FC·DH又AE=CFDG=DH點D在APC的角平分線上DPADPC經典題（五）1、設P是邊長為1的正ABC內任一點，LPAPBPC，求證：L2證明：（1）將BPC繞B點順時針旋轉60°的BEF，連接PE，BP=BE，PBE=60°PBE是正三角形。PE=PB 又EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EF當PA、PE、EF在一條直線上的時候，L=PA+PE+EF的值最小（如圖）在ABF中，ABP=120°AF=L=PA+PB+PC（2）過點P作BC的平行線分別交AB

10、、AC于D、G則ADG是正三角形ADP=AGP，AG=DGAPDAGPAPDADPADPA又BD+PDPB CG+PGPC+得AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PCAB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=LAB=AC=1L2由（1）（2）可知：L22、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內的一點，求PAPBPC的最小值解：將BCP繞點B順時針旋轉60°得BEF，連接PE，則BPE是正三角形PE=PBPAPBPC=PA+PE+EF要使PAPBPC最小，則PA、PE、EF應該在一條直線上（如圖）此時AF=PA+PE+EF過點F作FGAB的延長線于G則GBF=1

11、80°-ABF=180°-150°=30°GF=，BG=AF=PAPBPC的最小值是3、P為正方形ABCD內的一點，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的邊長證明：將ABP繞點B順時針旋轉90°得BCQ，連接PQ則BPQ是等腰直角三角形，PQ=PB=×2a=2a又QC=AP=aQP2+QC2=(2a)2+a2=9a2=PC2PQC是直角三角形BQC=135°BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cosBQC=PB2+PA2-2PB·PAcos135° =4a2+a2-2×

12、2a×a×(-)解得BC=正方形的邊長為4、如圖，ABC中，ABCACB80°，D、E分別是AB、AC上的點，DCA30°，EBA20°，求BED的度數解：在AB上取一點F，使BCF=60°，CF交BE于G，連接EF、DGABC=80°，ABE=20°，EBC=60°，又BCG=60°BCG是正三角形BG=BCACB=80°，BCG=60°FCA=20°EBA=FCA又A=A，AB=ACABEACFAE=AFAFE=AEF=（180°-A）=80°

13、;又ABC=80°=AFEEFBCEFG=BCG=60°EFG是等邊三角形EF=EG，FEG=EGF=EFG=60°ACB=80°，DCA=30°BCD=50°BDC=180°-BCD-ABC=180°-50°-80°=50°BCD=BDCBC=BD前已證BG=BCBD=BGBGD=BDG=（180°-ABE）=80°FGD=180°-BGD-EGF=180°-80°-60°=40°又DFG=180°-AF

14、E-EFG=180°-80°-60°=40°FGD=DFGDF=DG又EF=EG，DE=DEEFDEGDBED=FED=FEG=×60°=30°5、如圖，ABC內接于O，且AB為O的直徑，ACB的平分線交O于點D，過點D作O的切線PD交CA的延長線于點P，過點A作AECD于點E，過點B作BFCD于點F，若AC=6，BC=8，求線段PD的長。解：ACD=BCD =AD=BDAB為O的直徑ADB=90°ABD是等腰直角三角形ACB=90°，AC=6，BC=8 AB=10AD=AB·cosDAB=10

15、×=5又AECD，ACD=45°ACE是等腰直角三角形CE=AE=AC·cosCAE=6×=3在ADE中，DE2=AD2-AE2DE2=DE=CD=CE+DE=3+=PDA=PCD，P=P PDAPCD PC=PD，PA=PDPC=PA+ACPD=PD+6解得PD=1證明：過點G作GHAB于H，連接OEEGCO，EFABEGO=90°，EFO=90°EGO+EFO=180°E、G、O、F四點共圓GEO=HFGEGO=FHG=90°EGOFHG=GHAB，CDABGHCDEO=COCD=GF2證明：作正三角形ADM，

16、連接MPMAD=60°，PAD=15°MAP=MAD+PAD=75°BAD=90°，PAD=15°BAP=BAD-PAD=90°-15°=75°BAP=MAPMA=BA，AP=APMAPBAPBPA=MPA，MP=BP同理CPD=MPD，MP=CPPADPDA15°PA=PD，BAP=CDP=75°BA=CDBAPCDPBPA=CPDBPA=MPA，CPD=MPDMPA=MPD=75°BPC=360°-75°×4=60°MP=BP，MP=CP B

17、P=CP BPC是正三角形3證明:連接AC，取AC的中點G,連接NG、MGCN=DN，CG=DGGNAD，GN=ADDEN=GNMAM=BM，AG=CGGMBC，GM=BCF=GMNAD=BCGN=GMGMN=GNMDEN=F1證明：（1）延長AD交圓于F，連接BF，過點O作OGAD于GOGAFAG=FG=F=ACB又ADBC，BEACBHD+DBH=90°ACB+DBH=90°ACB=BHDF=BHDBH=BF又ADBCDH=DFAH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD又ADBC，OMBC，OGAD四邊形OMDG是矩形OM=GD AH=2OM（2）連接OB、OCBAC=60BOC=120°OB=OC，OMBCBOM=BOC=60°OBM=30°BO=2O