1、4.2 用數學歸納法證明不等式庖丁巧解牛知識·巧學 一、數學歸納法證明不等式的基本步驟（1）證明當n取第一個值n0（如n0=1或n0=2等等）時，命題正確；（2）證明如下事實：假設當n=k（kn且kn0）時，命題正確，由此推出當n=k+1時命題也正確. 完成了以上兩步后，就可斷定命題對于從n0開始的所有自然數都正確. 用數學歸納法證明，要完成兩個步驟，這兩個步驟是缺一不可的.但從證題的難易來分析，證明第二步是難點和關鍵，要充分利用歸納假設，做好命題從n=k到n=k+1的轉化，這個轉化要求在變化過程中結構不變，先比較n=k與n=k+1這兩個不等式間的差異，以決定n=k時不等式做何種變形

2、.一般地,只能變出n=k+1等式的一邊，然后再利用比較、分析、綜合、放縮及不等式的傳遞性來完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的證明.辨析比較 數學歸納法與其他證明不等式的方法 數學歸納法證明不等式有它的局限性，它只能用來證明與自然數有關的不等式.而其他證明不等式的方法運用比較廣泛.但具體運用時，各自都有自己的具體要求，比如數學歸納法就有嚴格的兩個步驟，反證法就有嚴格的格式（必須先假設結論的否命題，再推出矛盾，最后否定假設，肯定原命題），分析法也有自己的格式（綜合法的逆過程），綜合法是廣泛運用已知的定理、性質、推論等來證明.但是與自然數有關的不等式其他方法不如數學歸納法來得簡潔，在數學歸納

3、法的第二步中，也經常使用反證法、分析法、綜合法、放縮法等作為輔助手段.二、數學歸納法證明不等式的重點和難點 1.重點：鞏固對數學歸納法意義和有效性的理解，并能正確表達解題過程，以及掌握利用數學歸納法證明不等式的基本思路. 2.難點：在證明中，對于n=k+1時的證明是整個數學歸納法證明過程中的難點.要注意分離出該命題中，可以使用歸納假設的部分（沒有使用歸納假設的證明不是數學歸納法的證明），即假設f(k)>g(k)成立，證明f(k+1)>g(k+1)成立.對這個條件不等式的證明，除了靈活運用作差比較法、作商比較法、綜合法、分析法等常用的不等式證明方法外；放縮法作為證明不等式的特有技巧，

4、在用數學歸納法證明不等式時，更被經常使用.誤區警示 數學歸納法證明不等式，不能簡單套用兩個基本步驟，一定要用到歸納假設，對于n=k+1時的證明注意以下幾點：（1）在從n=k到n=k+1的過程中，應分析清楚不等式兩端（一般是左端）項數的變化，也就是要認清不等式的結構特征；（2）瞄準當n=k+1時的遞推目標，有目的地進行放縮、分析；（3）活用起點的位置；（4）有的試題需要先作等價變換.三、數學歸納法證明不等式的運用范圍 數學歸納法是用來證明與自然數有關命題的一種有效方法，在我們高中數學中，經常會以數列和函數為知識載體，構造一些與自然數有關的命題，數學歸納法是證明它們的有效手段，但不是唯一手段.聯想

5、發散 在上一節中，我們還學習了歸納猜想證明的方法，在數學歸納法證明不等式的運用中，可不可以也先根據題目的條件歸納出一般規律，大膽猜想出一個不等式的命題，然后運用數學歸納法來證明呢？典題·熱題知識點一： 命題的結構特征例1 求證：,n2,nn.思路分析：本題在由n=k到n=k+1時的推證過程中，不是第k項，應是第2k項，數列各項分母是連續的自然數，最后一項是以3k收尾.根據此分母的特點，在3k后面還有3k+1、3k+2,最后才為3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了,共三項，而不是只增加一項.證明：（）當n=2時，右邊=+>，不等式成立.（）假設當n=k(k2,kn)時命題成

6、立，即.則當n=k+1時，=>>.所以當n=k+1時，不等式也成立.由（）（）可知，原不等式對一切n2,nn*均成立.誤區警示 錯誤的思維定式認為從n=k到n=k+1時，只增加一項，求和式中最后一項即為第幾項的通項，所以一定要認清不等式的結構特征.例2 已知，sn=1+,nn，用數學歸納法證明：>1+,n2,nn.思路分析：本題在由n=k到n=k+1時的推證過程中，不等式左端增加了2k項，而不是只增加了這一項，否則證題思路必然受阻.證明：（）當n=2時，=1+=1+1+，命題成立.（）假設當n=k(k2,kn)時命題成立，即=1+.則當n=k+1時，=1+>1+所以當n

7、=k+1時，不等式也成立.由（）（）可知，原不等式對一切n2,nn均成立.方法歸納 本題在由n=k到n=k+1時的推證過程中，一定要注意分析清楚命題的結構特征，即由n=k到n=k+1時不等式左端項數的增減情況.知識點二： 比較法例3 求證：1+.思路分析：本題在由n=k到n=k+1時的推證過程中，關鍵的是證明，為證此，我們采用了不等式證明方法中的比較法.證明：（）當n=1時，左式=1，右式=，左式=右式;當n=2時，左式=1+=,右式=;>,左式>右式.當n=1或n=2時，不等式成立.()假設當n=k(k1)時，不等式成立，即1+.則當n=k+1時，左式=1+.>0,=右式.

8、由不等式的傳遞性，可得左式>右式，當n=k+1時，不等式也成立.由（）（）可得，對一切nn,不等式都成立.誤區警示 在用數學歸納法證明不等式的過程中，我們經常因思維定式認為只能做代數變形，比較法是一種綜合證明法，不能在數學歸納法中使用，這是一種錯誤的認識.證明不等式的基本方法在數學歸納法的第二步中都可以使用，究竟選擇哪種方法要因具體題目而定.知識點三： 放縮法例4 證明：，n2,nn.思路分析：本題在由n=k到n=k+1時的推證過程中，在證明時，使用了均值定理進行放縮.證明：()當n=2時，左邊=，右邊=.左邊<右邊，n=2時，原不等式成立.()假設當n=k時，不等式成立，即.當n

9、=k+1時，n=k+1時，原不等式成立.由()()知對n2的任何自然數，原不等式成立.知識點四： 轉化等價命題例5 數列an的通項公式為an=3n+2，將數列an中的第2,4,8,2n項依次取出，按原來的順序組成一個新數列bn，記其前n項和為sn,tn=n(9+an)，當n4時，證明sn>tn.思路分析：要證sn>tn，只需證3×2n+1+2n-6>3n2+11n，即證2n+1>n2+3n+2.這就證明了原不等式的等價不等式，從而將命題簡化.證明：an=3n+2，=3×2n+2，sn=a2+a4+a8+a=3(2+4+8+2n)+2n=3×

10、2n+1+2n-6.而tn=n(9+an)=3n2+11n.要證sn>tn，只需證3×2n+1+2n-6>3n2+11n，即證2n+1>n2+3n+2.用數學歸納法來證明：()當n=4時，s4=98,t4=92,s4>t4成立.()假設當n=k(k4)時，結論成立，就是2k+1>k2+3k+2，那么2k+2-(k+1)2+3(k+1)+2>2(k2+3k+2)-(k2+5k+6)=k2+k-2=(k+2)(k-1).k4,(k+2)(k-1)>0.2k+2>(k+1)2+3(k+1)+2.這就是說，當n=k+1時，sn>tn也成立

11、.由()()知，對n4,sn>tn都成立.方法歸納 本題用數學歸納法證明2n+1>n2+3n+2，第二步采用的是作差比較法：作差利用歸納假設變形（因式分解）定號.這比通常的“作差變形定號”多了利用歸納假設這一步，這是因為歸納假設是用數學歸納法證明命題時所必需的.巧解提示 也可不用數學歸納法來證明2n+1>n2+3n+2(n4)，而是利用二項展開式和放縮法直接證得.當n4時，2n+1=2·2n=2(1+1)n=2()2()=n2+3n+4>n2+3n+2.知識點五： 單調性例6 已知數列an中，所有項都是正數，且an+1an-a2n，求證：an<.思路分析

12、：（）當n=1時，由a2a1-a12=a1(1-a1)，且a1>0,a2>0，可得a1<1，命題成立.（）假設當n=k(k1)時命題成立，即ak<.則當n=k+1時，ak+1ak-a2k=ak(1-ak)，ak<，1-ak>1-=. 由于以上二式不是同向不等式，所以無法完成由k到(k+1)的證明.所以我們可以利用函數f(x)=-x2+x的單調性進行證明：函數f(x)=-x2+x的最大值為f()=，且在(-,上為增函數.證明：（）當n=1時，由a2a1-a12=a1(1-a1)，且a1>0,a2>0，可得a1<1，命題成立.而a2a1-a12

13、=f(a1)<，故n=2時命題也成立.（）假設n=k(k2)時，命題成立，即ak<，因為函數f(x)=-x2+x在(-,上為增函數，所以由ak<及ak+1ak-a2k得ak+1f(ak)<f()=+=<,即ak+1<，所以當n=k+1時，命題也成立.根據（）（）可知，對任何nn*，an<.知識點六： 活用起點的位置例7 已知函數f(x)=ax-x2的最大值不大于，又當x,時，f(x).（1）求a的值；（2）設0<a1<,an+1=f(an),nn*,證明:an<.思路分析：在用數學歸納法證明不等式的過程中，充分利用了數列遞推關系式an

14、+1=f(an)=a2n+an的函數單調性，需注意命題的遞推關系式中起點位置的推移.(1)解：由于f(x)=axx2的最大值不大于,所以f()=,即a21.又x,時f(x),所以解得a1.a=1.(2)證明：（）當n=1時，0<a1<，不等式0<an<成立；因f(x)>0,x(0,),所以0<a2=f(a1)<,故n=2時不等式也成立.（）假設n=k(k2)時，不等式0<ak<成立，因為f(x)=x-x2的對稱軸為x=,知f(x)在0,為增函數，所以由0<ak<得0<f(ak)<f(),于是有0<ak+1<

15、;-·.所以當n=k+1時，不等式也成立.根據（）（）可知，對任何nn*，不等式an<成立.方法歸納 將起點的位置推移至2的目的，就是要將ak和置于函數f(x)的單調區間0,內，從而由0<ak<得0<f(ak)<f().問題·探究交流討論探究 問題1 我們已經學習過貝努利不等式（1+x）n1+nx的證明，如果我們加強條件，如：已知x-1，且x0，nn，n2.如何來證明不等式（1+x）n1+nx.證明的方法有哪些呢？探究過程:老師：首先驗證n=2時的情況.（1）當n=2時，左邊=（1+x）2=1+2x+x2，右邊=1+2x，因x20，則原不等式成

16、立.（2）假設n=k時（k2），不等式成立，即（1+x）k1+kx.現在要證的目標是（1+x）k+11+（k+1）x，請同學們考慮. 同學甲：因為應用數學歸納法，在證明n=k+1命題成立時，一定要運用歸納假設，所以當n=k+1時.應構造出歸納假設適應的條件.所以有（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）.因為x-1（已知），所以1+x0,于是（1+x）k（1+x）（1+kx）（1+x）. 同學乙：現將命題轉化成如何證明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x.顯然，上式中“=”不成立.故只需證：（1+kx）（1+x）1+（k+1）x. 老師：證明不等式的基本方法有哪些？ 同學丙：證明不等式

17、的基本方法有比較法、綜合法、分析法. 老師：在第二步證明中，合理運用歸納假設的同時，其本質是不等式證明，因此證明不等式的所有方法、技巧手段都適用. 同學丁：證明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x，可采用作差比較法.（1+kx）（1+x）-1+（k+1）x=1+x+kx+kx2-1-kx-x=kx20（因x0，則x20）.所以，（1+kx）（1+x）1+（k+1）x. 同學甲：也可采用綜合法的放縮技巧.（1+kx）（1+x）=1+kx+x+kx2=1+（k+1）x+kx2.因為kx20，所以1+（k+1）x+kx21+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）1+（1+k）x成立. 老師：

18、這些方法，哪種更簡便，更適合數學歸納法的書寫格式？學生丙用放縮技巧證明顯然更簡便，利于書寫.探究結論:在證明中，對于n=k+1時的證明是整個數學歸納法證明過程中的重點和難點.要注意分離出該命題中可以使用歸納假設的部分（沒有使用歸納假設的證明不是數學歸納法的證明），并借助于其他數學方法（如分析法、比較法、綜合法、反證法等）.問題2 我們在證明不等式的時候，常用放縮法的技巧來達成目的，可在具體的題目中究竟如何放縮還要視具體的題目而定，我們不妨來看看這樣一個命題的證明，求證：2上標n+2n2，nn.探究過程:老師：（1）當n=1時，左邊=21+2=4；右邊=1，左邊右邊.所以原不等式成立.（2）假設n=k時（k1且kn）時，不等式成立，即2k+2k2.現在，請同學們考慮n=k+1時，如何論證2k+1+2（k+1）2成立. 同學甲：利用歸納假設2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-22·k2-2. 老師：將不等式2k2-2（k+1）2，右邊展開后得k2+2k+1.由于轉化目的十分明確，所以只需將不等式的左邊向k2+2k+1方向進行轉化，即2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3.由此不難看出，只需證明k2-2k-30，不等式2k2-2k2+2k+1即成立. 同學乙：因為k2-2k-3=（k-3）（k+1），而kn，故k+10，但k-30成立