1、 實變函數中反例的總結與構造技巧1 集與點集1.1 設不相交且都為閉集，且至少有一個有界，則其中。 若A,B都是無界集，結論就不成立。例如;直線,軸都是閉集，且都無界，它們之間距離不能表示成兩點的距離，它們的距離為0，而兩點間的距離為。1.2 對等的概念 設 為兩個集，如果有一一映射的存在，使 ,則稱 與 成一一對應或相互對等，記成. 在這個概念中，必須明確“一一映射”，即抓住“單射”和“滿射”，這兩點缺一不可。例： ，：, 這個例子中只是：“單射”而不是“滿射”，對 因為 是 上的嚴格單調增函數，故 : 是“單射”，又因為 ，即是 的真子集，故 不是滿射。1.3 開集性質 (1)任意個開集的

2、并是開集；（2）有限個開集的交是開集。若將“有限”變為“無限”性質（2）就不成立，即為無限個開集的交不一定是開集，例如：令 ,則 ，不是開集。1.4 開集與閉集 開集概念中要注意兩點：（1）開集是點集；（2）點集的每一個點都是內點。例如：開區間 ,圓盤 = 等，而閉區間 ，半閉區間 ,還有孤立點的點集 為非開集。 閉集概念中要注意兩點：（1）閉集是點集；（2）點集的每一個聚點都屬于該點集。 例如：閉區間 ,圓盤 = ，以及有限集合 等，而開區間 , 半開區間 為非閉集。1.5 實數空間是完備的，而有理數空間是不完備的。例如：,即有理數列的極限是無理數。2 勒貝格測度2.1 定理3.6 (1)

3、設 是基本集中的 漸張可測集，即,則 是可測的，且 (2) 設 是 基本集 中的 減縮可測集列，即 則 是可測的，且 但是對于無限集情形，（2）不一定成立。例如，取 ,則關系式 成為 ，顯然不成立。2.2 外測度定義：設 為有界集， 的外測度定義為一切包含 的開集的側度的下確界，并記成 . 如果把外測度定義改為“有界集 的外測度是包含 的閉集的測度的下確界”，這是不合理的。例如設 中有理點集為，無理點集為 ，則 ，顯然，任何包含 的閉集 ，必有 ，因此如果采用上述方法定義外測度，就有 ，但 ，這就使 成不可測集。即使采用其他定義外測度，使 與均可測，那將出現,而，測度的有限可加性就不成立了。2

4、.3 開集的單調性 設 是兩個有界開集，且 ，則 . 若將“有界”刪去，變為 ， 是開集，且 是 的真子集，則不一定有 。例如： ， ，雖然 是 的真子集，但是 . 3 可測函數3.1 設 是定義在可測集 上的實函數， 如果對于任何有限實數 , 都是可測集, 則 稱 為定義在 上的可測函數。連續函數必為可測函數, 但反之不一定成立. 例如 , 對 令 是可測函數, 但它不是連續函數. 由于對任意 , 集 總是下述三個集合之一 : (當 ) , 中有理點集 ，當 ( ），, （）, 它們都是可測集,故 是 上的可測函數, 但它在 是點點不連續函數。3.2 若可測，則也可測，但其逆定理不成立。例如

5、：設E為0，1上的不可測集， 則 在0，1上連續，所以它在0，1可測；但 在0，1不可測，這是因為，若0E，則不可測，若 ，則 不可測，所以 在0，1上不可測。3.3 一致收斂 幾乎處處收斂; 反之不成立。函數列在開區間0,1上幾乎處處收斂 實際上是處處收斂 , 但并不一致收斂. Rie sz定理 :設在 上 依測度收斂于 , 則存在子列 在 上 收斂于 . 由 依測度收斂于,對0，,從而對每一自然 , 存在 自然數,使,=1,2,3,.,并且并且可以假定,令 , ，則 ,因此 ,但在 上 有 處處收斂于。其實， ,表示存在某個，使,故時， 即當 時， ，因而在 上，收斂于。 3.3 葉果洛夫

6、定理中條件 是不可少的，例如考慮R上的函數列 ,每個 是 上的可測函數，且 處處收斂于零.但是對=1/2，有,因此定理中所述的對于=1不存在。3.4 可列集的測度必為 0 , 但反過來就不成立了. 即如果 ,不一定有 E 為可列集的結論. 如對于 Cantor 三分集, 雖然有 , 但 Cantor 三分集卻具有連續統勢. Cantor 三分集的由來是把閉區間 0 , 1 三等分, 并把中間的 1/ 3 去掉, 然后把剩余的區間依次劃分成三等分, 又把每一個中間的 1/ 3 去掉, 無限重復這個過程, 那些留下的點構成的集合就是 Cantor 三分集. 在第一步里, 長度為 1/ 3 的一個區

7、間去掉了; 在第二步里, 長度為 1/ 3 的兩個區間去掉了; 一般地, 在第 n 步后, 長度為 1/ 3n 的2n- 1 個區間去掉了, 因此可得 Cantor 三分集的測度為 . 引進 中小數的三進表示. 設區間 中每個點 可表示為 其中 , 其中 是 0 , 1 , 2 中任一數字. 該區間的端點均有兩種表示, 規定采用（ 不出現數字 1 ） : , . 區間 或區間中的點可分別表示為 = 或 = , 其中 , 是 0 , 1 , 2 中任一數字. 而區間端點則表示為 (不出現數字 1) : =,= , = ,= 如此等等. 據歸納法可知, 依上述規定, , ,中的點的三進表示中必有一

8、位數字為 1 , 且只有這樣的點才屬于, 因而與集合一一對應. 而 A 0 , 1 , 故 A 的勢為 Z , 從而 C 的勢為 Z. 3.4.1 有界集的L ebe sgue 測度必是零. 但是反之不成立, 無界集的L ebe sgue 測度甚至可以0. 如直線上的有理數集是無界的, 但其 L ebe sgue 測度為 0. 4 勒貝格積分 4.1 Riemann 可積與 L ebe sgue 可積的關系 如果有界函數 在閉區間 上 Riemann 可積, 則 在 上L ebe sgue 可積, 但其逆定理不成立. 設 是定義在閉區間 上的Dirichlet 函數, 即 則 Riemann

9、不可積, 但 L ebe sgue 可積, 且 這說明了L ebe sgue 積分是比 Riemann 積分范圍更廣的一種積分.4.2 勒維定理中去掉函數列的非負性假定，結論不成立。 例如在 上對于n=1,2.,定義 則有 但 顯然結論不成立。4.3 定義在有限區間上的函數若為 可積，則必 可積，且積分值相等。 若對無界集的 積分，這個定理不成立。例如在 上定義的函數是依廣義積分意義R可積的，但不是L可積的，這是因為非絕對可積。 4.4 定理 設,序列測度收斂于,并設每個可積，那么，關系式 成立的充要條件是序列 在 上有等度的連續積分。 若 時則定理不成立。例如，考察序列 .4.5 勒貝格控制收斂定理設可測集上的可測函數列滿足下述條件：的極限不存在，且有可積函數使,那么， 可積且有.定理中序列受可積函數控制這一條件不可少，