1、第3章 連續信號與系統的頻域分析 第第3章章 連續信號與系統的頻域分析連續信號與系統的頻域分析 3.1 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數 3.2 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 3.3 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換3.4 典型信號的傅立葉變換典型信號的傅立葉變換3.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質 3.6 卷積定理卷積定理3.7 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換 3.8 連續系統的頻域分析和響應連續系統的頻域分析和響應 3.9 已調信號的頻譜已調信號的頻譜第3章 連續信號與系統的頻域分析 信號與系統的時域分析方法，其突出特點直觀、物理概念明確。然而，對于某些信

2、號在時域特征并不明顯、很難分析，此時需要采用數學變換的手段，這就是所謂的變換域分析。長期以來，在各種信號處理方面，特別是在有關信號的頻譜分析和各種濾波方法中，最基本的數學工具就是著名的傅立葉(fourier)分析。所謂傅立葉分析，從數學角度就是對一個函數進行傅立葉變換，而從信號處理的角度，則是對信號的頻譜進行分析。傅立葉分析主要有以下優越性：(1) 傅立葉分析的基函數是一組正交基，而且函數形式非常簡單。其變換函數是信號在這組正交基上的分量，的大小在內完全刻畫了的特征；(2) 有著明確和極其重要的物理意義，即信號的頻譜。這樣對信號而言，許多在時域不能解決的問題，通過頻域可以迎刃而解；(3) 由于

3、傅立葉變換以為基函數，因此它把時域的微、積分運算在頻域表現為乘、除運算，這給傅立葉分析的應用帶來了極大方便；(4) 傅立葉分析具有快速算法fft(fast fourier transform)，這對實際應用具有非常重要的作用。反過來，fft的發展又促進了信號處理對傅立葉分析需求的進一步研究。第3章 連續信號與系統的頻域分析 本章討論信號與系統的頻域分析，主要包括9節內容。 第1節和第2節是周期信號的頻譜分析，主要目的是通過周期函數的傅立葉級數展開建立信號的頻譜概念，并通過典型周期信號的頻譜分析得出周期信號頻譜的普遍規律和共同特點。 第3節第6節是非周期信號的頻譜分析，首先通過對周期函數的周期取

4、極限定義非周期函數的傅立葉變換，進而引入非周期信號的頻譜密度概念；其次，為了進行復雜信號的頻譜分析（實際這里是頻譜密度分析，通常也稱為頻譜分析），介紹典型信號的傅立葉變換，進一步鞏固復雜信號可分解成典型信號進行分析的理念；最后，為了進一步了解信號的時域分析和變換域分析之間的關系、也為了進一步簡化計算，介紹傅立葉變換的基本性質，其中由于卷積定理卷積定理是連接信號與系統時域分析和頻域分析的紐帶，我們把它從性質中拿出來進行單獨介紹，以突顯其特殊地位。 第7節是周期信號的傅立葉變換，目的是把前面介紹的周期信號和非周期信號的分析統一起來，進而也能看出二者之間分析的一致性和差異性。 第8節是在前面信號頻域

5、分析的基礎上，介紹系統的頻域分析方法，建立系統函數的概念，并通過系統函數求解系統響應。 第9節主要是從頻譜分析應用的角度，介紹其在通信中的已調信號的頻譜，目的是通過該應用例子，使前面介紹的傅立葉變換的抽象數學模型與應用中頻譜的具體物理模型達到統一。第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.1 周期信號的連續時間傅里葉級數周期信號的連續時間傅里葉級數 3.1.1 三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數 三角函數集111,cos(),sin()ntntn 為正整數是一個正交函數集，因此在一個周期區間001,t tt內滿足以下正交關系 01011cos()sin()0tttntmt dt 010111

6、0cos()cos()=2tttmnntmt dttmn 0101110sin()sin()2tttmnntmt dttmn 112t是各個函數1cos()nt，1sin()nt的周期。 第3章 連續信號與系統的頻域分析 對于任意周期為1t、 角頻率為112t、 頻率為111ft的周期信號( )f t， 只要滿足狄里赫利(dirichlet)條件，就可以分解為三角函數集中各函數分量的線性組合的形式，即 011112121110111( )cos()sin()cos(2)sin(2)cos()sin()2cos()sin()2nnnnnaf tatbtatbtantbntaantbnt(3.1-

7、1) 式(3.1-1)的無窮級數稱為周期信號( )f t在區間001,t tt內的三角傅立葉級數。 根據正交函數集的正交條件，可計算式中的傅立葉系數na(n 0、1、2、)和nb(n 1、2、)， 010012( )tttaf t dtt (3.1-2) 010112( )cos()ttntaf tnt dtt (3.1-3) 010112( )sin()ttntbf tnt dtt (3.1-4) 物理上，系數0a、na和nb代表了信號在不同頻率1n分量上的能量多少，相應的1n也代表了信號包含的頻率高低。 周期信號( )f t在區間001,t tt內的平均值010011( )( )2ttta

8、f tf t dtt代表了信號的直流分量。 第3章 連續信號與系統的頻域分析 在數學中已經證明被展開的函數( )f t應該滿足狄里赫利條件： (1) 在一個周期內，信號是絕對可積的，即010( )tttf t dt ； (2) 在一個周期內，函數的極大值和極小值的數目應該是有限的； (3) 在一個周期內，如果有間斷點存在，則間斷點的數目應該是有限的，而且當t從不同方向趨近間斷點時，函數應該具有兩個不同的有限的極限值。 第3章 連續信號與系統的頻域分析 任何周期信號只要滿足狄里赫利條件就可以分解成直流分量及許多正弦、 余弦分量之和， 而它們的分解加權系數就是0a、na和nb。 當1n 時，將式(

9、3.1-1)中的同頻率兩項1111cos()sin()atbt合并成一個頻率為1的正弦分量111cos()at或111sin()at，該項通常稱為信號的基波分量基波分量，而11/ 2f稱為基波頻率基波頻率。 當1n 時，將式(3.1-1)中的同頻率兩項11cos()sin()nnantbnt合并成一個頻率為1n的正弦分量1cos()nnant或1sin()nnant，該項通常稱為信號的n次諧波分量諧波分量，1nf稱為n次諧波頻率諧波頻率。這樣，式（3.1-1）也可以寫成另一種形式 011( )cos()2nnnaf tant (3.1-5a) 或 011( )sin()2nnnaf tant

10、(3.1-5b) 式中na代表n次諧波振幅，n和n代表n次諧波相位。 系數na和振幅na是1n的偶函數， 系數nb與相位n和n都是1n的奇函數。 顯然，正弦、余弦諧波分量的頻率必定是基頻1f11(1/)ft的整數倍，而直流分量以及基波與各次諧波的幅度、相位的大小取決于周期信號的波形。 22001tan2cossin(1,2,)nnnnnnnnnnnnnnaabaabaaaban 第3章 連續信號與系統的頻域分析 必須指出，并非所有周期信號都可以進行傅立葉級數展開。任何周期信號只要滿足狄里赫利條件，就可以進行傅里葉級數展開。但是，狄里赫利條件只是傅立葉級數存在的一個充分條件，并非是必要條件。也就

11、是說，對于某些函數，盡管它們可能不滿足該條件，但它們也可能存在傅立葉級數。 （比如階躍函數和沖激函數等） 所幸的是，通常我們所遇到的周期函數大都滿足這些條件，因此以后除非另有要求，我們一般不再考慮這一條件。 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 圖 3.1-3 所示三角波的三角傅立葉級數為 1112411( )cos()cos(3)cos(5)2925eef tttt 2122141sincos2

12、22neentn 圖 3.1-3 三角波信號 ( )f t t e 0 / 2t / 2t 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.2 典型周期信號的頻譜典型周期信號的頻譜第3章 連續信號與系統的頻域分析 這樣周期矩形脈沖信號的三角形式傅立葉級數分解形式為 111112( )sacos()neenf tntttt (3.2-1a) 或 11111( )sacos()2nenef tntt (3.2-1b) 若將( )f t展成指數形式傅立葉級數，為 111( )sa2jntnnef tet (3.2-2) 其中 1121121s

13、a2jntnneceedttt 對式(3.2-1)的傅立葉級數，若給定、1t、e，就可以求出直流分量、基波和各諧波的幅度。它們分別是 012aet 0nb 112sanenatt 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 綜上分析，我們可以得出周期矩形脈沖信號的頻譜具有如下特點： 1. 周期矩形脈沖信號的頻譜具有離散性周期矩形脈沖信號的頻譜具有離散性 周期矩形脈沖信號頻譜的各譜線將以周期矩形脈沖信號頻譜的各譜線將以1為間隔出現為間隔出現，當脈沖重復周期1t愈大，即1愈小，譜線愈靠近。可以試想，如果周期信號的周期1t趨于無窮大，周期信號

14、將變為非周期信號，其信號的譜線間隔將趨于 0，這樣周期信號的離散譜將變為非周期信號的連續譜，這點將在下節傅立葉變換中詳細介紹。 2. 周期矩形脈沖信號的頻譜具有諧波性周期矩形脈沖信號的頻譜具有諧波性 周期矩形脈沖信號頻譜的譜線只出現在基頻周期矩形脈沖信號頻譜的譜線只出現在基頻1的整數倍的諧波點的整數倍的諧波點1n上上，其幅度按抽樣函數1(2)sa n的 包 絡 線 規 律 變 化 而 變 化 。 當 函 數 變 量1(/ 2)n為的 整 數 倍 ， 即1(2/ )(1,2,)nmm 時，譜線的包絡線經過零點；當10n、3/ 、5/ 、時，譜線的包絡線為極值點（極大或極小） 。 3. 周期矩形脈

15、沖信號的頻譜具有收斂性周期矩形脈沖信號的頻譜具有收斂性 周期矩形脈沖信號的頻譜包含有無窮多條譜線，也就是它可以分解為無窮多個頻率分量，但它的主要能量一般要集中在第一零點以內，也就是集中在低頻區。隨著頻率的增高，譜線幅度變化的隨著頻率的增高，譜線幅度變化的總趨勢呈收斂狀總趨勢呈收斂狀，也就是高頻成分越來越少，最后趨于 0。 第3章 連續信號與系統的頻域分析 盡管以上離散性、諧波性、收斂性等特點是針對矩形脈沖信號總結的，但以后也將會看到，這些特點基本上也適用于任何其他周期性信號。 第一為離散性離散性，此頻譜由不連續的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連續譜或離散譜。 第二為諧波

16、性諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現在基波頻率1的整數倍頻率上，即含有1的各次諧波分量，而決不含有非1的諧波分量。 第三為收斂性收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨n1的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著n1的增大而逐漸減小。當n1 時，|cn|0。 第3章 連續信號與系統的頻域分析 在具體應用中，如果信號( )f t的頻譜在b時均為零，則我們稱( )f t是帶寬受限帶寬受限的，其中0b 我們稱之為信號的帶寬帶寬。 周期矩形脈沖信號含有無窮多條譜線，也就是說，周期矩形脈沖信號可表示為無窮多個正弦分量之和。在信號的傳輸過程中，要求一個傳輸系統能將這無窮多個正弦分量不失真地傳輸顯然是不可能的。

17、實際工作中，應要求傳輸系統能將信號中的主要頻率分量傳輸過去，以滿足失真度方面的基本要求。周期矩形脈沖信號的主要能量集中在第一個零點之內，因而，常常將0 2/ 這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號的頻帶寬度。 2rad sb 或 1hzfb 信號的頻帶寬度b只與脈寬有關， 而且成反比關系。 這種信號的頻寬與時寬呈反比頻寬與時寬呈反比的性質是信號分析中最基本的特性，它將貫穿于信號與系統分析的全過程。它的物理解釋為：如果信號的時寬較小（窄） ，說明信號變化較快，包含豐富的高頻分量，因此相應的頻寬b較大（寬） ，反之亦然。 第3章 連續信號與系統的頻域分析 在周期矩形信號的頻譜分析中， 帶寬帶寬2b只與脈沖寬

18、度只與脈沖寬度有關。有關。 譜線間隔譜線間隔112t只與脈沖重復周期只與脈沖重復周期1t有關。有關。 直流、基波和各次諧波的幅度正比于脈沖寬度直流、基波和各次諧波的幅度正比于脈沖寬度，反比于脈沖重復的周期，反比于脈沖重復的周期1t。 為了說明在不同脈寬和不同周期1t情況下周期矩形信號頻譜的變化規律，圖 3.2-4 給出了當保持不變，而15t和110t兩種情況下信號的頻譜。可見如果脈寬值不變，則其頻譜包絡線的第一個零點位置不變，而隨著1t值增大，各個分量的幅度減小，同時使基波頻率112t減小，譜線變密。這種情況的極限就是1t趨于無窮大的非周期信號的頻譜； 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章

19、 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.3 非周期信號的連續時間傅里葉變換非周期信號的連續時間傅里葉變換 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.4 典型信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 由以上討論

20、可以得到非周期矩形脈沖信號的頻譜有以下特點： （1）矩形脈沖信號的頻譜曲線與周期矩形脈沖信號的離散頻譜的包絡線形狀完全相同，都是以抽樣信號sa2的規律變化； （2）盡管矩形脈沖信號的頻譜分布在無限寬的頻率范圍上，但是其主要的信號能量集中于10 f范圍。因而，通常認為這種信號占有頻率范圍(頻帶)fb近似為1，即1fb。 雖然非周期矩形脈沖信號在時域集中于有限的范圍內，但它的頻譜卻分布在無限寬的頻率范圍上；反之，如果信號的頻譜集中在有限的范圍內，那么它在時域的分布必將在無限寬的范圍上。 信號的這種在時域有限時域有限、頻域無限頻域無限或頻域有限頻域有限、時域無限時域無限的特性在信號分析中具有普遍意義

21、，也是非常重要的概念。 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.4.5 單位沖激信號單位沖激信號 單位沖激信號( ) t如圖 3.4-6(a)所示，其傅立葉變換為 ( )( )d1j tft et 此結果也可以由矩形脈沖取極限得到。 即當脈沖寬度減小時， 其矩形脈沖頻譜的第一個零點2右移，可以想象，若0，而1e保持不變，這時矩形脈沖變成沖激信號( ) t，其相應頻譜的第一個零點將移至無窮遠（包含極其豐富的高頻分量） ，故( )f必為常數 1。 單位沖激函數( ) t的頻譜是常數 1。也就是說，(

22、 ) t中包含了所有的頻率分量，而各頻率分量的頻譜密度都相等。顯然，信號( ) t實際上是無法實現的。 單位沖激函數( ) t的頻譜在整個頻率范圍內均勻分布，這種頻譜常常稱為“均勻譜”或“白色譜” ，如圖 3.4-6(b)所示。同時此圖也表明了信號時寬與頻寬成反比關系的一種極端情況。 圖 3.4-6 單位沖激信號及其頻譜 (1) ( ) t 0t 1 ( )f 0 (a) 沖激信號 (b) 沖激信號頻譜 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 表 3.4-1 常用函數傅立葉變換對 序號 ( )f t

23、 ( )f 說明 1 1 2( ) t 2 0jte 02() 0任意實數 3 ( ) t 1 4 0()tt 0j te 0t任意實數 5 ( )u t 1( )j 6 ( )0.5u t 1j 7 ( )teu t 1j 0 8 ( )g t sa2 ( )(/ 2)(/ 2)g tu tu t 9 sa2t 2( )g 10 2te 22e t 11 0cost 00()() 12 0sint 00()()j 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第

24、3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.5.4 時移特性時移特性 若 ( )( )f tf f， 則對于常數0t，有 00()( )j tf ttef f (3.5-4a) 證明證明 因為 00 ()()dj tf ttf tt etf 令0 xtt ，則 0000 ()( )d( )d( )j tj tj tj xj xf ttf x eexef x exeff 所以 00()( )j tf ttef f 同理可得 00()( )j tf ttef f (3.5-4b) 由式(3.5-4)可以看

25、出，信號( )f t在時域中沿時間軸右移(或左移)0t，即延時(或超前)0t，則在頻域中頻譜乘以相位因子0j te(或0j te)，具體表現為信號的幅度頻譜不變，而相位頻譜產生0t(或0t)的變化。 信號的幅度頻譜是由信號波形形狀決定的， 與信號在時間軸上出現的位置無關； 而信號的相位頻譜則信號的幅度頻譜是由信號波形形狀決定的， 與信號在時間軸上出現的位置無關； 而信號的相位頻譜則是信號波形形狀和在時間軸上出現的位置共同決定的。是信號波形形狀和在時間軸上出現的位置共同決定的。 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號

26、與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 1. ( )f t是實函數是實函數 ( )( )dj tff t et( )cosd( )sindf tt tjf tt t 此時 ( )( )cosdrf tt t (3.5-7a) ( )( )sindif tt t (3.5-7b) 顯然，( )r為頻率為頻率的偶函數，的偶函數，( )i為為的奇函數的奇函數，即滿足下列關系： ( )()rr ( )()ii *()( )ff 亦即當( )f t為實函數時，|( )|f和( )r是偶函數，( ) 和( )i是奇函數。 第3

27、章 連續信號與系統的頻域分析 若( )f t是實偶函數實偶函數，即( )()f tft時，根據式(3.5-7)得 ( )0i 0( )( )2( )cosdfrf tt t 可見，若( )f t是實偶函數，( )f必為的實偶函數。 若( )f t是實奇函數實奇函數，即( )()f tft 時，則由式(3.5-7)得 ( )0r 0( )( )2( )sindfjijf tt t 可見，若( )f t是實奇函數，則( )f必為的虛奇函數。 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統

28、的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.5.8 積分積分特性特性-時域積分時域積分 若 ( )( )f tf f 則 ( )( )d(0) ( )tfffj f (3.5-10a) 證明證明 ( )d( )d( ) ()ddttj tj tffedtfu tetf 交換上式中的積分次序，并引用延時階躍信號的傅立葉變換關系式 1()( )ju tej f 代入上式則得 ( )d( )d( )()dttj tj tffedtfu tedtf 1( )( )djfej 1( )( )d( )djjfefej 1(0) ( )( )ffj 如果(0)0f，上式簡化為 ( )( )dtffjf

29、 (3.5-10b) 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 例例 3.5-6 求圖 3.5-9(a)所示梯形信號 f t的頻譜函數。 解解 將 f t求導，得到圖 3.5-5(b)所示的波形 1ft，將 1ft再求導，得到圖 3.5-5(c)所示的 2ft。 圖 3.5-9 梯形信號及其求導的波形 toa b(a)a abto b(b)af1(t) f (t) abab aab ato b(c)af2(t) f (t) abab aab af (t)第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信

30、號與系統的頻域分析 3.5.8 積分積分特性特性-頻域積分頻域積分 若 ( )( )f tf f 則 ( )(0) ( )( )df tftfjt f (3.5-10a) 如果(0)0f，上式簡化為 ( )( )df tfjt f (3.5-10b) 和微分特性相類似， 上述結論也可以推廣： 即對函數在時域中除以()njt， 相當于在頻域中進行n次積分，即 ( )( )d()nf tfjt f (3.5-10c) 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.6 卷積定理卷積定理 在信號的變換、傳輸和處理中，常常會遇到卷積積分的計算，例如在上一章介紹的系統零狀態響應的

31、求解方法就是卷積積分的典型應用。這里要介紹的卷積定理表達的是兩個函數在時域(或頻域)的卷積積分，對應于頻域(或時域)的運算關系。 卷積定理是連接信號與系統的時域分析和頻域（變換域）分析的橋梁卷積定理是連接信號與系統的時域分析和頻域（變換域）分析的橋梁。由于它在信號與系統分析中占有十分重要地位和作用，所以我們把它拿出來單獨介紹。卷積定理通常包含了時域卷積定理和頻域卷積定理兩部分。 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.6.1 時域卷積定理時域卷積定理 若 1122( )( ),( )( )f tfftf ff 則 1212( )( )( )( )f tf tff f 證明證明 根據第一章卷積的定

32、義，已知 1212( )( )( )()f tf tff td 因此 1212( )( )( )()ddj tf tf tff tetf12( )()ddj tff tet 12( )( )djffe2112( )( )d( )( )jffeff 即 1212( )( )( )( )f tf tff f (3.6-1) 時域卷積定理表明，兩個信號在時域的卷積積分，對應了頻域中兩個信號頻譜的乘積，由此可以把時域的卷積運算轉換為頻域的乘法運算。 第3章 連續信號與系統的頻域分析 (b) 頻域乘積( )f/2( )g/2( )g 圖 3.6-1 例 3.6-1 圖 0 /2( )g 0 4 8 4

33、2 0 /2( )g 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.7 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.7 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.7 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.7 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.8 連續系統的頻域分析連續系統的頻域分析 3.8.1 頻域分析原理頻域分析原理 第二章討論的用時域分析法求解系統的零狀態響應，其過程是首

34、先將激勵信號分解為許多沖激函數，然后求每一個沖激函數的系統響應，最后將所有的沖激函數響應相疊加，運用卷積積分的方法求得系統的零狀態響應，即 ( )( )( )zsrth te t (3.8-1) 頻域分析法的基本思想與時域分析法是一致的，求解過程也是類似的。在頻域分析法中，首先將激勵信號分解為一系列不同幅度、不同頻率的正弦信號，然后求出每一正弦信號單獨通過系統的響應，并將這些響應在頻域疊加，最后再變換回時域表示，即得到系統的零狀態響應。 圖 3.8-1 給出了線性系統頻域分析法的原理說明框圖，其中( )e、( )r分別為( )e t、( )r t的頻譜函數。 圖 3.8-1 線性系統頻域分析法

35、 ( )h t或( )h 時域( )e t ( )r t 頻域( )e ( )r 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.8 連續系統的頻域分析連續系統的頻域分析 3.8.1 頻域分析原理頻域分析原理 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.8.2 非周期信號激勵下系統的響應非周期信號激勵下系統的響應 1. 將輸入激勵信號分解為正弦信號加權和的形式將輸入激勵信號分解為正弦信號加權和的形式 第3章 連續信號與系統的頻域分析 2. 確定系統的系統函數確定系統的系統函數第3章 連續信號與系統的頻域分析 3. 求系統各頻率分量響應求系統各頻率分量響應 對于頻率為的分量來說，其響應的復振幅應為 ( )d(

36、)d( )22reh 對于激勵中所有頻率分量，上述關系都是成立的，因此響應( )r t的頻譜函數為 ( )( ) ( )rhe (3.8-6) 4. 從頻域返回到時域，各頻率分量響應相加得系統總響應從頻域返回到時域，各頻率分量響應相加得系統總響應 求( )r的傅立葉反變換可得( )r t，即 11( )( )d( ) ( )d22j tj tr trehee 第3章 連續信號與系統的頻域分析 由此可得用頻域分析法求解系統零狀態響應的步驟為： 第3章 連續信號與系統的頻域分析 (a) rc 低通網絡 (b) 系統函數特性 (c) 輸入激勵信號 (d) 輸入信號幅度頻譜 (e) 輸出響應信號 (f

37、) 輸出信號幅度頻譜 圖 3.8-2 rc 低通網絡系統 r ( )cv t ( )e t+ c ( )h 0 e ( )e t 0 t e ( )e 0 0e t ( )cv t 0 ( )cv 第3章 連續信號與系統的頻域分析 3.8.3 周期信號激勵下系統的響應周期信號激勵下系統的響應 第3章 連續信號與系統的頻域分析 若設系統函數為( )h，根據上面的分析可得系統響應的頻譜函數為 ( )( ) ( )rhe0( )( )he11()nn 11011()() ()nh ne nn (3.8-11) 可以看到，輸出響應的頻譜也是離散譜，是由一系列與周期激勵信號頻譜相同的沖激函數組成，并且各沖激函數的強度，被系統