1、第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析1/186第第2 2章章 離散時間信號與系統的離散時間信號與系統的z z域分析域分析2.1 z2.1 z變換的定義及收斂域變換的定義及收斂域2.2 z2.2 z反變換反變換2.3 z2.3 z變換的性質與定理變換的性質與定理2.4 z2.4 z變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換的關系的關系2.52.5傅里葉變換的定義及性質傅里葉變換的定義及性質2.62.6利用利用z z變換求解差分方程變換求解差分方程2.72.7離散時間系統的系統函數和頻率響應離散時間系統的系統函數和頻率響應第第2 2章離散時間信

2、號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析2/186 在離散時間信號與系統中，在離散時間信號與系統中， 變換法是變換域變換法是變換域分析法中最重要的一種。分析法中最重要的一種。 變換在離散時間信號與變換在離散時間信號與系統中的作用就如同拉普拉斯變換在連續時間信號系統中的作用就如同拉普拉斯變換在連續時間信號與系統中的作用。它把描述離散時間系統的差分方與系統中的作用。它把描述離散時間系統的差分方程轉化為簡單的代數方程，使其求解大大簡化。程轉化為簡單的代數方程，使其求解大大簡化。 變換的概念可以從理想抽樣信號的拉普拉斯變換引變換的概念可以從理想抽樣信號的拉普拉斯變換引出，也可以在離散域直接給

3、出。出，也可以在離散域直接給出。zzz第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析3/1862.1變換的定義及收斂域2.1.1 z變換的定義 一個序列 的 變換定義為 其中， 是一個連續復變量，也就是說， 變換是在復頻域內對離散時間信號與系統進行分析。由定義可見， 是一個復變量 的冪級數。亦可將 變換表示成算子的形式： nxz xnznxzxzzzz nxzzx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析4/186基于此， 變換算子可以看作是將序列 變換為函數 ，二者之間的相應關系可記為由式（2.1.1）所定義的z變換稱為雙邊z變換，與此

4、相對應的單邊z變換則定義為 （2.1.2）顯然，只有 為因果序列（即 ）時，其單邊z變換與雙邊z變換才是相等的。z nx zx zxnxz nnznxzx nx 0, 0nnx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析5/1862.1.2 z變換的收斂域1 1、收斂域的定義、收斂域的定義 由定義式，只有冪級數收斂時，z變換才有意義。對于任意給定的序列 ，使其z變換所定義的冪級數 收斂的所有z值的集合稱為 的收斂域。 收斂的充分且必要條件是絕對可和收斂的充分且必要條件是絕對可和，即 nx nnznx zx nnnnznxznx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時

5、間信號與系統的z z域分析域分析6/186 為使上式成立，就須確定 取值的范圍，即收斂域。由于 為復數的模，則可以想象出收斂域為一圓環狀區域，即 zzrzr其中， 、 稱為收斂半徑，可以小到0，而 可以大到 。式（2.1.4）的 平面表示如圖2.1.1所示。rrrr圖2.1.1 環狀收斂域jim（z）re（z）rr0第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析7/186 常見的一類z變換是有理函數，即使 的那些z值稱為 的零點，而使 的那些z值稱為 的極點。零點、極點也可能包含 處的點。由于 在收斂域內是解析函數，所以，收斂域內不包含極點。所以，收斂域內不包含極點。

6、 zqzpzx 0zx zx zx zxz zx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析8/1862、序列形式與其、序列形式與其z變換收斂域的關系變換收斂域的關系 每一項都有界則必有（1） 為有限長序列為有限長序列 其它, 0,21nnnnxnx 21nnnnnnznxznxzx 21,nnnznxn若21,nnnzn nx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析9/186第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析10/186 當 、 時，顯然在 內的z值都滿足該條件，收斂域為除去原點和無窮遠點的z平

7、面，如圖2.1.1(b)陰影區域所示。 當 、 時，除去原點外的z值都滿足條件，收斂域為除去原點的 z平面，即 ； 當 、 時，除去無窮遠點的z值都滿足條件，收斂域為除去無窮點的z平面， ； 特殊的，當 、 時，收斂域為整個z平面，即 。01n02n z001n02n z002n01n z001n02n z0第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析11/186)(2nx 11, 0,nnnnnxnx 1nnnznxzx（2） 為右邊序列為右邊序列 nx 當 時， 為z的負冪級數，根據級數理論，存在一個收斂半徑 ， 在以原點為中心、 為半徑的圓外處處收斂，即收斂域

8、為 。此時的 為因果序列，因此， 在無窮遠處收斂是因果序列的特征；01n zxr zxrzr nx zx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析12/186 當 時， 可寫為 上式右端第一項是（1）中討論過的有限長序列的z變換，其收斂域為 ；第二項為 的負冪級數，同樣其收斂域為 。因此， 的收斂域為二者的重疊區域，即 ，如圖2.1.3(b)陰影區域所示。01n zx 0111nnnnnnnnznxznxznxzx z0 zxzr zxzr第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析13/186第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間

9、信號與系統的z z域分析域分析14/186（3 3） 為左邊序列為左邊序列 nx 22, 0,nnnnnxnx 2nnnznxzx 當 時， 為z的正冪級數，根據級數理論，必存在一個最大收斂半徑 ， 在以原點為中心、 為半徑的圓內處收斂，即收斂為 ； 02n zxr zxrrz0第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析15/186 當 時， 可寫為上式右端第一項為z的正冪級數，同樣其收斂域為 ；第二項為（1）中討論過的有限長序列的z變換，其收斂域為 。因此， 的收斂域為二者的重疊區域 。02n zxrz0 2210nnnnnnnnznxznxznxzx0zr z

10、0 zx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析16/186第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析17/186（4 4） 為雙邊序列為雙邊序列 nx 10nnnnnnznxznxznxzx通過（2）、（3）中的討論可知，上式第一項為右邊序列(因果序列)，其收斂域為 ；第二項為左邊序列，其收斂域為 ；若 ，則取交集得到雙邊序列的收斂域為 ，這是一個環形的收斂域。如圖2.1.5(b)陰影區域所示。 rz rz rrrzr第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析18/186第第2 2章離散時間信號與系統

11、的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析19/186)(nx1n2n01n02n z001n02n z001n02n z001n2nzr01n2nzr1n02nrz01n02nrz01n2nrzr)(nx1n2n01n02n z001n02n z001n02n z001n2nzr01n2nzr1n02nrz01n02nrz01n2nrzr表2.1.1 序列的形式與z變換收斂域的關系第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析20/1862.1.3 常用序列的z變換（1）單位抽樣序列( )( )x nn z 變換1)()()(0zznnzzxnn收斂域為整個z平面第

12、第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析21/1861z（2）單位階躍序列)()(nunxz 變換11 210( )( )1()()nnnnnx zu n zzzzz 當 ，即 有11z1z111)(1zzzzx 的零點為 ，極點為 。( )x z0z1z第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析22/186（3）單位斜變序列)()(nnunx1011zznn1z2120)1()1 ()(zznznn1z22110) 1()1 ()(zzzznzzxnn1z由（2)中討論可知 將上式兩邊對z求導得兩邊同乘以-z得 的z變換)(nx第第

13、2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析23/186當，即（4）右邊指數序列)()(nuanxn這是一個右邊序列，其z變換為111 2100( )( )()1()()nnnnnnnnnx za u n za zazazazaz 當 ，即 時，有 11azaz azzazzx111)(az 零點為 ，極點為( )x z0zaz 第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析24/186（5）左邊指數序列) 1()(nuanxn這是一個左邊序列，其z變換為111121( )(1)()()nnnnnnnnnnx za unza zaza za z

14、a z 當 ，即 時，有 11a zaz azzzazazx111)( 零點為 ，極點為( )x z0zaz 第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析25/186z（6）雙邊指數序列) 1()()(nubnuanxnn(0)ba該序列的z變換00101) 1()()()(nnnnnnnnnnnnnnnnnnzbzazbzaznubnuaznxzxbzaz ,若 ，則上面的級數收斂，得到bzzazzbzbazzzx1)(bza第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析26/186)(zx)(zxz 該序列的雙邊z變換的零點位于 及 ，

15、極點位于 與 處。前已提及,z變換的收斂域內不應該包含任何極點。由上述分析進一步看出， 的收斂域內確實不包含任何極點。通常收斂域以極點為邊界，對于多個極點的情況：1）右邊序列z變換的收斂域一定在模值最大極點所在的圓外，可能包含 ；2）左邊序列z變換的收斂域一定在模最小的極點所在的圓內，可能包含 。0z2bazaz bz zxz0z第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析27/1862.2 z2.2 z反變換反變換 與連續時間系統中的拉普拉斯變換類似，在離散時間系統中，應用z變換的目的是為了把描述系統的差分方程轉換為復變量z的代數方程，然后寫出離散系統的傳遞函數（

16、z域傳遞函數）、做某種運算處理，再用z反變換求出離散時間系統的時間響應。第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析28/1862.2.1部分分式展開法 在連續時間信號與系統中，曾用部分分式展開法求解拉普拉斯逆變換，同樣在離散時間信號與系統中，當 的表達式為有理分式時，z反變換也可以用部分分式展開法求取。首先將 分解成多個部分分式之和，然后對各部分分式求z反變換，則所求序列 就是各部分分式的z反變換之和。在求各部分分式z反變換時，可利用表2.1.2中的基本z變換對。)(zx)(zx)(nx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析29/

17、186表示成有理分式形式 展成以下部分分式形式 式中，若 時，才存在整式部分系數 （即上式右邊第一項），可用長除法得到，而當 時， ； 為 的各一階極點； 為 的一個 k階極點。依據留數定理，可求得系數 , 分別為iniimiiizazbzqzpzx101)()()(skkiksnkkknmnnnzzczzazbzx11110)1 (1)(nm nbnm 0nbkz)(zxiz)(zxkakc第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析30/186skzzxzzdzdkscsnkzzxzzzzxsaikkzzsikskskzzkzzk, 2 , 1,)()()!(1

18、, 2 , 1,)()()(re第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析31/186例例 2.2.12.2.1 已知 利用部分分式展開法求z反變換 。22)2)(1(2)(zzzzx2z)(nx2)() 1(1zzzxza2212)2(21)2)(1(2)(zczczazzzzzx 解：解：第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析32/1862)()2(221zzzxzdzdc4)()2(222zzzxzc所以2)2(42212)(zzzzzzzx考慮 收斂域知 應為右邊序列。查表2.1.2中的z變換對，得所求序列為)(zx)(n

19、x)()2()2(2) 1(2)(1nunnxnnn第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析33/186例例 2.2.2 已知 ， 利用部分分式展開法求z反變換 。 )6(5)(2zzzzx32 z)(nx32)3)(2(5)(21zazazzzzx解1)()2(21zzzxza1)()2(21zzzxza第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析34/186則32)(zzzzzx上式第一項只有極點 ，由收斂域中 可知，該項的反變換應為右邊因果序列，則2z3znzzz)3(310n，第二項只有極點 ，同樣由收斂域中 可知，該項的反變

20、換應為左邊序列，則 ， 3z3znzzz)3(311n第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析35/186所以，所求序列為1,)3(0,2)(nnnxnn或寫成) 1() 3()(2)(nununxnn 由以上分析可見，在求z反變換時，一定要考慮收斂域，注意區別哪些極點對應右邊序列，哪些極點對應左邊序列。第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析36/1862.2.2 冪級數展開法 前面已經提到， 為 的冪級數，即 由此可見，在給定的收斂域內，如果將 展開為冪級數，那么 項的系數就是序列 。將 展開為冪級數常用的方法有兩種。)(zx

21、1z2102)2() 1 ()0() 1()2()()(zxzxzxzxzxznxzxnn)(zxnz)(nx)(zx)(nx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析37/186 1）按冪級數公式展開）按冪級數公式展開 這種方法是運用已經熟知的冪級數展開公式完成對 的展開，往往多用于 是超越函數的情況，如 是對數、雙曲正弦等，這些函數的冪級數展開公式大多已有表格可查。下面通過例子對其進行說明。)(zx)(zx)(zx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析38/186例例 2.2.32.2.3 求 ， 的反變換 。 解: 依據冪級

22、數展開公式 ， 以及 中的 （由收斂域得到），可得由上式看到， 項的系數是 ，又由收斂域的形式得知， 是一個右邊序列，則所求 為)1ln()(1azzxaz )(nx11) 1()1ln(nnnnxx11x)(zx11az111) 1()1ln()(nnnnnzaazzxnznann 1) 1()(nx)(nx0, 01,) 1()(1nnnanxnn第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析39/1862）長除法）長除法 一般為有理分式，用 的分母多項式去除分子多項式就可得到其冪級數形式。在做長除之前，首先應該根據 的roc判斷 是右邊序列，還是左邊序列，然后決

23、定將 展開z的降冪級數或升冪級數。觀察z變換的定義式 ，若 是右邊序列，當 時,z的冪逐漸減小，則此時，應該將 展開z的降冪級數；若 是左邊序列，當 時，z的冪逐漸增加，則應該將 展開z的升冪級數。)(zx)(zx)(zx)(nx)(zxnnznxzx)()(n)(zx)(nxn)(zx)(nx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析40/186例例2.2.22.2.2 試用長除法求 ， 的z 反變換 。 解 由表達式知， 只有一個極點 ，且收斂域 在極點所在圓的外部，所以 應為右邊序列，則應將 展開成z的降冪級數。運用長除法得111)(azzxaz )(nx)

24、(zxaz az )(nx)(zx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析41/186即所以 。2211111)(zaazazzx)()(nuanxn第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析42/186例例2.2.32.2.3 試用長除法求 ， 的z反變換 。 解 因為收斂域為環狀，所以所求序列為雙邊序列。對于雙邊序列可先將其分解為右邊序列和左邊序列，所以先將 展開成部分分式再長除。)41)(4()(2zzzzx441 z)(nx)(zx414)41)(4()(21zazazzzzzx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號

25、與系統的z z域分析域分析43/186根據式（2.2.3）求系數 、 則1a2a15141441)()41(15164144)()4(41241zzzzxzazzxza( )16/151/15144x zzzz第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析44/186所以 為)(zx121611161( )()( )( )1115 41515 41544zzzzx zxzxzzzzz)(zx 觀察 的收斂域可知，上式的第一項對應左邊序列，第二項對應右邊序列。分別運用長除法如下：第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析45/186即zzz

26、zzzx441664)(23451第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析46/186641641)(3212zzzzx 的冪級數形式為所以z反變換 為)(zx54312321( )(41)156416441664zzzzzzx zzz )(nx21(4),115( )11( ),015 4nnnx nn 第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析47/1862.2.3. 圍線積分法(留數法) 除了以上討論的求解z反變換的兩種方法外，z反變換也可以用反演積分來計算。現在用復變函數理論來研究 的反變換。 對z變換定義式兩端同乘以 ，得

27、對上式兩端進行圍線積分，可得)(zx1kz11)()(knnkznxzzx cknnckdzznxjdzzzxj11)(21)(21第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析48/186其中c是一條位于 收斂域內環繞原點的逆時針圍線。若級數收斂，交換上式右端的積分與求和次序，得 依據柯西積分定理 則綜合得)(zxcknnckdzzjnxdzzzxj1121)()(21knkndzzjckn,0, 1211第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析49/186)()(211kxdzzzxjck將上式的變量k用n代換，得 （2.2.7）這

28、就是圍線積分的z反變換公式。cndzzzxjnx1)(21)(第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析50/186 直接計算式（2.2.7）的圍線積分比較復雜，當 是有理分式時，通常都采用留數定理來求解。若 是被積函數 位于c內的所有極點，則按照留數定理，有1)(nzzxkz1)(nzzx111( )( )re ( )2knnzzckx nxz zdzs xz zj第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析51/186若 是被積函數 位于c外的所有極點，且 分母多項式z的階次比分子多項式z的階次高兩階或兩階以上，則按照留數輔助定理，

29、有 實際使用中，具體選用哪一個，取決于計算的簡便性，一般選用計算一階極點留數的那一個。mz1)(nzzx1)(nzzx111( )( )re ( )2mnnzzcmx nxz zdzs xz zj 第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析52/186 若 是 的一階極點，則有 若 是 的多重（s階極點），則有kz1)(nzzx11re( )()( )kknnkz zz zs x z zzzx z zkz1)(nzzx11111re( )()( )(1)!kksnsnksz zz zds x z zzzx z zsdz需要注意的是，在使用上述兩式時，一定要計算 出

30、 位于c內或c外的所有可能的極點處的留數，而且，當n取值不同時， 處極點的階次可能會發生變化。1)(nzzx0z第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析53/186例例2.2.4 求 ， 的反變換。解 的反變換為由于收斂域為 ，所以 應為因果序列，當 時， 不是 的極點。所以，在收斂域內環繞原點的圍線c內只有一階極點 、 ，則)5 . 0)(1()(2zzzzx)(nx1z( )x z1( )re(1)(0.5)knkz zzx nszz1z0n0z1(1)(0.5)nzzz1z5 . 0z第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析

31、54/186110.50.5re(0.5)0.5(1)(0.5)(1)(0.5)nnnzzzzszzzzz 由此得所求序列為( )2(0.5)( )nx nu n1111re(1)2(1)(0.5)(1)(0.5)nnzzzzszzzzz第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析55/186例2.2.5 試用留數法求 ， 的z反變換 。解解 c為 收斂域內的圍線，如圖2.2.1所示。)41)(4()(2zzzzx441 z)(nxkzzncnkzzzsdzzzzjnx)41)(4(re)41)(4(21)(11( )x z第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間

32、信號與系統的z z域分析域分析56/186 當 時，圍線c內只有一個一階極點 ，則 當 時，圍線c外只有一個一階極點 ，而c內有一個一階極點 以及 階極點 ，而且1n41z1,)41(151)41)(4()41(re)(411nzzzzsnxnzn2n4z41z) 1( n0z)41)(4(1zzzn第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析57/1862,)4(151)41)(4()4(re)(241nzzzzsnxnzn綜合上述分析，得可見，與例2.2.3結果相同。2,)4(1511,)41(151)(2nnnxnn第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信

33、號與系統的z z域分析域分析58/1862.3 2.3 變換的性質與定理變換的性質與定理 在研究離散時間信號與系統過程中，理解并掌握z變換的一些常用性質與定理是特別重要的。這些性質往往與z變換對結合起來用，使z變換與z反變換的求解過程得到簡化。第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析59/1861.線性性質線性性質 z變換是一種線性變換，滿足均勻性與疊加性，即若 則對于任意常數a、b下式成立： 收斂域一般是 和 收斂域的重疊部分。若在這些組合過程中，某些零點與極點相抵消，則收斂域有可能擴大。z ( )( ),xxx nx zrzrz ( )( ),yyy ny

34、zrzr),min(),max(),()()()(yxyxrrzrrzbyzaxnbynaxz)()(zbyzax)(zx)(zy第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析60/186例例2.3.1 已知 ，求其z變換。解 依據歐拉公式，得由題知， 是一個右邊因果序列。查表2.1.2可知 )()cos()(0nunnx0001cos() ( ) ( )2jnjnn u neeu n)(nx11( ),1nz a u nzaaz第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析61/186由此得 綜合上述分析，得所求z變換為 00011(),1

35、1jnjjz eu nzeez00011( ),11jnjjz eu nzeez00011111cos() ( ),12 11jjzn u nzezez第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析62/1862移位性質移位性質1）雙邊）雙邊z變換變換 若序列 的雙邊z變換為 ， 則移位m后的序列 的雙邊z變換為 ， 其中m為任意整數，若m為正，則為右移（延遲）；若m為負，則為左移（超前）。)(nxz ( )( )x nx zxxrzr)(mnxz ()( )mx nmzx zxxrzr第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析63/18

36、6證明 依據雙邊z變換的定義，可得 可以看出，序列位移只會使新序列的z變換在 或 處的零極點情況發生變化：當 m為正時，在 處引入極點，在 處引入零點；當m為負時，在 處引入極點，在 處引入零點。也就是說， 的收斂域與 的收斂域相同， 或 可能除外。)()()()(zxzzkxzzmnxmnxzmkkmnn0zz0zzz0zz ()x nm( )x z0zz第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析64/186 例如， 的收斂域為整個z平面，而 在 處不收斂， 在 處不收斂。但如果 是雙邊序列， 收斂域為環形區域，則序列位移并不會使z變換收斂域發生變化。z ( )

37、 1nz (1)nzz1z (1)nz0z)(zx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析65/1862) 單邊單邊z變換變換 設序列 的單邊z變換為 ，則 右移k與左移k（k為正整數）后新序列的單邊 變換分別為 )(nx)(zx)(nx()01 ()()( )( )( )nk mnmkknnkz x nkx nk zx m zzx zx n z010 ()()( )( )( )nk mnm kkknnz x nkx nk zx m zzx zx n z第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析66/186 （2.3.7） 如果 是

38、因果序列，則 項都等于零，而且由于因果序列的單邊z變換與雙邊z變換是相同的，于是因果序列右移后的單邊z變換為 而因果序列左移后的單邊z變換為)(nx1( )nnkx n z)()()(zxzzxzknxzkk10 ()( )( )kknnz x nkzxzx n z第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析67/186)(nx由于在實際中，需處理的信號大多是因果序列，除了移位性質以外，雙邊z變換的性質大多都適用于單邊z變換。 另外，從以上分析可知，若序列 延遲一個單位，即 ，新序列的z變換多乘一個 ，所以，在后續內容中，繪制信號流圖時常用 表示單位延遲。)(nx)

39、 1( nx1z1z第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析68/186例例2.3.2 求序列 的z變換。 解 查表2.1.2可知依據移位性質得因此，依據線性性質得所求為( )( )(3)x nu nu n ( ),11zz u nzz23 (3) ( ),11zz u nz z u nzz2221 ( ),111zzzzz x nzzzz第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析69/1863.序列指數加權性質（序列指數加權性質（z域尺度變換）域尺度變換） 此性質描述了序列 乘以指數 后，其z變換如何變化。若 ， 則有 其中a為常

40、數，可以為復數。可見序列x(n)乘以實指數序列等效于z平面尺度展縮。 證明證明 依據 定義得 ， 即收斂域為 。)(nxna)()(zxnxzxxrzrxxnrazraazxnxaz),()( )( )( )( )( )nnnnnnzzz a x na x n zx nxaaxxzrraxxa rza r第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析70/1860jnae 依據這一性質可見，新序列z變換的零極點的位置均改變了。這是因為如果 有一個零點或極點 處，則 一定有一個零點或極點在 ，即 處。也就是說在z域發生了尺度變換。若a為正實數，則表示零極點位置在z平面內

41、沿徑向收縮或擴展；若 ，則表示零極點在z平面內圍繞原點旋轉一個角度 。( )x zkzz( )zxakzzakzaz0jnae第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析71/1864.序列的線性加權序列的線性加權(z域微分域微分) 若 則有證明證明 將z定義式 兩端對z求導得即xxrzrzxnxz, )()(xxrzrzxdzdznnxz, )()( )( )nnx zx n z11( )( )( )()( )( )nnnnnnnndx zddx n zx nzdzdzdznx n zznx n z ( )( )dx zz nx nzdz 第第2 2章離散時間信號

42、與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析72/186例例2.3.3 求 ， 的z反變換。 解 將 兩端對z求導得則查表2.1.2知 ， 依據移位性質得 再依據z域微分性質知 綜合上述兩式，得 即所求序列為 1( )ln(1)x zazza1( )ln(1)x zaz21( )1dx zazdzaz21( )()( )1zndx zaaau nzdzaz za11( )()(1)1zndx zazaau nzdzaz 1( )( )1zdx zaznx nzdzaz 1( )()(1)nnx naau n1()(1)( )naau nx nn第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號

43、與系統的z z域分析域分析73/1865.共軛序列共軛序列 若 ，則有 其中， 為 的共軛序列。 證明 xxrzrzxnxz, )()(xxrzrzxnxz，)()(*)(*nx)(nxxxnnnnnnrzrzxznxznxznxnxz，)()()()()(*第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析74/1866.反褶序列反褶序列 若 ，則有 從上式可見， 的收斂域是 收斂域的倒置。證明證明即收斂域為 。xxrzrzxnxz, )()(xxrzrzxnxz11, )1()()( nx )(nxxxnnnnnnrzrzxznxznxznxnxz11)1()()()

44、()(，xxrzr11第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析75/186例例2.3.4 求 的z變換。 解 由題可見， 是序列 的反褶序列，查表2.1.2知 ， 則依據反褶性質得所求z變換為 ， ( )()nx na un( )()nx na un( )na u n11( )1nz a u nazza1( )(1)1nx zz a u naz1za第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析76/1867.初值定理初值定理 若 是因果序列，則其初值為 證明證明 依據z變換定義顯然 由初值定理可以看出，若 是因果序列，則根據 就可求得

45、 ；反過來，若因果序列 的初值為一個有限值，則其z變換 分子多項式z的階次一定小于等于分母多項式z的階次。( )x n)(lim)0(zxxz120( )( ) ( )( )(0)(1)(2)nnnnx zx n u n zx n zxxzxzlim( )(0)zx zx( )x n)(zx)0(x( )x n)(zx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析77/1868. 終值定理終值定理 對于因果序列 ，若 的極點在單位圓內，且只允許單位圓上最多在 處有一階極點，則有 證明 依據序列移位性質得因為 是因果序列，所以 ( )x n( ) ( )x zz x n

46、1z 11)(re)() 1(lim)(limzznzxszxznx (1)( )(1)( ) (1)( )nnz x nx nzx zx nx n z( )x n11(1)( ) (1)( )lim (1)( )nnmnnmzx zx nx n zx mx m z第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析78/186) 1( z又由于只允許 在z=1處可能有一階極點，故因子 將抵消這一極點，因此 在 上收斂，所以可取z1的極限。所以 ( )x z) 1( z)() 1(zxz z111lim(1)( )lim (1)( )lim (0)0 (1)(0) (1)(

47、 )lim (1)lim ( )nmznmnnnzx zx mx mxxxx nx nx nx n1lim(1)( )lim ( )znzx zx n第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析79/186 顯然，只有極點在單位圓內，當 時 才收斂，才可應用終值定理。該定理又可寫為即通過 可求得 的終值。n( )x n1( )re ( )zxs x z )(zx( )x n第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析80/1869.有限項累加特性有限項累加特性 對于因果序列 ，若 ， ，則有 證明 令 ，顯然 也為因果序列，則依據定義得(

48、 )x n( ) ( )x zz x nxzr0( )( ),max,11nxmzzx mx zzrz0( )( )nmy nx m( )y n000 ( )( )( )nnnmnmz y nzx mx m z 第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析81/186由此可知n、m的取值范圍分別為 ，如圖2.3.1所示，交換求和次序，得收斂域為第一次求和結果 的收斂域 及 收斂域 的重疊部分。0,),0, nmn 1max),(1)(1111)()1 ()()()()(00110210000， xmmmmmmmmnnnnnmnmrzzxzzzmxzzzmxzzzmx

49、zmxzmxmxz111 z1z( )x zxzr第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析82/18610.序列的卷積和序列的卷積和(時域卷積定理時域卷積定理) 若 ； ，則 的z變換為 ( ) ( ),xxx zz x nrzr( ) ( ),hhh zz h nrzr( )( )( )y nx nh n( ) ( ) ( )( )( )( ),max,min,xhxhy zz y nz x nh nx z h zrrzrr y(z)的收斂域是x(z)和h(z)收斂域的重疊部分。但如果位于某一z變換收斂域邊緣上的極點被另一z變換的零點抵消，則收斂域將會擴大。第

50、第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析83/186證明證明 ( )( ) ( )( )nnz x nh nx nh n z( ) ()( )()( )( )( )( )( )( ),max,min,nnmnmnkmmkmmxhxhx m h nm zx mh nm zx mh k zzx m zh zx z h zrrzrr 第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析84/186 可見兩序列在時域中的卷積對應于在z域中兩序列z變換的乘積。在分析離散線性移不變系統中，時域卷積定理特別重要。如果x(n)與h(n)分別為線性移不變離散系統

51、的激勵和單位抽樣響應，那么在求系統的響應時y(n)時，可以避免卷積運算，通過x(z)h(z)的逆變換求出y(n)，在很多情況下，這樣會更方便些。第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析85/186例例2.3.3 已知 ， 求 。 解 、 的z變換分別為則依據時域卷積定理，得 ， 1( )( ), ( )( )(1),nnnx na u n h nb u nabu nba( )( )( )y nx nh n( )x n( )h n( ) ( ),zx zz x nzaza1( ) ( ),zzzazah zz h nazzbzbzbzbzbzb( )( )( )z

52、zazy zx z h zza zbzbzb第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析86/186( )y z上式中 的極點與 的零點相消， 的收斂域擴大為 ，所以( )x z( )h z( )y z1( )( )( ) ( )( )ny nx nh nzy zb u n第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析87/18611.序列相乘序列相乘(z域卷積定理域卷積定理) 若 ； ， ， 則 的z變換為 , (2.3.16) 其中, c是在啞元變量v平面上， 、 公共收斂域內環繞原點的一條逆時針封閉圍線。( ) ( ),xxx zz

53、x nrzr( ) ( )h zz h nnnrzr( )( ) ( )y nx n h ndvvvzhvxjdvvvhvzxjnyzzycc11)()(21)()(21)()(nxnxrrzrr( / )x z v( )h v第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析88/186例例2.3.4 已知 ， 求 。 解：解： 1( )( ), ( )(1)nnx na u n h nbu n( ) ( ) ( )y zz x n h ndvbvzavvjdvbvzavvjnhnxzzycc)(21121)()()(abz 第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信

54、號與系統的z z域分析域分析89/186 的收斂域為 ，而 的收斂域為 ，即 ，則重疊部分為 ；因此圍線c內只有一個極點 ，用留數計算可得 ( )x vva( )zhvzbvzvbzavb.,)(re)(21)(abzabzabvzvbvzavvsdvbvzavvjzyavavc第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析90/18612.帕塞瓦爾帕塞瓦爾(parseval)定理定理 若 且 ，則 (2.3.17)其中“*”表示復共軛，閉合積分圍線c位于 與 收斂域的重疊部分內（證明從略）。( ) ( ),( ) ( ),xxhhx zz x nrzrh zz h

55、nrzr；，1xnxnr rr r dvvvhvxjnhnxcn1*)1()(21)()()(vx)1(*vh第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析91/186說明說明 ：這表明序列的能量可用頻譜求得。這就是帕塞瓦爾公式（定理）。為實序列時，則）當（dvvvhvxjnhnxnhcn1)1()(21)()()(111/,1( )( )()()2jjjnvvvex n hnx ehed（2）當圍線取單位圓時，因為則。22( )( )1( )()2jnh nx nx nx ed（3）當時，則第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析92

56、/1862.4 z2.4 z變換與拉普拉斯變換、傅里變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換的關系葉變換的關系 z變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換之間有著密切的聯系，在一定條件下可以相互轉換。本節詳細分析三者之間的關系。第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析93/1862.4.1 z變換與拉普拉斯變換的關系1.序列序列z變換與理想抽樣信號的拉普拉斯變換的關系變換與理想抽樣信號的拉普拉斯變換的關系 設 為連續時間信號， 為其理想抽樣信號，則 的拉普拉斯變換為 (2.4.1)(tx)( tx)( tx nnnstntsnststnstentxentxdtnttentxdten

57、ttntxdtetxtxlsx)()()()()()()( )( )(第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析94/186而序列 的z變換為 考慮 ，則 時，序列 的z變換就等于理想抽樣信號的拉普拉斯變換。即 )(nxnnznxzx)()()()(ntxnxstez )(nx( )()( )ststz ex zx ex s第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析95/186二者的關系，實際上就是由復變量s平面到復變量z平面的映射，其映射關系為 ， 現在進一步討論這一映射關系。將s用直角坐標形式表示為而z用極坐標形式表示為綜合考慮以

58、上三式，得即 stez ztsln1sj jrez tjtjeere.,tret 第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析96/186由此可見，z的模 僅對應于s的實部 ，而z的相角 僅對應于s虛部的 。下面具體分析s平面與z平面的映射關系。 （1） 與與 的映射關系的映射關系其映射關系如圖2.4.1所示。rrter)(10)(10)(10平面單位圓外平面單位圓內平面上的單位圓zrzrzr第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析97/186圖2.4.1 與 的映射關系r第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域

59、分析域分析98/186（2) 2) 與與 的映射關系的映射關系依據 知：t 由 增加到 ，對應于 由 增加到 ，即s平面為 的一個水平條帶對應于z平面輻角由 到 轉了一周，也就是覆蓋了整個z平面。 tt2t0000,2/tt 第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析99/186 實際上， 每增加一個 ，則 相應地增加一個 ，也就是說，s平面平面上寬度為 的各個水平條帶都映射為同一個z平面，如圖2.4.2所示。2t22t圖 2.4.2 與 的映射關系第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析100/1862. 序列序列z變換與連續時間

60、信號的拉普拉斯變換的關系變換與連續時間信號的拉普拉斯變換的關系 熟悉了s平面和z平面的映射關系，就可以通過理想抽樣所提供的橋梁，找到序列x(n)的z變換x(z)與連續時間信號 的拉普拉斯變換 之間的關系。 是 的周期延拓，即 )(sx)(sxksjksxtsx)(1)(112( )( )()()stsz ekkx zx sx sjkx sjkttt與與 的關系為的關系為 )(zx)(sx第第2 2章離散時間信號與系統的章離散時間信號與系統的z z域分析域分析101/1862.4.2 z變換和傅里葉變換的關系 我們知道，傅里葉變換可以看作是拉普拉斯變換在虛軸 的特例,因而映射到z平面上為單位圓