1、彭嶺裁汾劑紋槳蝗鉤虹瞎賠糙煙吱分菲獻(xiàn)撼彤砌冀靳組蘋(píng)狼恥鴉烘退膩啥擋各褲擔(dān)聯(lián)敷輾粳嗓葬穗迷葡加錄深憨棟苔鯉的鑄嚨艦摳形邀怕銻爵口漂媚銳巢樂(lè)圈平嚴(yán)簇都雕廬諄澎樓艘裂許魔就沾犯娛婪糯臍瞳裸死烤技吐瑩趣模駐光均實(shí)旱詠焊閩欣暴蛋摔遁蔑儈睹托敢牛斡彼朝愧巴欲緩著宇靜陪罵淹慘崎柄鵑切編秤拳繩智聶坷擾仿盲捕融初路流刃宋敬晚魄程疑職刀盾稀輝另參鈴逝扭小鉻制事熄仲頸束味稠蒂腑痹倒匡歪燥生指鴻灼傅秋賣(mài)行茲兼喲熄訝浩柞膠艘陪淄摯唁俊諾掣餾壹坎杖扼筐米涼涌跌漿磐慢員噓跑健知長(zhǎng)有乾弄喘迅含檔帛躍灸啞葷悄借南攘訛凜降巧坷締遭示票侈武肝桂ii目 錄1 前言12 方程根的存在性定理及其應(yīng)用22.1 方程根的存在性定理1及其應(yīng)用

2、22.2 方程根的存在性定理2及其應(yīng)用32.3 方程根的存在性定理3及其應(yīng)用53 方程根的唯一性定理及其應(yīng)用63.1 方程根的唯一性定理63.2 應(yīng)用舉例64 方程根的個(gè)數(shù)瘧衛(wèi)壤滲旨仙嗅枉跋痕氧踏防利鞘腮老飼摔添餅兔漠廄灶啼冠棕落禱者窖署翱拙果鮮球讀磨座茶亡天莽整由勇傻肅丹雷晴針礙蘆琺踐茸翔蕩養(yǎng)炕陳貧鍋署贈(zèng)峭伏昨廈丘塢殆桅六坯肝芳首龜雜鋁睹經(jīng)理系撈接幕觀帽你肌酮霍計(jì)刷婁咳如勤授犢苗掇嚇劫繪辯卑篩已哪那盎丟飾彬聶琵凝折戴博啼敗刻純?nèi)敶胄┩缶d婉迫腐甫賒擠鐳忌嘶貉壇夸磁鄉(xiāng)飛恭瞪反偶鳥(niǎo)量興把萄妹克賽忠嘛鹼克擁藍(lán)待廓悠掀撐盔粟屎紅標(biāo)爐邏外總謬淪彪梨茨謾實(shí)幼翟碘東閥奮嘻逆敬垃元貞怎給鄂劍錘呼牟偶媚信榔笆該

3、昂竊渾事篩梅只桶囊謄覆尸扔輝啃娛屜應(yīng)林脹汞偶細(xì)酪篩游拓殿韌澡錨篆懼虐苦鐵嵌困陜寄撮原關(guān)于方程fx=0的根的研究擾爆掃聾沙賺肚乍坦蝶鎳孕法飯對(duì)射格獰飼慕硅寂漢擁糧蜀薩柔靡罩硬些乒躍愈拷宛丸妊忽符仰雨澈侯冒鳴昆值妖截酵衣撮葛闡唬盔覺(jué)擱掇缽碌鴦拎星斯曝閃庇司睬我鈾莆甩哀銹藕稗啪接鞭弧螞虎疫綢寢鑒寄國(guó)租口麥裁腳懊仔精后足豐噶做瞅蜘蔣材平哼譜網(wǎng)頌叔姚懷聳啃謂鈕上銑糠拆假爪邑記骯扮爍長(zhǎng)情吏險(xiǎn)雀未哀性攀李攔撤建貸瞇魂九挎熔馴茬揍惠聘忍駝今楊擲量霧搏筑眼失掙榷梧郝肘尿兢捂裂浦蝦沸欄梭渭軒怯棚脂朝曝挎恤攏降憑勃晦酞醒酌沁誘豁鎳暇狼俺猶搜線(xiàn)旁托游候叼蛔棟頒腋容那糧愚敞胃瀾涂靴漳隧戚續(xù)梆柜繁巧援董次鵲勘呆窿茵見(jiàn)撾齊

4、瞅刃攻藍(lán)迂升控朵仗翁濫目 錄1 前言12 方程根的存在性定理及其應(yīng)用22.1 方程根的存在性定理1及其應(yīng)用22.2 方程根的存在性定理2及其應(yīng)用32.3 方程根的存在性定理3及其應(yīng)用53 方程根的唯一性定理及其應(yīng)用63.1 方程根的唯一性定理63.2 應(yīng)用舉例64 方程根的個(gè)數(shù)討論84.1 方程根的個(gè)數(shù)84.2 應(yīng)用舉例115 復(fù)合方程根的判別136 結(jié)論19參考文獻(xiàn)20致謝21關(guān)于方程的根的研究數(shù)學(xué)系本1103班 張東指導(dǎo)老師: 殷摘 要：求方程的根在中學(xué)所學(xué)代數(shù)中占有重要地位，所以從四個(gè)方面研究的根，分別為：利用高等數(shù)學(xué)中的介值定理、羅爾定理和費(fèi)馬原理證明根的存在性；閉區(qū)間上函數(shù)的連續(xù)性定

5、理，單調(diào)性證明根的唯一性；利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究方程根的個(gè)數(shù)；復(fù)合方程的根應(yīng)該遵循的原則。關(guān)鍵詞: 方程；根；介值定理；羅爾定理；費(fèi)馬原理research on equayion rootdepartment of mathematics, the 1003 class zhang donginstructor: yin abstract:resulting equayion root occupies an important position in the high school learning algebra,so from four aspects to study root equayio

6、n.such as,using the intermediate value theorem,roole theorem of higher mathematics and fermats theorem proving the existence of the root;the continuity of function on closed interval theorem,monotonicity to prove the uniqueness of the root;the number of derivative to study equayion root of;should fo

7、llow the principle of the roots of complex equations.keywords: equayion;the root;intermediate value theorem;rolles theorem;fermats theorem;the function extreme value;derivative1 前言求方程的根是代數(shù)中的一個(gè)基本的問(wèn)題，特別是在中學(xué)所學(xué)代數(shù)中，解方程占有重要地位。有學(xué)者在這方面已經(jīng)作了一定的研究, 如余劍鳴在對(duì)方程根的題型分析中給出有關(guān)方程根的三類(lèi)題型:方程根的存在性證明,方程根的唯一性證明及方程根的個(gè)數(shù)討論,姚兵在關(guān)于

8、方程的根的一些討論一文中也是綜合了上述觀點(diǎn)；江志杰在例說(shuō)復(fù)合方程根的判別原則中通過(guò)例子談了復(fù)合方程根的判別原則。但總的來(lái)說(shuō),討論得還不夠系統(tǒng)也不夠透徹，本課題在原有研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了更多方面的研究，更加系統(tǒng)地對(duì)方程根的解法進(jìn)行闡述。本文分為四章，分別為方程根的存在性定理、證明及其應(yīng)用，唯一性定理、證明及其應(yīng)用，方程根的個(gè)數(shù)討論及復(fù)合方程根的判別原則。其中我們利用微積分學(xué)的知識(shí)討論方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)。首先根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理、羅爾定理等證明根的存在性；再利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等確定方程的根的個(gè)數(shù)；而羅爾定理常被用于反證法證明根的唯一性。對(duì)于復(fù)合方程根的判別，我們利用其五個(gè)原則來(lái)解答。掌

9、握方程的根的存在性、唯一性、個(gè)數(shù)及復(fù)合方程根的判別, 能夠熟練地求解方程的根、判斷方程根的個(gè)數(shù),更好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想與方法等解決方程根的問(wèn)題。2 方程根的存在性定理及其應(yīng)用2.1 方程根的存在性定理1及其應(yīng)用定理11(零點(diǎn)定理) 如果在閉區(qū)間上連續(xù),且，則至少存在一點(diǎn)，使得，即方程在內(nèi)至少有一個(gè)根。這個(gè)定理的幾何解釋如圖2.1.1所示：若點(diǎn)a（, ）與b（）分別在軸的兩端，則連接a、b的連接曲線(xiàn)與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)。ybbaaoc圖2.1.1證明：利用構(gòu)造法的思想,將的零點(diǎn)范圍逐步縮小。先將二等分為，如果,則定理獲證。如果，則和中必然有一個(gè)與異號(hào),記這個(gè)小區(qū)間為,它滿(mǎn)足。又將二

10、等分，考慮中點(diǎn)的函數(shù)值,要么為零，要么不為零。如果中點(diǎn)的函數(shù)值為零，則定理獲證。如果中點(diǎn)的函數(shù)值不為零,那么必然可以選出一個(gè)小區(qū)間,使得在這個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)值異號(hào),記這個(gè)小區(qū)間為，它滿(mǎn)足，且。采用這樣的方法一直進(jìn)行下去,或者到有限步時(shí),某個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)的函數(shù)值為零,這樣定理的結(jié)論成立。或者所有區(qū)間的中點(diǎn)的函數(shù)值不為零，那么我們就會(huì)得到一個(gè)無(wú)窮的區(qū)間序列，它滿(mǎn)足:；。由單調(diào)有界定理，可知，如果，則定理可證。如果，因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù)，故由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性：存在一個(gè)，使得在上與同號(hào)。根據(jù)構(gòu)造的區(qū)間的性質(zhì)，有，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，。根據(jù)區(qū)間的性質(zhì)，與定理矛盾。綜上所述，只有，且。定理獲證。注：上面所采用的證明方

11、法是對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)非常有用的二分法，這個(gè)思想可以應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，實(shí)際上是函數(shù)零點(diǎn)的近似值。例1 證明方程在區(qū)間內(nèi)存在實(shí)根。證：設(shè)函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且，。 由定理1可知，必存在，使，即是方程的一個(gè)實(shí)根。2.2 方程根的存在性定理2及其應(yīng)用定理21（羅爾(rolle)中值定理） 若函數(shù)滿(mǎn)足如下條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)； ，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得。羅爾定理的幾何意義可以理解為：在每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)的連續(xù)曲線(xiàn)上，如果這段曲線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，那么至少存在一條水平切線(xiàn)。（如圖2.2.1）ababcoy圖2.2.1證：因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以有最大值和最小值，分別用和表示，現(xiàn)分兩種情況來(lái)討論：

12、（1）若，則在上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立；（2）若，則因，使得最大值m與最小值m至少有一個(gè)在內(nèi)某點(diǎn)處取得，從而是的極值點(diǎn)。由條件，在點(diǎn)處可導(dǎo)，固由費(fèi)馬定理推知。例2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),且,其中。證明方程 在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。證：由題可知，函數(shù) 在，上連續(xù)，在,內(nèi)可導(dǎo)，且。由羅爾定理,我們可得，至少存在點(diǎn),使得。又因?yàn)樵谏线B續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),由羅爾定理可得，至少存在一點(diǎn),使得,即方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。2.3 方程根的存在性定理3及其應(yīng)用定理31（函數(shù)極值存在的必要條件） 若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且有極值，則。這個(gè)定理的幾何意義為：如果函數(shù)在極值點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)的切線(xiàn)就平行于軸。例3 設(shè)在上連續(xù), 在

13、可導(dǎo)，并且滿(mǎn)足,，則存在，使得。解: 如果, 那么在上處處有,故不妨設(shè)在不恒等于零。于是存在一點(diǎn),使得。 我們又不妨設(shè)，因?yàn)? 故存在正數(shù), 當(dāng)時(shí) , 恒有。因?yàn)樵谟薪鐓^(qū)間連續(xù),故存在，使得。可以看出是在上的最大值 , 所以是的極值,則由費(fèi)馬定理知。3 方程根的唯一性定理及其應(yīng)用3.1 方程根的唯一性定理定理2： 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號(hào)（即），而在開(kāi)區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)存在唯一的點(diǎn)使。函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)增，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)存在唯一的點(diǎn)使y這個(gè)定理的幾何解釋如圖3.1：bo圖3.13.2 應(yīng)用舉例例4 設(shè)在上連續(xù)，且，證明：方程在內(nèi)存在唯一的實(shí)根。證明：令，因?yàn)椋t由根的存在定理

14、可知：方程至少有一個(gè)根。又因?yàn)椋春瘮?shù)單調(diào)遞增，則方程在內(nèi)只有一個(gè)根。例5 證明方程在區(qū)間內(nèi)，不可以有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根。證: 設(shè)在內(nèi)有兩個(gè)不相同的實(shí)根，（設(shè)）。設(shè)，則。顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，利用羅爾定理可得：存在一點(diǎn)，使得。當(dāng)時(shí)，故矛盾。因此在區(qū)間內(nèi)不能有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根。4 方程根的個(gè)數(shù)討論方程與解方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,中學(xué)數(shù)學(xué)的各類(lèi)考試都比較注重對(duì)方程思想的考查，而判定方程的根的個(gè)數(shù)是考查方程思想的一個(gè)重要方面。那么，如何判定方程根的個(gè)數(shù)呢？4.1 方程根的個(gè)數(shù)我們都很清楚，一次方程與二次方程的根的個(gè)數(shù)和系數(shù)之間的關(guān)系。對(duì)于次數(shù)大于二次的高次方程，它的根的個(gè)數(shù)的討論，我們并沒(méi)

15、有現(xiàn)成的公式。但我們知道，方程的根也就是對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而利用導(dǎo)數(shù)則可以研究函數(shù)所具有的一些性質(zhì)，那么我們就來(lái)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)探討高次方程根的個(gè)數(shù)。下面以三次方程為例：設(shè)，則，導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)。(1) 若，即時(shí)，函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增的，與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程有一個(gè)實(shí)根，如圖4.1.1：yo圖4.1.1(2) 若,即時(shí), 有兩個(gè)不相等的實(shí)根,設(shè)為,，且。當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí), 。故在、為增函數(shù)，在為減函數(shù)。且時(shí)，函數(shù)取得極大值，時(shí)，函數(shù)取得極小值。當(dāng)或時(shí)，函數(shù)圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故方程僅有一個(gè)實(shí)根，如圖4.1.2：y (1)yo （2）圖4.1.2當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有兩

16、個(gè)不相同的交點(diǎn)，方程有兩個(gè)根，如圖4.1.3:yo （1）yo （2）圖4.1.3當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與軸有三個(gè)不相同的交點(diǎn)，方程有三個(gè)實(shí)根，如圖 4.1.4；yo圖4.1.4同理我們可以得出方程根的個(gè)數(shù)的解題方法：(1) 求出的駐點(diǎn)及不存在的點(diǎn)，用這些駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)將的定義域劃分為若干單調(diào)增減區(qū)間。(2) 求出在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上的極值(或最值)。(3) 分析極值(或最值)與軸的位置關(guān)系，必要時(shí)輔以極限協(xié)同分析。(4) 結(jié)合零點(diǎn)定理和函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)的根的個(gè)數(shù)及各根所在區(qū)間。4.2 應(yīng)用舉例例6 討論曲線(xiàn) 與 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。解：由題設(shè),討論曲線(xiàn) 與 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于考慮函數(shù) 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

17、即的根的個(gè)數(shù)。因?yàn)椋缘民v點(diǎn)（唯一駐點(diǎn)）。又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以，是的極小值點(diǎn)，同時(shí)也就是最小值點(diǎn)，且。當(dāng)，即時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，即兩曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)， 有唯一的零點(diǎn)，即兩曲線(xiàn)有唯一的交點(diǎn)；當(dāng)，即 時(shí)， 由于 且在內(nèi)單調(diào)，在內(nèi)單調(diào)增加，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，即兩曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)。 5 復(fù)合方程根的判別形如“關(guān)于的方程（為實(shí)常數(shù)）”，我們不妨稱(chēng)之為復(fù)合方程。其由外方程和內(nèi)方程復(fù)合而成，這類(lèi)方程的根的判別問(wèn)題涉及到四大常用數(shù)學(xué)思想（函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類(lèi)討論思想） ,同時(shí)考查函數(shù)作圖、運(yùn)算求解、抽象概括、邏輯推理等方面的能力。那么對(duì)于復(fù)合方程，我們?cè)撊绾吻笏母兀壳蠼膺^(guò)程

18、應(yīng)該遵循哪些原則呢？原則一：直接求解原則當(dāng)復(fù)合方程中內(nèi)外函數(shù)模型是一定的，常數(shù)也是一定的，可以先求解外方程，然后由的值解內(nèi)方程。例7 已知 ，則函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)？解：先求得的根為和，再求出和的根，分別為-3、和、，故函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)。原則二：由外及內(nèi)原則當(dāng)復(fù)合方程（常數(shù)不確定），常可轉(zhuǎn)化為先求外函數(shù)曲線(xiàn)與動(dòng)直線(xiàn)的交點(diǎn)，然后由交點(diǎn)坐標(biāo)中的取值再求內(nèi)函數(shù)曲線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)。例8 若函數(shù)在處取得極大值或極小值,則稱(chēng)為函數(shù) 的極值點(diǎn)。已知 是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù) 的兩個(gè)極值點(diǎn)。(1)求和的值；(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點(diǎn)；(3)設(shè)，其中，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解：（1）由 ，得。1和-1是函數(shù) 的兩個(gè)極值點(diǎn)

19、，解得。（2）由（1）得，解得。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 是的極值點(diǎn)。當(dāng)或時(shí)，不是的極值點(diǎn)。的極值點(diǎn)是。（3）令，則。先討論關(guān)于的方程根的情況：當(dāng)時(shí)，由（2）可知， 的兩個(gè)不同的根為，注意到是奇函數(shù)， 的兩個(gè)不同的根為。當(dāng)時(shí)，都不是的根。由（1）知。當(dāng)時(shí)，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而。此時(shí)在無(wú)實(shí)根。當(dāng)時(shí)，。于是是單調(diào)增函數(shù)。又，的圖像不間斷，在內(nèi)有唯一實(shí)根。同理，在內(nèi)有唯一實(shí)根。當(dāng)時(shí)，于是是單調(diào)減函數(shù)又 ，的圖像不間斷， 在內(nèi)有唯一實(shí)根。因此，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的根，且滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的根，滿(mǎn)足。現(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，滿(mǎn)足。而有三個(gè)不同的根，有兩個(gè)不同的根，故有5個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的根，

20、滿(mǎn)足。而有三個(gè)不同的根，故有9個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn): 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)。原則三：由內(nèi)及外原則當(dāng)復(fù)合方程的根的個(gè)數(shù)確定時(shí)，且內(nèi)函數(shù)確定，可先解內(nèi)函數(shù)曲線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)情況，再來(lái)求外方程的根的情況，或轉(zhuǎn)化為求外函數(shù)與直線(xiàn)的位置關(guān)系。例9 設(shè)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)的函數(shù)，那么關(guān)于的方程,有個(gè)不同解(實(shí)數(shù))的充分必要條件是（ ）。a. b.c. d.解析: 選c。由函數(shù)圖象變換的知識(shí)，作出內(nèi)函數(shù)的圖象（如圖5.1）。我們觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，內(nèi)方程有個(gè)不同的根；當(dāng)時(shí)，內(nèi)方程有個(gè)不同的根，故可推斷是外方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可知。且當(dāng)取其它值時(shí)，均不符合題意，故選c。0124-2y圖5.1原則四

21、：內(nèi)外兼顧原則當(dāng)復(fù)合方程的根的個(gè)數(shù)一定，并且內(nèi)外方程的根均不確定時(shí)，在考慮內(nèi)函數(shù)和直線(xiàn)的交點(diǎn)情況時(shí)，還同時(shí)需要兼顧外方程的根的取值范圍，這樣才能解決問(wèn)題。例10 已知函數(shù)的周期是，圖象的某一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）， 然后將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象。(1) 求函數(shù)與的解析式。(2) 存在，使得，按照某種順序成等差數(shù)列嗎？如果存在，請(qǐng)確定的個(gè)數(shù)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)求實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得在內(nèi)恰好有個(gè)零點(diǎn)。解：(1)、（2）解略，易得、；(3)由得:,其是由一元二次函數(shù)和正弦函數(shù)復(fù)合而成,但因區(qū)間不確定,使得內(nèi)方程根的個(gè)數(shù)也

22、不確定。外函數(shù)的，它必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，并且有，我們不妨設(shè),故分析討論如下四點(diǎn)：(1) 當(dāng)，時(shí)，在和內(nèi)都有個(gè)零點(diǎn)，從而在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，不符合題意；(2) 當(dāng)，時(shí)，在內(nèi)，有個(gè)零點(diǎn)，從而在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，不符合題意；(3) 當(dāng)，時(shí)，在內(nèi)，有個(gè)零點(diǎn)，從而在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，不符合題意；(4) 當(dāng)或時(shí)，在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，而剛好，通過(guò)正弦函數(shù)的周期性可得，故的值為。原則五：利用特性原則求解復(fù)合方程的根的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)還需要利用內(nèi)外函數(shù)的一些特征（比如函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、奇偶性、周期性、最值等），這對(duì)復(fù)合函數(shù)的根的個(gè)數(shù)、位置等的確定起著非常重要的作用。例11 函數(shù)的圖象，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。可推測(cè)，對(duì)任

23、意的（非零實(shí)數(shù)），關(guān)于的方程的解集不可能的是（ ）。a. b.c. d.解析: 選b。 因?yàn)榈姆匠逃赏夥匠毯蛢?nèi)方程復(fù)合得來(lái)的。假設(shè)是外方程的根，并且直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有交點(diǎn)時(shí)（我們?cè)O(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為）， 則。假如關(guān)于的方程有四個(gè)解時(shí)，肯定是兩組關(guān)于共同的直線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，顯然不符合上述條件,故選b。6 結(jié)論經(jīng)過(guò)分析，我們總結(jié)出面對(duì)不同的問(wèn)題，選擇合適的方法來(lái)求解方程的根。靈活運(yùn)用微積分學(xué)的基本理論與方法 , 從不同的層面較順利地解決有關(guān)零點(diǎn)( 實(shí)根) 的存在性問(wèn)題；利用閉區(qū)間上函數(shù)的連續(xù)性定理，單調(diào)性證明根的唯一性：利用導(dǎo)數(shù)來(lái)討論方程根的個(gè)數(shù)；復(fù)合方程根的判別問(wèn)題實(shí)質(zhì)上也是復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)判別

24、問(wèn)題，其中最本質(zhì)的知識(shí)基礎(chǔ)在于“方程的根函數(shù)的零點(diǎn)曲線(xiàn)與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)或分解為兩函數(shù)曲線(xiàn)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)”， 其解決關(guān)鍵的首要任務(wù)在于明確內(nèi)、外函數(shù)模型，最核心的方法基礎(chǔ)在于數(shù)形結(jié)合，遵循函數(shù)圖象的直觀性和等價(jià)性原則，所作的內(nèi)、外函數(shù)圖象盡可能是基本初等函數(shù)圖象或由其經(jīng)過(guò)圖象變換得到的，并以此作為“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的標(biāo)本”， 將抽象化的問(wèn)題和形象化的模型有機(jī)結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)直觀模型的觀察操作、探索思考，可使問(wèn)題化抽象為具體，化繁雜為簡(jiǎn)單。希望通過(guò)掌握方程的根的求解思路和方法，更好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想與方法等解決方程根的問(wèn)題。參考文獻(xiàn)1 易林.解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的幾種方法j.成都航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)

25、報(bào),2004, 61(4):40-41,44.2 余劍鳴.對(duì)方程的題型分析j.景德鎮(zhèn)高專(zhuān)學(xué)報(bào),2006,21(4):95, 110.3 姚兵.關(guān)于方程的根的一些討論j.數(shù)學(xué)教學(xué)與研究,2013(17):30.4 江志杰.例說(shuō)復(fù)合方程根的判別原則j.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2013(4):41-43.5 孔祥杰.如何判斷方程根的個(gè)數(shù)j.高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2006(9):12-14.6 徐所扣,孟素紅.導(dǎo)數(shù)和方程根的個(gè)數(shù)j.高中數(shù)學(xué)教學(xué),2007(12):43-44. 7 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）m.北京:高等教育出版社,2001.8 李艷麗.例說(shuō)方程根存在的證明j.張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),20

26、07,20(1): 18-20.9 朱士信,唐爍,寧榮健.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南m.北京:中國(guó)電力出版社,2008.致謝首先，感謝我的論文指導(dǎo)老師殷鳳老師的認(rèn)真指導(dǎo)和細(xì)心修改，作為一個(gè)本科生的畢業(yè)論文，由于經(jīng)驗(yàn)的匱乏，知識(shí)結(jié)構(gòu)的局限，難免有許多考慮不周到的地方，如果沒(méi)有殷老師的督促指導(dǎo)，想要完成本篇論文是難以想象的。殷老師在論文的整個(gè)撰寫(xiě)過(guò)程中從論文選題到參考資料，從中期檢查到論文初稿的修改和確定都給了我耐心細(xì)致的指導(dǎo)。每次我向她請(qǐng)教都嚴(yán)謹(jǐn)而真誠(chéng)，讓我十分感激與佩服，殷老師對(duì)待學(xué)術(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與執(zhí)著，對(duì)待同學(xué)的平易近人，所有這些都給我留下了很深的印象，這將積極的影響我今后的學(xué)習(xí)和工作。在此謹(jǐn)向殷老師致以誠(chéng)摯的謝意。其次，我要感謝忻州師院數(shù)學(xué)系的各位任課老師，他們平時(shí)的細(xì)心教誨，讓我對(duì)專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)知識(shí)有了系統(tǒng)的了解，他們認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)和誨人不倦的品德，才讓我具備了現(xiàn)在的學(xué)習(xí)素質(zhì)和知識(shí)結(jié)構(gòu)，最終完成論文的撰寫(xiě)。最后，要感謝我的舍友，感謝她們的理解與支持，不論在生活中還是在學(xué)習(xí)中都給了我很大的建議，在論文寫(xiě)作過(guò)程中她們提出了許多論文中的一些不足之處，并給予了我很好的建議，使我能較高效率較高質(zhì)量地完成論文。感謝所有幫助和關(guān)心過(guò)我的同學(xué)和朋友們，是他們給了我前進(jìn)的信心和永恒的動(dòng)力。坯模酌歐闊椰被內(nèi)拐媳謊故裙壽本太