1、一、近似計算一、近似計算,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar誤誤差差兩類問題兩類問題: :1.給定項數給定項數,求近似值并估計精度求近似值并估計精度;2.給出精度給出精度,確定項數確定項數.關健關健: :通過估計余項通過估計余項,確定精度或項數確定精度或項數.常用方法常用方法:1.若余項是交錯級數若余項是交錯級數,則可用余和的首項來解決則可用余和的首項來解決;2.若不是交錯級數若不是交錯級數,則放大余和中的各項則放大余和中的各項,使之成使之成為等比級數或其它易求和的級數為等比級數或其它易求和的級數,從而求出其和從而求出其和.例例1 1.10,5 使其誤差不超過使其誤差不超過

2、的近似值的近似值計算計算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得余和余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 例例2 2.,9sin! 3sin03并并估估計計誤誤差差的的近近似似值值計計算算利利用用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646

3、. 0157079. 09sin0 156433. 0 其誤差不超過其誤差不超過 .510 二、計算定積分二、計算定積分.,ln1,sin,2難難以以計計算算其其定定積積分分函函數數表表示示原原函函數數不不能能用用初初等等例例如如函函數數xxxex 解法解法逐項積分逐項積分展開成冪級數展開成冪級數定積分的近似值定積分的近似值被積函數被積函數第四項第四項30001!771 ,104 取前三項作為積分的近似值取前三項作為積分的近似值,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精精確確到到的的近近似似值值計計算算dxxx 642!71! 51! 3

4、11sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收斂的交錯級數收斂的交錯級數三、求數項級數的和三、求數項級數的和1.1.利用級數和的定義求和利用級數和的定義求和: :(1)直接法直接法;(2)拆項法拆項法;(3)遞推法遞推法.例例4 4.21arctan12的的和和求求 nn解解,21arctan1 s81arctan21arctan2 s812118121arctan ,32arctan 181arctan32arctan 181arctan23 ss,43arctan 1arctan1arctan nnsn)(4 n.421arctan12 nn故故,1

5、arctan1kksk 假設假設221arctan1arctankkksk ,1arctan kk2.2.阿貝爾法阿貝爾法( (構造冪級數法構造冪級數法):):,lim010nnnxnnxaa ,)(0nnnxaxs 求得求得).(lim10 xsaxnn (逐項積分、逐項求導逐項積分、逐項求導)例例4 4.2121的的和和求求 nnn解解,212)(221 nnnxnxs令令)2, 2( 1022)212()(nxnndxxnxs 112)2(nnnx)2(1(12 nnxx)21(22 xxx)2(2 xx,)2(2222xx 2221)2(2limxxx )(lim1xsx , 3 .

6、32121 nnn故故例例5 5.2!12的的和和求求 nnnn解解,!)(12nnxnnxs 令令),(nnxnnnnxs 1!)1()(nnnnxnxnnn 11)!1(1!)1( 012!)!(nnnnnxxnxxxxxeex )1(2,)1(xxex 122 !nnnn)21( s 21)121(21 e.43e 四、歐拉公式四、歐拉公式復數項級數復數項級數: )()()(2211nnjvujvujvu.), 3 , 2 , 1(,為為實實常常數數或或實實函函數數其其中中 nvunn若若 1nnuu, 1nnvv,則則稱稱級級數數 1)(nnnivu收收斂斂, , 且且其其和和為為 i

7、vu . .若若 2222222121nnvuvuvu收斂收斂, ,則則 1nnu, , 1nnv絕對收斂絕對收斂, ,稱復數項級數絕對收斂稱復數項級數絕對收斂. .復數項級數絕對收斂的概念復數項級數絕對收斂的概念三個基本展開式三個基本展開式,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)( x的的冪冪級級數數展展開開式式由由xe njxjxnjxjxe)(!1)(! 2112)!12()1(! 31()!2()1(! 211(12322 nxxxjnxxnnnnxjxsin

8、cos xcosxsinxjxejxsincos jeexeexjxjxjxjx2sin2cosxjxejxsincos 又又 揭示了三角函數和復變數指數函數之間的揭示了三角函數和復變數指數函數之間的一種關系一種關系. .歐拉公式歐拉公式)sin(cosyjyeexjyx 五、小結五、小結、近似計算、近似計算,求不可積類函數的定積分，求不可積類函數的定積分，、微分方程的冪級數的解法、微分方程的冪級數的解法(第十二節介紹第十二節介紹)求數項級數的和，歐拉公式的證明；求數項級數的和，歐拉公式的證明；思考題思考題利用冪級數展開式利用冪級數展開式, 求極限求極限.sinarcsinlim30 xxxx

9、 思考題解答思考題解答,54231321arcsin53 xxxx,! 533! 33341sin55333 xxx)1( x)( x,sinarcsinlim30 xxxx 將上兩式代入將上兩式代入 54231321lim530 xxxxx 5533! 533! 33341xx原式原式=)()(61lim33330 xoxxoxx .61 一、一、 利用函數的冪級數展開式求下列各數的近似值利用函數的冪級數展開式求下列各數的近似值: : 1 1、3ln ( (精確到精確到0001. 0) )； 2 2、2cos ( (精確到精確到0001. 0).).二、二、 利 用 被 積 函 數 的 冪 級 數 展 開 式 求 定 積 分利 用 被 積 函 數 的 冪 級 數 展 開 式 求 定 積 分 5 . 00arctandxxx ( (精確到精確到001. 0) )的近似值的近似值 . .三、三、 將函數將函數xexcos展開成展開成的的冪冪級級數數x . .練