1、1211nniixxxxxnn u隨機誤差定義：測量結果與在重復性條件下，對同一被測隨機誤差定義：測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差量進行無限多次測量所得結果的平均值之差 iixx()n 0 xAiiiixAxxxAx射擊誤差射擊誤差示意圖示意圖 |xA 是粗大誤差是粗大誤差4x 1iipixE(X) dxxxpXE)()( )(XD 為什么測量數據和為什么測量數據和隨機誤差大多接近隨機誤差大多接近正態分布？正態分布？)2exp(21)(22 p2)(exp21)(22 xxp0)2exp(21)()(22 ddpE222222)2exp(21)()0(

2、)( ddpED 2 隨機誤差和測量數據的分布形狀相同，因為它們的標準偏隨機誤差和測量數據的分布形狀相同，因為它們的標準偏差相同，只是橫坐標相差差相同，只是橫坐標相差 ( (a a) )隨隨 機機 誤誤 差差( (b b) ) 測測 量量 數數 據據0 )( p x xp p( (x x) )0 0圖圖 3 3 1 1 隨隨 機機 誤誤 差差 和和 測測 量量 數數 據據 的的 正正 態態 分分 布布 曲曲 線線隨機誤差具有：隨機誤差具有：對稱性對稱性 單峰性單峰性 有界性有界性 抵償性抵償性 0)(p1 2 3 a bP(x)概率密度概率密度: :均值均值: : 當當 時時, ,標準偏差標準

3、偏差: : 當當 時，時， 01)(abxpbxaxbxa ,2ba ba 32ab 3b ba 0 用事件發生的頻度代替事件發生的概率，當用事件發生的頻度代替事件發生的概率，當 則則nnxpxXEimiimiii 11)(令令n n個可相同的測試數據個可相同的測試數據x xi i(i=1.2,n)(i=1.2,n) 次數都計為次數都計為1 ,1 ,當當 時，則時，則 niiniixnnxXE1111)( n n（1 1）有限次測量的數學期望的估計值）有限次測量的數學期望的估計值算術平均值算術平均值被測量被測量X X的數學期望，的數學期望，就是當測量次數就是當測量次數 時，各次測量值的算時，各

4、次測量值的算術平均值術平均值 n niixnx11有限次測量值的算術平均有限次測量值的算術平均值比測量值更接近真值？值比測量值更接近真值？ *)()()(1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx )(1)(1222XnXnn nXx)()( n算術平均值算術平均值：殘差：殘差：實驗標準偏差實驗標準偏差（標準偏差的估計值），貝塞爾公式：標準偏差的估計值），貝塞爾公式：算術平均值標準偏差的估計值算術平均值標準偏差的估計值 ：xxii niiniixxnnxs1212)(1111)( nxsxs)()( niixnx11 【例【例3.13.1】 用溫度計重復測量某個

5、不變的溫度，得用溫度計重復測量某個不變的溫度，得1111個測個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。解：解：平均值平均值 用公式用公式 計算各測量值殘差列于上表中計算各測量值殘差列于上表中實驗偏差實驗偏差 標準偏差標準偏差)( 1 .530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxonii xxii )(767.111)(12Cnxsonii )(53.011767.1)()(Cnxsxso x k kxEx )(置信概率是圖中置信概率是圖中陰影部分面積陰影部分面積 kkdpkPk

6、xExP)()(997.0)2exp(21)()3(223333 ddpP區間越寬，區間越寬，置信概率越大置信概率越大k（P=1)反正弦均勻三角分布236k k a 3a 3akka 3 k- -a aa aP P( (x x) )x x0 0 c a 0 t 圖3 7 多 種 系 統 誤 差 的 特 征 其 中 ： a -不 變 系 差 b -線 性 變 化 系 差 c -周 期 性 系 差 d -復 雜 規 律 變 化 系 差 d b 在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規律變化。號保

7、持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規律變化。 多次測量求平均不能減少系差多次測量求平均不能減少系差。 ii0ii0 存在線性變化的系統誤差存在線性變化的系統誤差無明顯系統誤差無明顯系統誤差21111snniii 2/112/ninniiiD 2/)1(12/)1(ninniiiD 統計學的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應的統計學的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應的置信區間，凡超過置信區間的誤差就認為是粗大誤差，并予置信區間，凡超過置信區間的誤差就認為是粗大誤差，并予以剔除。以剔除。萊特檢驗法萊特檢驗法 格拉布斯檢驗法格拉布斯檢驗法 si3 sG max 式中，式中，G

8、G值按重復測量次數值按重復測量次數n n及置信概率及置信概率PcPc確定確定 3456789101195%1.151.461.671.821.942.032.112.182.2399%1.161.491.751.942.12.222.322.412.4812131415161718192095%2.292.332.372.412.442.472.52.532.5699%2.552.612.662.72.742.782.822.852.88cpncpn解：解： 計算得計算得 s=0.033s=0.033計算殘差填入表計算殘差填入表3 37 7， 最大，最大， 是可疑數據。是可疑數據。 用萊特檢驗

9、法用萊特檢驗法 3 s=33 s=30.033=0.0990.033=0.099 故可判斷故可判斷 是粗大誤差，應予剔除。是粗大誤差，應予剔除。再 對 剔 除 后 的 數 據 計 算 得 ：再 對 剔 除 后 的 數 據 計 算 得 ： s = 0 . 0 1 6 s = 0 . 0 1 6 3s= 0.0483s= 0.048各測量值的殘差各測量值的殘差V V填入表填入表3 37 7，殘差均小于，殘差均小于3 s3 s故故1414個數據都為正常數據。個數據都為正常數據。404.20 x104. 08 8x8x411.20 x【例【例3.33.3】 對某電爐的溫度進行多次重復測量，所得對某電爐

10、的溫度進行多次重復測量，所得結果列于表結果列于表3 37 7，試檢查測量數據中有無粗大誤差。，試檢查測量數據中有無粗大誤差。 niixnx11xxii 01 nii niins1211 nssx xskxA 1205.300.090.099205.710.410.410.50.52204.94-0.4-0.4-0.27-0.2710204.7-0.6-0.6-0.51-0.513205.630.330.330.420.4211204.86-0.44-0.44 -0.35-0.354205.24-0.1-0.10.030.0312205.350.050.050.140.145206.651.35

11、1.3513205.21-0.09-0.09 06204.97-0.3-0.3-0.24-0.2414205.19-0.11-0.11 -0.02-0.027205.360.060.060.150.1515205.21-0.09-0.09 08205.16-0.1-0.1-0.05-0.0516205.320.020.020.110.11殘殘 差差殘殘 差差測量值測量值序號序號殘殘 差差 殘殘 差差序號序號測量值測量值-0 .8-0 .6-0 .4-0 .200 .20 .40 .6圖 3 9 殘 差 圖51 01 5niiiW2 miimiiimiimiiiWxWxx1112121 1nii

12、ifyxx 測 量 不確 定 度不 確 定 度擴 展 不 確 定 度B 類類 標標 準準 不不 確確 定定 度度Bu標 準 不 確 定度A 類類 標標 準準 不不 確確 定定 度度Au合合 成成 標標 準準 不不 確確 定定 度度CuU99U95U()3kU()2k相 對 不 確 定 度 niixnx111)()(12 nxxXSniinXSxSuA)()( 自由度意義：自由度意義：自由度數值越大，自由度數值越大，說明測量不確定說明測量不確定度越可信。度越可信。kuB 分布分布三角三角梯形梯形均勻均勻反正弦反正弦 k (p=1)概率概率P%5068.27909595.459999.73置信因置

13、信因子子0.67611.6451.96022.5763621/632表表3 31010幾種非正態分布的置信因子幾種非正態分布的置信因子k k )(),(yxyxEYXCov niiixyyyxxnS1)(11)()(),(),(YXYXCovYXQ )()()1()()()()()()(),(111221ySxSnyyxxyyxxyyxxySxSSyxrniiininiiiniiixy 2/1122)()( Niiicxuxfyu NiiCuu121/ 2212111( )()2(,) () ()NNNCiijijiijiiijfffuyuxr xxu xu xxxx ifx 1()()NCi

14、iifuyuxx 1 / 2221()()NCiiiuyA uy NiiiiCxxuPYyu12/)()(1212NpppNYXXX 22()()VPIuuuPIV 22222222()()PIVIVPPuuuVuI uIV 算術平均值算術平均值Pk57.741951.65991.711001.73表表311 311 均勻分均勻分布時置信概率與置布時置信概率與置信因子信因子k k的關系的關系1 ni NiiiiCeffvxuCyuv1444)()(2)()(21 iixuxuRVP2 電壓的電壓的B類類不確定度不確定度電阻的電阻的B類類不確定度不確定度電壓的電壓的A類類不確定度不確定度RVP2

15、 VVnVVnii32. 255 . 22 . 24 . 23 . 22 . 2/1 WWRVP027. 099.199)32. 2()(22 3 3）測量不確定度的分析）測量不確定度的分析本例的測量不確定度主要來源為本例的測量不確定度主要來源為電壓表不準確；電壓表不準確；電阻不準電阻不準確；確；由于各種隨機因素影響所致電壓測量的重復性。由于各種隨機因素影響所致電壓測量的重復性。 VnVVnii32.21 VVxxSii13. 0418. 012. 008. 002. 012. 015)(22222512 VVnSxSVu058. 0513. 0)()(2 （4 4）標準不確定度分量的評定）標

16、準不確定度分量的評定電壓測量引入的標準不確定度電壓測量引入的標準不確定度電壓表不準引入的標準不確定度分量電壓表不準引入的標準不確定度分量u u11（V V）按）按B B類評定。類評定。 a a1 1=2.32V=2.32V1%=0.023V 1%=0.023V (a)(a)(b) (b) 電壓測量重復性引入的標準不確定度分量電壓測量重復性引入的標準不確定度分量u u22（V V）。）。按按A A類評定。類評定。VkaVu013. 03023. 0)(111 VVVuVuVu059. 0058. 0013. 0)()()(222221 3 .44058.010013.00594.0)()()(4

17、442421414)( vVuvVuVuvCVeff 01. 0202. 0)(22kUkaRuRVP2 )()()(222221RucVucPuC /023.099.19932.2221VRVVPc2222222(2.32)0.00013/(199.99)PVcVRR WPuC0014. 0)01. 0()00013. 0()059. 0()023. 0()(2222 （7 7）報告最終測量結果）報告最終測量結果功率功率P P（0.0270.0270.0040.004）W W（置信水平（置信水平P P0.950.95）包含因子包含因子k k為為2.572.57，有效自由度為，有效自由度為5

18、5。 52.53.4059.0023.00014.0)()()()()(4444424414 RvRucVvVucPuvCeff57. 2)5(95. 095. 0 tk0.004W W6 003. 00014. 057. 2)(95. 095. 0 PukUcnuuu 21iiiCScnnuu 2nuuCi/ 5 .3508.48804.14408.428.043.517 365 .3551.351 . 428. 052008. 428. 043.517 x0 02 24 46 68 810101212y1.51.512.112.119.119.131.331.342.142.148.648

19、.659.159.10 02 20 04 40 06 60 08 80 00 05 51 10 01 15 5x xy yy=a+bx 0mjjjykx iiiyy mni 2 11bxya 11nnyybxx 0 02 20 04 40 06 60 08 80 00 05 51 10 01 15 5x xy ykxxkii 11kyykii 11knxxnkii 12knyynkii 121212xxyyb 2211xbyxbya iiiyy min)(1122 niniiiibxayv niniiinininiiiniiiixnxxyyxxa112211121)( niniiininiiiniiixnxyxnyxb1122111)(ixiy壓力壓力（MPa）246810輸出輸出（mV）10.04320.09330.