1、傳播優秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！2012年考研數學三真題一、選擇題（18小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。）(1) 曲線y=x2+xx2-1漸近線的條數為(a)0 (b)1(c)2 (d)3【答案】c?！窘馕觥坑蒷imx+y=limx+x2+xx2-1=1=limx-y=limx-x2+xx2-1,得y=1是曲線的一條水平漸近線且曲線沒有斜漸近線；由limx1y=limx1x2+xx2-1=得x=1是曲線的一條垂直漸近線；由limx-1y=limx-1x2+xx2-1=12得x=-1不是曲線的漸近線；綜上所述，本題正確答案

2、是c【考點】高等數學一元函數微分學函數圖形的凹凸、拐點及漸近線(2) 設函數fx=(ex-1)(e2x-2)(enx-n),其中n為正整數，則f'0=(a)-1n-1n-1! (b) -1nn-1!(c)-1n-1n! (d) -1nn!【答案】a【解析】【方法1】令gx=(e2x-2)(enx-n),則fx=(ex-1)gxf'(x)=exgx+(ex-1)g'x f'0=g0=-1-2(-(n-1) =-1n-1n-1! 故應選a. 【方法2】 由于f0=0,由導數定義知 f'0=limx0f(x)x=limx0(ex-1)(e2x-2)(enx-n

3、)x =limx0(ex-1)xlimx0(e2x-2)(enx-n) =-1-2-n-1=-1n-1n-1!. 【方法3】 排除法，令n=2,則 fx=(ex-1)(e2x-2)f'x=exe2x-2+2e2x(ex-1) f'0=1-2=-1 則(b)(c)(d)均不正確 綜上所述，本題正確答案是(a) 【考點】高等數學一元函數微分學導數和微分的概念(3) 設函數f(t)連續，則二次積分02d2cos2f(r2)rdr=(a)02dx2x-x24-x2x2+y2f(x2+y2)dy(b) 02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy(c) 02dy1+1-y24-y2x2

4、+y2f(x2+y2)dx(d) 02dy1+1-y24-y2f(x2+y2)dx【答案】b?！窘馕觥苛顇=rcos ,y=rsin ,則r=2所對應的直角坐標方程為x2+y2=4,r=2cos 所對應的直角坐標方程為(x-1)2+y2=1。由02d2cos2f(r2)rdr的積分區域2cos<r<2,0<<2得在直角坐標下的表示為2x-x2<y<4-x2, 0<x<2所以02d2cos2f(r2)rdr=02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy綜上所述，本題正確答案是(b)?！究键c】高等數學多元函數微積分學二重積分的概念、基本性質和計算(

5、4) 已知級數n=1(-1)nnsin1n絕對收斂，級數n=1(-1)nn2-條件收斂，則(a)0<12 (b) 12<1(c)1<32 (d) 32<<2【答案】d?！窘馕觥坑杉墧祅=1(-1)nnsin1n絕對收斂，且當n時(-1)nnsin1n1n-12，故-12>1,即>32由級數n=1(-1)nn2-條件收斂，知<2綜上所述，本題正確答案是(d)【考點】高等數學無窮級數數項級數斂散性的判定(5) 設1=00c1,2=01c2,3=1-1c3,4=-11c4,其中c1,c2,c3,c4為任意常數，則下列向量組線性相關的為(a) 1,2,3

6、 (b) 1,2,4(c) 1,3,4 (d) 2,3,4【答案】c?！窘馕觥縩個n維向量相關1,2,n=0顯然 1,3,4=01-10-11c1c3c4=0所以1,3,4必線性相關綜上所述，本題正確答案是(c)?！究键c】線性代數向量向量組的線性相關和線性無關(6) 設a為3階矩陣，p為3階可逆矩陣，且p-1ap=100010002.若p=1,2,3,q=(1+2,2,3),則q-1aq=(a) 100020001 (b)100010002(c) 200010002 (d)200020001【答案】b?！窘馕觥坑捎趐經列變換(把第2列加至第1列)為q，有q=p100110001=pe21(1)

7、那么q-1aq=pe21(1)-1ape21(1)=e21(1)-1p-1ape21(1) =100-110001100010002100110001=100010002綜上所述，本題正確答案是(b)。【考點】線性代數矩陣矩陣運算、初等變換(7) 設隨機變量x,y相互獨立，且都服從區間(0,1)上的均勻分布，則px+y21=(a) 14 (b) 12(c) 8 (d) 4【答案】d。【解析】px2+y21=x2+y21 f(x,y)dxdy而fx,y=fxxfyy=1,0<x<1,0<y<1,0, 其他即fx,y是在正方形0<x<1,0<y<1上

8、等于常數1，其余地方均為0，x2+y21 f(x,y)dxdy實際上就是單位圓x2+y21在第一象限的面積。綜上所述，本題正確答案是d?！究键c】概率論與數理統計多維隨機變量的分布二維隨機變量分布(8) 設x1,x2,x3,x4為來自總體n1,2(>0)的簡單隨機樣本，則統計量x1-x2x3+x4-2的分布為(a)n0,1 (b)t(1)(c)2(1) (d)f(1,1)【答案】b?！窘馕觥?， x1-x2n0,22，故x1-x22n0,1；2， x3+x4-2n0,22，故x3+x4-22n0,1，(x3+x4-22)22(1), (x3+x4-22)2/1=x3+x4-223， x1-

9、x2與x3+x4-2相互獨立。x1-x22與(x3+x4-22)2也相互獨立， 所以x1-x22x3+x4-22=x1-x2x3+x4-2t(1)綜上所述，本題正確答案是b?！究键c】概率論與數理統計數理統計的概念二、填空題（914小題，每小題4分，共24分。）(9) limx4(tanx)1cosx-sinx= 。【答案】e-2。【解析】這是一個1型極限，由于(tanx)1cosx-sinx=1+(tanx-1)1cosx-sinxlimx4tanx-1cosx-sinx=limx4tanx-1cosx(1-tanx)=limx4-1cosx=-2所以limx4(tanx)1cosx-sinx

10、=e-2【考點】高等數學函數、極限、連續兩個重要極限(10) 設函數fx=lnx, &x12x-1, &x<1,y=ffx,則dydxx=e= ?！敬鸢浮?e【解析】y=ffx可看做y=fu,與u= fx的復合，當x=e時u= fe=lne=12lne=12由復合函數求導法則知dydxx=e=f'12f'e=212xx=e=1e【考點】高等數學一元函數微分學導數和微分的概念(11) 設連續函數z=f(x,y)滿足limx0y1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0,則dz(0,1)= 。 【答案】2dx-dy 【解析】 由limx0y1fx,y-2x

11、+y-2x2+(y-1)2=0，且z=f(x,y)連續，可得f0,1=1,且 fx,y-f0,1=2x-y-1+o(x2+(y-1)2), (x0y1) 由可微的定義得 f'x0,1=2,f'y0,1=-1,即 dz(0,1)=f'x0,1dx+f'y0,1dy=2dx-dy 【考點】高等數學多元函數的微分學多元函數偏導數的概念與計算(12) 由曲線y=4x和直線y=x及y=4x在第一象限中圍成的平面圖形的面積為 ?！敬鸢浮?ln2【解析】y y=4x y=x y=4xo 1 2 x曲線y=4x和直線y=x及y=4x在第一象限中圍成的平面域如下圖，則所圍面積為s

12、=014x-xdx+12(4x-x)dx=4ln2【考點】高等數學一元函數積分學定積分的應用(13) 設a為3階矩陣，a=3，a*為a的伴隨矩陣。若交換a的第1行與第2行得到矩陣b，則ba*= 。【答案】-27【解析】【方法1】兩行互換兩列互換a變成b，所以a=-b,再由行列式乘法公式及a*=an-1，則ba*=b|a*=-aa2=-27 【方法2】根據題意 010100001a=b，即b=e12a 那么ba*=e12aa*=ae12=3e12 從而ba*=3e12=33e12=-27 【考點】線性代數行列式行列式的概念和基本性質 線性代數矩陣伴隨矩陣，矩陣的初等變換(14) 設a,b,c是隨

13、機事件，a,c互不相容，pab=12,pc=13,則pabc= ?！敬鸢浮?4【解析】a,c互不相容，自然有ca,當然更有cab，所以pabc=p(abc)p(c)=p(ab)1-p(c)=1223=34【考點】概率論與數理統計隨機事件和概率事件的關系與運算，概率的基本公式，事件的獨立性三、解答題：1523小題，共94分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(15) 求極限limx0ex2-e2-2cosxx4【解析】【方法1】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e2-2cosxlimx0ex2-2+2cosx-1x4 =limx0x2-2+2cosxx4 (等價無窮小代換)

14、 =limx02x-2sinx4x3 (洛必達法則) =12limx01-cosx3x2=16limx012x2x2=112【方法2】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e2-2cosxlimx0ex2-2+2cosx-1x4 =limx0x2-2+2cosxx4 (等價無窮小代換) =limx0x2-2+2(1-x22!+x44!+o(x4)x4 (泰勒公式) =limx0112x4+o(x4)x4=112【方法3】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e(x2-2+2cosx)x4 (拉格朗日中值定理) =limx0x2-2+2cosxx4 =limx02x-2s

15、inx4x3 (洛必達法則) =12limx016x3x3 (x-sinx16x3) =112 【考點】高等數學函數、極限、連續無窮小量的性質及無窮小量的比較，極限的四則運算 高等數學一元函數微分學微分中值定理，洛必達(l'hospital)法則(16) 計算二重積分d exxydxdy,其中d是以曲線y=x,y=1x及y軸為邊界的無界區域。【解析】d exxydxdy=01dxx1xexxydy=1201ex(1-x2)dx =12ex(1-x2)01+01xexdx =-12+xex01-01exdx =12 【考點】高等數學一元函數積分學不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法

16、高等數學多元函數微積分學二重積分的概念、基本性質和計算(17) 某企業為生產甲、乙兩種型號的產品投入的固定成本為10000（萬元）。設該企業生產甲、乙兩種產品的產量分別是x(件)和y（件），且這兩種產品的邊際成本分別為20+x2(萬元/件)與6+y(萬元/件).(i) 求生產甲、乙兩種產品的總成本函數c(x,y)(萬元)；(ii) 當總產量為50件時，甲、乙兩種產品的產量各為多少時可使總成本最??？求最小成本；(iii) 求總產量為50件且總成本最小時甲產品的邊際成本，并解釋經濟意義?！窘馕觥?i) 總成本函數 cx,y=10000+20x+x24+6y+y22 （萬元）(ii) 由題意知，求c

17、x,y在x+y=50時的最小值，構造拉格朗日函數fx,y,=cx,y+x+y-50=10000+20x+x24+6y+y22+x+y-50解方程組f'x=20+x2+=0,f'y=6+y+=0,x+y-50=0. 得x=24,y=26.因可能極值點唯一，且實際問題存在最小值，故總產量為50件時，甲乙兩種產品的產量分別是24,26時可使總成本最小，且此時投入總費用cminx,y=10000+20×24+2424+6×26+2622=11118(萬元)(iii) 甲產品的邊際成本函數：c'x,y=20+x2,于是，當總產量為50件且總成本最小時甲產品的邊

18、際成本c'x,y=20+242=32其經濟意義為：當甲乙兩種產品的產量分別是24,26時，若甲的產量每增加一件，則總成本增加32萬元。(18) 證明：xln1+x1-x+cosx1+x22,(-1<x<1)【解析】【方法1】記fx= xln1+x1-x+cosx-1-x22,則f'x=ln1+x1-x+2x1-x2-sinx-x,f''(x)=41-x2+4x21-x22-1-cosx當-1<x<1時，由于41-x24,1+cosx2,所以f''(x)2>0,從而f'(x)單調增加。又因為f'0=0，

19、所以，當-1<x<0時，f'x<0; 當0<x<1時，f'x>0，于是f0=0是函數fx在(-1,1)內的最小值。從而當-1<x<1時，fxf0=0即xln1+x1-x+cosx1+x22,(-1<x<1)【方法2】記fx= xln1+x1-x+cosx-1-x22, (-1<x<1)顯然，fx是偶函數，因此只要證明fx0 x0,1)由于f'x=ln1+x1-x+2x1-x2-sinx-x, x0,1)ln1+x1-x>0 2x1-x2>2x=x+x>x+sinx從而有f'

20、x>0，x(-1,1)有f0=0則當-1<x<1時，fxf0=0即xln1+x1-x+cosx1+x22,(-1<x<1)【考點】高等數學一元函數微分學導數和微分的概念，導數和微分的四則運算，函數單調性的判別，函數的極值已知函數fx滿足方程f''x+f'x-2fx=0及f''x+fx=2ex (i) 求fx的表達式；(ii) 求曲線y=f(x2)0xf(-t2)dt的拐點?！窘馕觥?i) 聯立f''x+f'x-2fx=0,f''x+fx=2ex,得f'x-3fx=-2ex,因此

21、fx=e3dx-2exe-3dx+c=ex+ce3x 代入f''x+fx=2ex，得c=0,所以fx=ex(ii) y=fx20xf-t2dt=ex20xe-t2dty'=2xex20xe-t2dt+1y''=2x+2(1+2x2)ex20xe-t2dt當x<0時，y''<0; 當x>0時，y''>0,又y0=0,所以曲線的拐點為(0,0)【考點】高等數學一元函數微分學導數和微分的概念，導數和微分的四則運算，函數單調性的判別，函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線(20) 設a=1a0001a0001aa0

22、01,=1-100.(i) 計算行列式|a|；當實數a為何值時，方程組ax= 有無窮多解，并求其通解。【解析】(i) 按第一列展開a=11a001a001+a-14+1a001a001a=1-a4,(ii) 當a=0時，方程組ax= 有無窮多解，由上可知a=1或-1如果a=111000110001110011-1001100011000110-1011-10-111000110001100111-10-211000110001100001-10-2ra=3,ra=4,方程組無解，舍去當a=-1時，1-10001-10001-1-10011-1001-10001-10001-10-1011-10

23、11-10001-10001-100-111-1001-10001-10001-100001-100ra=3=ra，方程組有無窮多解，取x4為自由變量，得方程組通解為(0,-1,0,0)t+k(1,1,1,1)t, k為任意常數【考點】線性代數線性方程組線性方程組有解和無解的判定，非齊次線性方程組的通解(21) 已知a=101011-10a0a-1,二次型fx1,x2,x3=xt(ata)x的秩為2(i) 求實數a的值；(ii) 求正交變換x=qy將f化為標準形。【解析】(i) 因為rata=r(a),對a做初等行變換a=101011-10a0a-110101100a+10a0, 所以，當a=-1時，ra=2(ii) 由于a=-1，所以ata=202022224，矩陣ata的特征多項式為e-ata=-20-20-2-2-2-2-4=(-2)(-6)，于是ata的特征值為1=2，2=6，3=0當1=2時，由方程組2e-atax=0,可得到屬于1=2的一個單位特征向量12(1,-1,0)t；當2=6時，由方程組6e-atax=0,可得到屬于2=6的一個單位特征向量16(1,1,2)t；當3=0時，由方程組0e-atax=0,可得到屬于3=0的一個單位特征向量13(1,1,-1)t。令q=121613-121613026-13,則f在正交變換x=qy下的標