1、具有結構無關時變不確定性的新一類線性系統的二次可鎮定性胡三清 王軍自動化與計算機輔助工程系，香港新界沙田香港中文大學1998年10月12日初稿，2000年2月23日修改，2000年5月3日發表摘要：本文研究設計一個線性狀態反饋控制鎮定新一類型的單輸入不確定性的線性動態系統 。在給定的壓縮集系統矩陣中不確定性參數是時變和有界的。我們首先提供了一個概念稱為“新標準系統”，其中一些輸入要求負號不變和符號不變，并且每個輸入在任意大的范圍內獨立變化，然后對于新一類的標準系統我們得到在一個充分必要條件下，對所有容許的不確定性變化系統可由線性控制實現二次鎮定。主要結果的延伸見魏（電氣電子工程師協會自動控制會

2、刊，35（3），268-277,1992年）。©愛思唯爾科技有限公司版權所有。關鍵詞：二次可鎮定性，nas結構，單輸入，時變，線性系統1 引言近年來，穩定一個不確定動態系統一直是一個非常活躍的研究領域。比方說，一般的線性矩陣不等式條件由boyd,ei ghaoui,feron 和balakrishnan（1994年）提出的和由張、胡、戴、京、張、魏等人提出的特殊幾何結構。這篇文章中，我們研究參數是時變的和指定的有界緊致集的不確定性動態系統。我們使用一個二次的李雅普諾夫函數來建立一個閉環系統的穩定性，原則上，二次的鎮定問題可以用boyd提出的線性矩陣不等式條件解決，這也是一各可利用的有

3、效算法。然而，這些條件需要檢查指數中不確定參數的不等式，因此，線性矩陣不等式的數字結果不能夠被處理除非這個問題的結構非常小。基于這個問題，有必要提出一些簡便的方法去解決二次鎮定問題。通常來說，二次鎮定的方法有兩類。在第一類方法中，在系統矩陣中的不確定性通常允許在充分小的范圍內變化，因此被視為擾動（見petersen和hollot，1986年），一旦不確定性的數值超過指定范圍，系統可能不再穩定。在第二類方法中，與之相反的是，系統矩陣可能會有一些任意大的變化條件。為了確保一個不確定性系統的魯棒可鎮定性，系統矩陣中的不確定性必須被限定在諸如“匹配條件”（見pertersen，1988年），“通常匹配

4、條件（見thorp和barmish，1981年）”和“容許置亂”結構（見barmish，1982年）。這些都是充分條件。魏（1990年）指出所有的穩定性系統滿足這些充分條件，屬于一個被稱這為所對稱逐步結構特定幾何類型的一些系統子集。由魏給出的推廣的反對稱逐步結構在多輸入系統中作為充分條件。兩種特殊幾何類型在確保系統的魯棒鎮定中起至關重要的作用。此后，許多作者關注魏，并且引入新幾何類型，如tsujino提出的“普通as結構”，fujii和魏（1993年）作為一個必要條件；由楊張二人（1996年）提出的“強as結構”和由胡（1997年）提出的“多輸入as結構”作為充分條件。這些特殊幾何類型提供了方

5、便的方法來解決二次鎮定的問題。本文討論第二類方法。2 預備知識考慮一個線性時變不確定系統(a(q(t),b(q(t)（或簡寫為不確定系統(a(q),b(q)）由狀態方程描述為（1）其中x(t)rn 是狀態，u(t)r是控制，q(t)rp是被限定在指定有界緊致集q的不確定模型勒貝格可測集。在這個框架內，a(·) 和 b(·) 分別為n×n矩陣和(n×1)矩陣集合q中的連續矩陣函數。因此，對于恒定的qq, a(q)和 b(q) 是模型矩陣的結果。本文中，除非特別說明，我們假定a(q)和b(q)取決于q的不同的組成部分，即，我們有q=r:s，這里a(·

6、;)僅取決于r，b(·)僅取決于s。后來，為了簡便記數，我們通常用 (或 )來表示一個符號不變或負號不變的不確定項。注意 (或 )在不同的項中不一定是相同的q函數。i或者in表示單位矩陣，實矩陣的范數是mtm的最大特征的平方根。min(max)·也表示經運算所得的最小（最大）特征值。m(i:j)表示n×n不確定矩陣的2×2子矩陣（或者當i=j時為1×1），這里m(q)由定義。其中，1 ijn.*項在任意矩陣中通常表示0或者不確定項。定義2.1 一個不確定系統(a(q),b(q)稱為關于q的二次可鎮定（qs）如果存在一個n&#

7、215;n正定對稱矩陣p，一個正常數,和一個連續反饋控制律：，當u(0)=0滿足以下條件，任給容許的不確定q(·)，由此得出以下結論 （2）對于全對偶測試法(x,t)rn×0,+). l(x,t)是李雅普諾夫導數的相關李雅普諾夫函數v(x)=xtpx。此外，(a(q),b(q)被稱為是可通過線性控制來二次鎮定（qsvlc）關于q當u(x)=kx,這里k是一個n 維常數列向量。定義2.2一個（n+1）×（n+1）階不確定矩陣，如果存在兩個整數i*和j*滿足0i*n，0j*n和1i* +j*n以致mii(q)(1ii* +j*)和mii+1(q)(i*+1in)是分別

8、為各自無關的q的(包括常數函數)負號不變和符號不變函數稱為新標準形式。本文中，由于篇幅原因，我們假定i*=0,除非特別聲明，1j*n.我們在內部實驗報告討論其它情況。因此，例如當j*=2和n=4時，新標準形式如下表示：定義2.3一個不確定系統(a(q),b(q)被認為是在新標準下具有結構無關不確定形式如果它和方陣m（q）匹配定義為在新標準形式中和每一項mij(q)(除了mii(q)( 1ij*)和mii+1(q)( 1in)是零或者一個不確定在內獨立變化，這里rij>0可能會是任意大。評論2.4顯然，新標準形式和魏（1990年）提出的標準形式不同。如果j*允許為零，新標準形式可能被看作為

9、一個由魏（1990年）提出的定義2.2標準形式的延拓，這樣以來，前者比后者更具有實際意義。引理2.5（見barmish(1985年)的證明）。一個不確定系統(a(q),b(q)是二次鎮定的等價于存在一個n×n階正定對稱矩陣s使得xt(a(q)s+sat(q)x<0對所有的全對稱測試法（x,q）n×q成立,其中x0 這里對于一些.推論2.5.1（魏，1990年的推論4.2）。一個不確定系統(a(q),b(q)，其中是二次可鎮定的等價于存在一個n×n階正定對陣矩陣s使得是對所有qq負定對稱的（簡寫為nds），這里是n×(n1) 矩陣。這對(s,)滿足推

10、論2.5.1稱為(a(q),b(q)的容許對定義2.6考慮一個不確定系統(a(q),b(q)。當時，一個第二類下(a(q),b(q)增廣系統+(a+(q),b+(q)定義如下：如果 , 則+(a+(q),b+(q) 稱為(a(q),b(q)的第一類下增廣系統。為簡便起見，我們稱第一類（或第二類）下增廣系統為一個下增廣系統。引理2.7（見附錄證明）考慮定義2.6中的(a(q),b(q)和+(a+(q),b+(q)不確定系統，則(a(q),b(q)是可通過線性系統被二次鎮定的等價于+(a+(q),b+(q)也是可通過線性系統被二次鎮定的。評論2.8引理3.6魏（1990年）意味著+(a+(q),b

11、+(q)是二次鎮定的僅當(a(q),b(q)是二次鎮定的，這里。實際上，引理2.7表明+(a+(q),b+(q)和(a(q),b(q)就通過線性系統被二次鎮定而言是等價的。此外，引理2.7可以被認為是對由barmish（1983年）提出的定理3.1在m=1時這種情況下的延拓。定義2.9考慮一個不確定系統(a(q),b(q)，其中，(a(q),b(q)第二類上增廣系統+(a+(q),b+(q)定義如下：引理2.10（見附錄證明）考慮定義2.9中的(a(q),b(q)和+(a+(q),b+(q)不確定系統，則(a(q),b(q)是可通過線性系統被二次鎮定的等價于+(a+(q),b+(q)也是可通過

12、線性系統被二次鎮定的。定義2.11（魏，1990年定義4.7）考慮一個不確定系統(a(q),b(q)，其中一個第一類系統(a(q),b(q)的上增廣系統+(a+(q),b+(q)定義如下：為了簡便起見，我們稱第一類（或第二類）上增廣系統為一個上增廣系統。引理2.12考慮定義2.11中的(a(q),b(q)和+(a+(q),b+(q)不確定系統，則(a(q),b(q)是可通過線性系統被二次鎮定的等價于+(a+(q),b+(q)也是可通過線性系統被二次鎮定的。注意引理a.2和引理2.10的證明過程，類似地我們可以證明引理2.123 主要結果在這一部分，我們首先提供一些必要的定義和引理，然后得出我們

13、主要的結果。定義3.1一個不確定系統(a(q),b(q)稱為有新反對稱逐步回歸結構（簡稱為nas結構），如果m（q）滿足以下三種條件。（1）與 分別為負號不變和符號不變。（2）如果pk+2,1kj 和 , 則對于所有的 u>v,up1 和 vk. 有。（3）如果 pk+2,j<kn1 和 , 則對于所有的uv,j<up1,j<vk+1 和對于所有的u>v,1vj,up1 這里 j1 有例3.2對于4×4階矩陣（這里j*=2）所有可能的新反對稱逐步回歸結構如下：評論3.3（1）例3.2與由魏（1990年）提出的例2.8相比，我們容易地看出定義3.1不同于魏

14、（1990年）的定義2.5。（2）如果j*=0，我們也可以看出定義3.1恰好和魏（1990年）提出的定義2.5相同，因此為一個更為普遍的情況。ishida, adachi 和tokumaru（1981年）研究的不確定系統（無控制）的魯棒鎮定由零組成，正項和負項符號不變。在定義3.1中，我們易見一個不確定系統(a(q),b(q) 有新反對稱逐步回歸結構僅由零，*，正負符號不變的項組成。通過定義2.6，2.9和2.11與定義3.1相比較，我們發現一個重要的事實。事實3.4如果一個不確定系統(a(q),b(q)滿足以下條件：m(q)作為在（3）中有新反對稱逐步回歸結構，則+(m(q),b+)，其中總

15、可以由最簡系統(a0(q),b0(q) 通過一系列的增廣（上或下）得出，這里 (或者為)。此外，一旦我們采用一個第二類上增廣（或第二類下增廣）運算，我們不再采用第一類上增廣（或下增廣）運算。這個事實揭示了一個秘密：一個新反對稱逐步回歸結構僅由一系列的增廣構成。事實3.4可以被看作選擇新反對稱逐步回歸結構的定義和將會在證明定理3.9充分部分中起核心作用。下面，引理將會被用于證明定理3.9的必要性。引理3.5考慮一個自由系統(ac,bc)，這里 和ac=aijn×n滿足以下條件：aii=-1(i=1,j*),aii+1=1(i=1,n-1)和其它項全為零，0j*n。如果存在一個容許對（s

16、,）對(ac,bc)，則s中的一些項具有以下性質：（1）對于所有的i=1,n,有sii>0和對于所有的i,j=1,n且ij,有siisjj>s2ij；（2）如果存在一些i（1in-1）使得，則對任意的整數k滿足和；（3）如果存在一些i（1in-1）使得，則對于任意的整數k滿足和，這里r 為無窮大。引理3.6考慮一個不確定系統(ac,bc)，這里 和ac=aijn×n滿足以下條件：（1）aii=-1(i=1,j*),aii+1=1(i=1,n-1)；（2）存在一個不確定結構auv這里1vj和v<un1（或者j<v與vun1），例如和會為任意大；（3）除了aii,

17、aii+1和auv之外，其它項均為零，這里0j*n。如果有一個容許對(s,)對(ac,bc)，則s的suu,suu+1,和su+1 u+1滿足（5）這里和r可能為足夠大。引理3.7考慮一個不確定系統(ac,bc)，（這里ac正是引理3.5和 其中，1kn-1，akp是一個不確定結構，例如和會為任意大）；且0j*n。如果有一個容許對(s,)對(ac,bc)，則s的skk,skk+1,和sk+1 k+1滿足這里和r可能為足夠大。引理3.8考慮一個不確定系統(ac,bc)，這里bc(q)正是引理3.7和ac=aijn×n滿足以下條件：（1）aii=-1(i=1,j*)和aii+1=1(i=

18、1,n-1)，這里1j*n；（2）an1是一個不確定結構，例如，和可能是任意大，其中an1與akp相獨立；（3）除了aii,aii+1，akp和an1之外，其它項均為零。則系統不是二次可鎮定的。引理3.5-3.8的證明可在附錄中找到。我們現在主要陳述結果。定理3.9一個系統(ac,bc)在新標準形式（這里i*=0且j*1）有如定義2.3中獨立不確定結構是可通過線性控制二次鎮定的等價于該系統具有新反對稱逐步回歸結構。證明(充分性)從引理2.7中我們看到(a（q）,b(q)是可通過線性控制二次鎮定等價于+(m(q),b+)(其中m（q）為式子（3）且b+=00 1t)是可通過線性控制二次鎮定。根據

19、假設，m(q)具有新類型反對稱逐步回歸結構。從事實3.4中我們看到+(m(q),b+)是從最簡系統(a0（q）,b0(q)產生的，其中， b0(q)=； 或者 ， b0(q)=；或者a0(q)=0 ，b0(q)=, 通過一系列的增廣（上或者下）。通過線性控制實現二次鎮定對(a0（q）,b0(q)是簡單的。根據增廣規則和反復應用引理2.7，2.10和2.12，我們能夠推導出+(m(q),b+)，+(m(q),b+)是可通過線性控制實現二次鎮定的。（必要性）為了記數簡便，我們對一個特殊情況證明其必要部分，當所有符號不變（或者所有負號不變）(a（q）,b(q)不確定項是相同的。同時，略作改變，對通常

20、情況也適用。 根據新反對稱逐步回歸的定義，它滿足表示如果一個自由系統(ac,bc)如引理3.5中具有兩個獨立不確定結構auv 和 akp,其中u>v,pk+2,1kj,vk且up1,或者 uv,j<vk+1,pk+2,j<kn1 且j<up1, 或者 u>v,1vj,pk+2,j<kn1 與 up1,則系統不可二次鎮定。通過相反的過程。假設系統是可二次鎮定的。注意引理2.7，2.10，j*>0，且由魏（1990年）提出的定理3.2，我們只需要考慮系統(a*(q),b*(q)是二次可鎮定的，其中且a*(q)滿足以下條件：（1）且，其中1jn；（2）是一個

21、不確定結構且獨立于akn+1；(3)除了和au1外，其它項全為零。下面，我們假定j*=n且根據三種情況考慮(a*(q),b*(q)。至于情況1j*n1,我們可以用類似的方法推導出相反的結論。情況1：u=n且1kn-1。引理3.8表明系統不能被二次鎮定。情況2：2uk且2kn-1。因為au1是一個不確定結構，它依據引理3.6 這里，根據akp是一個不確定結構，它從引理3.7中導出，這里， 。注意引理3.5性能(2)和uk我們立即得到，這與矛盾。情況3:k+1un-1且1kn-2.它從引理2.5存在一個正定對稱矩陣s使得xt(a(q)s+sat(q)x<0對所有對（x,q）n×q，

22、其中x0，對一些 . 在證明引理4.12應用相同的方法，在魏（1990年）領域中一個等價條件對所有的qq 且 y(0)rn1有yt(s,q)y<0，其中（1）當un1時，(s,q)的部分項如下：且；（2）當u=n1時，(s,q)的部分項如下：kk和 11和（1）中相同，且情況1：un1。它從負定(s,q)中得出且，即：（7）且（8）用-akn+1替代akn+1,我們得到一個不等式。添加這個新不等式和式子（7）（9）簡要地，從式（8）中我們可以推導出（10）當時，從引理3.6，（5）保持；當au10，引理3.7，（6）保持。下面，假設snn>rnk+2skk，根據（5），引理3.5的

23、性質（3）和un-2,我們立即得出：snn>r2sn-1 n-1且snn>rsnn-1(11)設akn+1=r，（9）式變為（12）然后，當r 足夠大，結合snn>r2sn-1 n-1，式（11）和（6）與（12），我們容易繪制(8/r)snnr2snn(13)如果r是足夠大是一個相反必要條件。因此，snnrnk+2skk。從引理3.5（6）的性質（2）和snnrnk+2skk可以得出：（14）另一方面，從（6）和引理3.5的性質（2）我們有|s21|<rn1s11。然后，當r足夠大，結合（10），（5）和|s21|<rn1s11即:(15)它從引理3.5的性質（

24、3）和式（5）得出：（16）結合（15）（16）導出（17）因為可能會是任意大，我們選擇來確保。然后，從式（17）和得出snn>rn1s11與（14）式結果相反。證明情況2類似于證明情況1，因此略去，至此，證畢。評論3.10（1）從以上證明我們容易地知道引理3.5-3.7起關鍵作用。事實上，我們也可以對定理3.2（必要性）由魏（1990年）提出，通過應用引理3.5-3.7來證明。詳細的證明此處略去。（2）當j*在定理3.9可能會是零，定理3.9是由魏（1990年）提出的定理3.2。因此，定理3.9延拓了魏（1990年）的定理3.2。（3）注意引理2.7，2.10和2.12以及定理3.9的

25、證明，我們可以容易地對一個帶有新反對稱逐步回歸結構不確定系統設計一個理想的線性控制器，過程此處略去。注意由魏（1990年）的推論3.3和3.4，此處我們同樣略去相關結果。4.結論本文我們研究具有結構無關時變不確定性的新一類單輸入線性系統的二次可鎮定性。通過介紹一個概念“新標準類型”，我們推導出可通過線性控制來二次鎮定的充要條件，判斷一個系統可通過線性控制來實現二次鎮定，我們僅需要檢查系統矩陣是否為所有不確定項形成一個稱之為新反對稱逐步回歸結構的一個特殊幾何類型。我們的結果延拓了魏（1990年）的主要結果。致謝作者感謝副編輯和評審員的有深度的評論和roberto tempo 和楊廣宏（音）教授的

26、令人關注和有用的討論。本研究得到了香港自然科學研究基金會授權guhk4150/97e的支持。附錄本附錄中，可以找到證明barmish(1983年)的定理3.1的一些相關的知識。引理2.7的證明（必要性）假設(a(q),b(q)是可通過線性控制實現二次鎮定的，即存在一個線性穩定控制器u=kx對(a(q),b(q)以及一個n×n階正定對稱矩陣s使得（a.1）對所有qq是負定對稱矩陣。我們稱（s,k）是(a(q),b(q)的一個期望對。我們的任務是對+(a+(q),b+(q)建立一個期望對（s+,k+）使得(a.2)對所有qq是負定對稱矩陣。分割s+與k+,分別為（a.3）其中，以及。選擇

27、，以及，這里r>0選為充分大以便s+是正定對稱矩陣且r>kskt。選擇k1+=kn+1+k。然后計算。我們可以容易選擇一個合適的k+n+1來確保對所有的qq，是負定對稱矩陣。從在證明由barmish(1983年)的定理3.1以及負定矩陣中選取s,k，我們能夠容易地證明引理2.7的充分性部分。為證明引理2.10，我們首先介紹以下引理。引理a.1考慮一個不確定系統(a(q),b(q)，其中a(q)=aijn×n，以及，它的上增廣系統+(a+(q),b+(q)定義如下：（a.4）則(a(q),b(q)是可通過線性控制實現二次鎮定等價于+(a+(q),b+(q)可通過線性控制實現

28、二次鎮定。引理a.1的證明（必要性）假設(a(q),b(q)是可通過線性控制實現二次鎮定，即存在一個期望對（s,k）使得（a.1）對所有的qq是負定對稱矩陣。現在我們的目標是選擇一個期望對（s+,k+）來確保（a.2）對所有的qq是負定對稱矩陣。為實現此目標，我們分割s+和k+為(a.5)其中，以及。選擇s+01=0，s+00=r>0(來確保s+是正定對稱矩陣)，s+11=s，k+0=1/r,以及k+1=k。計算。我們可以選取一個合適的r>0來確保對所有的qq，是負定對稱矩陣。（充分性）假設+(a+(q),b+(q)是可通過線性控制實現二次鎮定的，即存在一個期望對（s+,k+）如（

29、a.5）來保證（a.2）對qq是負定矩陣。選擇s=s+11且k=k1+k0+s01+s11+1能夠保證式（18）對qq是負定矩陣。引理2.10的證明（必要性）假設(a(q),b(q)是可通過線性控制實現二次鎮定。設考慮它的上增廣系統(a1(q),b1(q)，其中從引理a.1中我們看出(a1(q),b1(q) 是可通過線性控制實現二次鎮定。從a1(q)中建立一個系統(a2(q),b2(q)，其中比較(a2(q),b2(q)與(a1(q),b1(q)，我們容易地發現(a1(q),b1(q)是一個定義2.6中的(a2(q),b2(q)的下增廣運算。因此，它從引理2.7中得出(a2(q),b2(q)

30、是可通過線性控制實現二次鎮定。類似地，(a+(q),b+(q)是(a2(q),b2(q)的下增廣運算。然后，從引理2.7中得出(a+(q),b+(q) 是可通過線性控制實現二次鎮定。（充分性）假設(a+(q),b+(q) 是可通過線性控制實現二次鎮定。注意an0在 a+(q)是一個結構獨立的不確定項。設an0=0，從引理a.1中我們立即有(a(q),b(q) 是可通過線性控制實現二次鎮定。下面引理對證明引理2.12有用。引理a.2考慮定義2.11中的不確定系統(a(q),b(q)和(a+(q),b+(q),這里an00。則(a(q),b(q) 是可通過線性控制實現二次鎮定等價于(a+(q),b

31、+(q)是可通過線性控制實現二次鎮定。引理a.2的證明(必要性)重復引理a.1的（必要性）證明過程，我們容易地選擇(a+(q),b+(q)的一個期望對（s+,k+）。例如，我們選擇s+00=r3>0,s+11=s, ,且s+01與k+0滿足以下條件：（1）當是正符號不變，且k0+=k1/r2；（2）當是負號不變，且k0+=-k1/r2，這里r是足夠大。引理a.2的充分性證明類似于引理a.1下面，在證明引理3.5-3.8中，我們考慮j*=n。原因類似于0j*<n引理3.5的證明回顧(s)=t(acs+sact) 這里=in1 0t，(s)的項ij 為 .性質（1）立即得出s正定性。我們現在證明性質（2），假設，我們首先證明，相反的過程。假設，從，和性質（1）得出（a.6）的必要性導出（a.7）當r為足夠大，從（a.6）和中得出（a.8）和（a.9）結合（a.7）-（a.9）量是一個相反結果當r 是足夠大。然后，注意性質（1）我們有，當i2k1時，我們類似地有和 .證明性質（3）完全同上，為了簡要起見，我們略去。引理3.6的證明簡單估算(s,q)量，以及，從，我們有（a.10）回顧j*=n，則v<u。相反的過程，假設則。基于v<u和引理3.5的性質（3），結果為和（a.11）。用auv來替換（a.10）中的auv，我們得