1、二項式定理及典型試題知識點一：二項式定理二項式定理：，其中： 公式右邊的多項式叫做的二項展開式；展開式中各項的系數叫做二項式系數；式中的第r+1項叫做二項展開式的通項，用表示；二項展開式的通項公式為.知識點二：二項展開式的特性項數：有n+1項；次數：每一項的次數都是n次，即二項展開式為齊次式；各項組成：從左到右，字母a降冪排列，從n到0；字母b升冪排列，從0到n；系數：依次為.知識點三：二項式系數的性質對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等單調性：二項式系數在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當n為偶數時，二項展開式中間一項的二項式系數最大

2、；當n為奇數時，二項展開式中間兩項的二項式系數，相等，且最大.二項式系數之和為，即其中，二項展開式中各奇數項的二項式系數之和等于各偶數項的二項式系數之和，即經典例題1、“展開式例1求的展開式；解：原式= =【練習1】求的展開式2.求展開式中的項例2.已知在的展開式中，第6項為常數項.（1） 求n； （2）求含的項的系數；（3）求展開式中所有的有理項.解：（1）通項為因為第6項為常數項，所以r=5時，有=0，即n=10.（2）令=2，得所以所求的系數為.（3）根據通項公式，由題意令，則，故可以取，即r可以取2，5，8.所以第3項，第6項，第9項為有理項，它們分別為.【練習2】若展開式中前三項系數

3、成等差數列.求：（1） 展開式中含的一次冪的項；（2）展開式中所有的有理項.3.二項展開式中的系數例3.已知的展開式的二項式系數和比的展開式的二項式系數和大992，求的展開式中：（1）二項式系數最大的項；（2）系數的絕對值最大的項（先看例9）.解：由題意知，所以，解得n=5.（1） (1)由二項式系數性質，的展開式中第6項的二項式系數最大.（2） 設第項的系數的絕對值最大，得，即，解得.，故系數的絕對值最大的項是第4項，.練習3已知的展開式中的第五項的系數與第三項的系數之比是10：1.(1) 求展開式中含的項；(2)求展開式中系數最大的項和二項式系數最大的項.4、求兩個二項式乘積的展開式指定冪

4、的系數 例4的展開式中，項的系數是 ； 解：在展開式中，的來源有： 第一個因式中取出，則第二個因式必出，其系數為； 第一個因式中取出1，則第二個因式中必出，其系數為的系數應為：填。5、求可化為二項式的三項展開式中指定冪的系數例5（04安徽改編）的展開式中，常數項是 ；解：，該式展開后常數項只有一項，即 6、求中間項例6求（的展開式的中間項；解：展開式的中間項為 即：。 當為奇數時，的展開式的中間項是和；當為偶數時，的展開式的中間項是。7、有理項例7 的展開式中有理項共有 項；解：當時，所對應的項是有理項。故展開式中有理項有4項。 當一個代數式各個字母的指數都是整數時，那么這個代數式是有理式；

5、當一個代數式中各個字母的指數不都是整數（或說是不可約分數）時，那么這個代數式是無理式。8、求系數最大或最小項（1） 特殊的系數最大或最小問題例8（00上海）在二項式的展開式中，系數最小的項的系數是 ；解：要使項的系數最小，則必為奇數，且使為最大，由此得，從而可知最小項的系數為（2） 一般的系數最大或最小問題 例9求展開式中系數最大的項； 解：記第項系數為，設第項系數最大，則有 又，那么有 即 解得，系數最大的項為第3項和第4項。（3）系數絕對值最大的項例10在（的展開式中，系數絕對值最大項是 ；解：求系數絕對最大問題都可以將“”型轉化為型來處理，故此答案為第4項，和第5項。9、利用“賦值法”及

6、二項式性質3求部分項系數，二項式系數和 例11若， 則的值為 ； 解： 令，有， 令，有 故原式=【練習1】若， 則 ；解：，令，有 令，有 故原式=【練習2】設， 則 ； 解： = =110、利用二項式定理求近似值 例15求的近似值，使誤差小于； 分析：因為=，故可以用二項式定理展開計算。 解：= ， 且第3項以后的絕對值都小于， 從第3項起，以后的項都可以忽略不計。 = 小結：由，當的絕對值與1相比很小且很大時，等項的絕對值都很小，因此在精確度允許的范圍內可以忽略不計，因此可以用近似計算公式：，在使用這個公式時，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項的取舍，若精確度要求較高，則可

7、以使用更精確的公式：。 新課標人教版 排列、組合與二項式定理（選修23） 注意事項：1本試題分為第卷和第卷兩部分，滿分150分，考試時間為120分鐘。2答第卷前務必將自己的姓名、考號、考試科目涂寫在答題卡上。考試結束，試題和答題卡一并收回。3第卷每題選出答案后，都必須用2b鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號（abcd）涂黑，如需改動，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案。第卷 一、選擇題：本大題共16小題，每小題5分，共80分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1（08年上海卷12）組合數c（nr1，n、rz）恒等于（ ） ac b(n+1)(r+1)c cnr c dc2 一次考試

8、中，要求考生從試卷上的9個題目中選6個進行答題，要求至少包含前5個題目中的3個，則考生答題的不同選法的種數是（ ） a40b74c84d2003以三棱柱的六個頂點中的四個頂點為頂點的三棱錐有（ ） a18個b15個c12個d9個4 從一架鋼琴挑出的十個音鍵中，分別選擇3個，4個，5個，10個鍵同時按下，可發出和弦，若有一個音鍵不同，則發出不同的和弦，則這樣的不同的和弦種數是（ ） a512b968c1013d10245如果的展開式中所有奇數項的系數和等于512，則展開式的中間項是（ ） abcd6用0，3，4，5，6排成無重復字的五位數，要求偶數字相鄰，奇數字也相鄰，則這樣的五位數的個數是（

9、） a36b32 c24d207現有一個堿基a，2個堿基c，3個堿基g，由這6個堿基組成的不同的堿基序列有（ ） a20個b60個c120個d90個8 某班新年聯歡會原定的6個節目已排成節目單，開演前又增加了3個新節目，如果將這3個節目插入原節目單中，那么不同的插法種數為（ ） a504 b210c336d1209在的展開式中，x3的系數等于（ ） abcd10現有男女學生共8人，從男生中選2人，從女生中選1人，分別參加數理化三科競賽，共有90種不同方案，則男、女生人數可能是（ ） a2男6女b3男5女c5男3女d6男2女11若xr，nn ，定義x(x1)(x2)(xn1)，例如(5)(4)(

10、3)(2)(1)120，則函數的奇偶性為（ ）a是偶函數而不是奇函數 b是奇函數而不是偶函數c既是奇函數又是偶函數d既不是奇函數又不是偶函數12已知集合a1，2，3，b4，5，6，從a到b的映射f(x)，b中有且僅有2個元素有原象，則這樣的映射個數為 （ ） a8b9c24d2713有五名學生站成一排照畢業紀念照，其中甲不排在乙的左邊，又不與乙相鄰，而不同的站法有 （ ） a24種b36種c60種d66種14等腰三角形的三邊均為正數，它們周長不大于10，這樣不同形狀的三角形的種數為（ ） a8b9 c10d1115甲、乙、丙三同學在課余時間負責一個計算機房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，

11、每人值班2天，如果甲同學不值周一的班，乙同學不值周六的班，則可以排出不同的值班表有（ ） a36種b42種c50種d72種16若 的值為 （ ）a0b2c1 d1第卷二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分把答案填在橫線上17某電子器件的電路中，在a，b之間有c，d，e，f四個焊點（如圖），如果焊點脫落，則可能導致電路不通今發現a，b間電路不通，則焊點脫落的不同情況有 種18正整數a1a2ana2n2a2n1稱為凹數，如果a1>a2>an，且a2n1>a2n2>>an，其中ai（i1,2,3,）0,1,2,9，請回答三位凹數a1a2a3（a1a3）共有 個

12、（用數字作答）19（08年福建卷13）若(x2)5= a5x5+ a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a1+a2+a3+a4+a5=_.(用數字作答)20一棟7層的樓房備有電梯，在一樓有甲、乙、丙三人進了電梯，則滿足有且僅有一人要上7樓，且甲不在2樓下電梯的所有可能情況種數有 21已知（x1）6（ax1）2的展開式中，x3的系數是56，則實數a的值為 三、解答題：本大題共4小題，共50分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）將7個相同的小球任意放入四個不同的盒子中，每個盒子都不空，共有多少種不同的方法？ 23（本小題滿分12分）已知()n展開式中的倒數第三項的

13、系數為45，求： （1）含x3的項； （2）系數最大的項24（本小題滿分14分）規定其中，為正整數，且 這是排列數是正整數，且的一種推廣 （1）求的值； （2）排列數的兩個性質：， (其中m，n是正整數)是否都能推廣到是正整數）的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由； （3）確定函數的單調區間25(本題滿分14分) 一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環分為等份，種植紅、黃、藍三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花. （1）如圖1，圓環分成的3等份為，有多少不同的種植方法？如圖2，圓環分成的4等份為，有多少不同的種植方法？ （2）

14、如圖3，圓環分成的n等份為，an，有多少不同的種植方法？參考答案一、選擇題題號12345678910111213141516答案dbcbbdbabbadbcbd提示1d 用公式驗證，也可以用特殊值法2b 分三步：200811253c 4b 分8類：5b 中間項為6d 按首位數字的奇偶性分兩類：7b 分三步：8a 9b 原式10b 設有男生x人，則，檢驗知b正確11a 12d 13b先排甲、乙外的3人，有種排法，再插入甲、乙兩人，有種方法，又甲排乙的左邊和甲排乙的右邊各占 ，故所求不同和站法有14c 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3

15、），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10種15b 每人值班2天的排法或減去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有16d 設f(x)()10，則(a0a2a10)2(a1a3a9)2(a0a1a10)(a0a1a2a9a10)f(1)f(1)()10()101。二、填空題1713 按焊點脫落個數為1，2，3，4分四類，有18240 1931 設f(x)(x2)5=a5x5+ a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則f(1)(12)5= a5+ a4+a3+a2+a1+a01, 又，a0（2)532故a1+a2+a3+a4+a5=31206

16、5 分二類：第一類，甲上7樓，有52種；第二類：甲不上7樓，有4×2×5種，共有524×2×565種211或6 項的系數為三、解答題22解法1：7111411231222，分三類，共有分法解法2（隔板法）：將7個小球排成一排，插入3塊隔板，故共有分法23解：由題設知系數最大的項為中間項，即 24解：（）； （）性質、均可推廣，推廣的形式分別是：， 事實上，在中，當時，左邊， 右邊，等式成立；當時，左邊 ， 因此，成立； 在中，當時，左邊右邊，等式成立；當時，左邊右邊，因此 成立。 （）先求導數，得.令>0，解得x<或 x>.因此，當時，函數為增函數， 當時，函數也為增函數。令<0，解得<x<.因此，當時，函數為減函數. 所以，函數的增區間為， ；函數的減區間為 25解：（1）如圖1，先對a1部分種植，有3種不同的種法，再對a2、a3種植，因為a2、a3與a1不同顏色，a2、a3也不同. 所以s（3）=3×2=6（種） 如圖2，s（4）=3×2