1、設(shè)設(shè)),(zyxf是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域上的有界上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域函數(shù)，將閉區(qū)域任意分成任意分成n個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域1v ，2v , ,nv ，其中，其中iv 表示第表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積表示它的體積, , 在每個(gè)在每個(gè)iv上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)),(iii 作乘積作乘積iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和，并作和, ,如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)時(shí)，這和式的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)),(zyxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域上的上的三重積分三重積分，記為，

2、記為 dvzyxf),(, ,一、三重積分的概念一、三重積分的概念即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv, 的平面來(lái)劃分的平面來(lái)劃分用平行于坐標(biāo)面用平行于坐標(biāo)面在直角坐標(biāo)系中，如果在直角坐標(biāo)系中，如果.lkjizyxv 則則三三重重積積記記為為 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .積積元元素素叫叫做做直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的體體其其中中dxdydz直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分二、三重積分在直角坐標(biāo)系中的二、三重積分在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算法計(jì)算法xyzo D1z2z2

3、S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直線作直線過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)Dyx 穿穿出出穿穿入入，從從從從21zz函函數(shù)數(shù)，則則的的只只看看作作看看作作定定值值，將將先先將將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)間間計(jì)計(jì)算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dv

4、zyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)情情形形相相交交不不多多的的邊邊界界曲曲面面直直線線與與閉閉區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)部部的的軸軸且且穿穿過(guò)過(guò)閉閉區(qū)區(qū)域域這這是是平平行行于于Sz 例例 1 1 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三為三次積分，其中積分區(qū)域次積分，其中積分區(qū)域 為由曲面為由曲面 222yxz 及及22xz 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222

5、xyxxxdzzyxfdydxI例例2 2 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三為三次積分，其中次積分，其中 積分區(qū)域積分區(qū)域 為由曲面為由曲面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所圍所圍成的空間閉區(qū)域成的空間閉區(qū)域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖，xyz例例 3 3 將將 1010022),(yxdzzyxfdydx按按xzy, 的的次次序序積積分分.1D： 1002yxz解解1D 10100),(2dyzyxfdzdxx原原式式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx.2D： 112

6、22yxzxzx2D截面法的一般步驟：截面法的一般步驟：(1) 把積分區(qū)域把積分區(qū)域 向某軸向某軸（例如（例如z 軸）投影，得投軸）投影，得投影區(qū)間影區(qū)間,21cc；(2) 對(duì)對(duì),21ccz 用過(guò)用過(guò)z軸且平行軸且平行xoy平面的平面去平面的平面去截截 ，得截面，得截面zD;(3) 計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分 zDdxdyzyxf),( 其其結(jié)結(jié)果果為為z的的函函數(shù)數(shù))(zF；(4)最最后后計(jì)計(jì)算算單單積積分分 21)(ccdzzF即即得得三三重重積積分分值值.z例例 4 4 計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分 zdxdydz，其其中中 為為三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面及及平平面面1 zyx所所圍圍成成的的閉閉區(qū)

7、區(qū)域域.解解（一一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)1(21dzzz241 .xozy111 zdxdydz解解（二二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111例例 5 5 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 橢球面橢球面1222222 czbyax所成的空間閉區(qū)域所成的空間閉區(qū)域.: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解)1()1

8、(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式例例 6 6 計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分dxdydzxy 21，其其中中 由由曲曲面面221zxy ，122 zx，1 y所所圍圍成成.將將 投投影影到到zox平平面面得得:xzD 122 zx,先先對(duì)對(duì)y積積分分，再再求求xzD上上二二重重積積分分,解解如圖如圖, 112221zxDdydxdzxyxz原原式式dzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxxx.4

9、528 ,0 r,20 . z三、三重積分在柱面坐標(biāo)系中計(jì)三、三重積分在柱面坐標(biāo)系中計(jì)算法算法的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)就叫點(diǎn)就叫點(diǎn)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)，則這樣的三，則這樣的三的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為面上的投影面上的投影在在為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)設(shè)設(shè)MzrrPxoyMzyxM,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),

10、(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為中的體積元素為,dzrdrddv 例例 7 計(jì)計(jì)算算 zdxdydzI，其其中中 是是球球面面 4222 zyx與與拋拋物物面面zyx322 所所圍圍的的立立體體. 解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如圖圖，投投影影到到把把閉閉區(qū)區(qū)域域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例 8 計(jì)計(jì)算算 dxdydzyxI)(22， 其其中中 是是曲曲線線 zy22

11、 ，0 x 繞繞oz軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的曲曲面面與與兩兩平平面面, 2 z8 z所所圍圍的的立立體體. 解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)得，軸旋轉(zhuǎn)得，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖， 2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原式原式 I 345 625 336.

12、82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd四、三重積分在球面坐標(biāo)系中計(jì)四、三重積分在球面坐標(biāo)系中計(jì)算法算法的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點(diǎn)就叫做點(diǎn)，個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在點(diǎn)點(diǎn)為為的角，這里的角，這里段段逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來(lái)看自軸來(lái)看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點(diǎn)與點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)為原為原來(lái)確定，其中來(lái)確定，其中，三個(gè)有次序的數(shù)三個(gè)有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)設(shè)設(shè)MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(,r 0.20 ,0

13、 規(guī)定：規(guī)定：為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxMr zyxA，軸上的投影為軸上的投影為在在點(diǎn)點(diǎn)，面上的投影為面上的投影為在在設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr d

14、sinr rd d d sinr如圖，如圖，例例 9 9 計(jì)計(jì)算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是錐錐面面222zyx ， 與與平平面面az )0( a所所圍圍的的立立體體. 解解 1 采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo) ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz

15、 ,20,0,: arazr例例 1 10 0 求求曲曲面面22222azyx 與與22yxz 所所圍圍 成成的的立立體體體體積積. 解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采用球面坐標(biāo)，采用球面坐標(biāo)，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 補(bǔ)充：利用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算補(bǔ)充：利用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算使用對(duì)稱(chēng)性時(shí)應(yīng)注意：使用對(duì)稱(chēng)性時(shí)應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)性；、被積函數(shù)在積分區(qū)

16、域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的的 一般地，當(dāng)積分區(qū)域一般地，當(dāng)積分區(qū)域 關(guān)于關(guān)于xoy平面對(duì)稱(chēng)，且平面對(duì)稱(chēng)，且被積函數(shù)被積函數(shù)),(zyxf是關(guān)于是關(guān)于z的奇函數(shù)，則三重積分的奇函數(shù)，則三重積分為零，若被積函數(shù)為零，若被積函數(shù)),(zyxf是關(guān)于是關(guān)于z的偶函數(shù)，則的偶函數(shù)，則三重積分為三重積分為 在在xoy平面上方的半個(gè)閉區(qū)域的三重平面上方的半個(gè)閉區(qū)域的三重積分的兩倍積分的兩倍.奇偶性奇偶性例例 11 利利用用對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化計(jì)計(jì)算算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222 其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域1| ),(222 zyxzyx. 解解積分域關(guān)

17、于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱(chēng)，積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的的奇函數(shù)奇函數(shù),z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 1 12 2 計(jì)計(jì)算算 dxdydzzyx2)(其其中中 是是由由拋拋物物面面 22yxz 和和球球面面2222 zyx所所圍圍成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域. 其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于zox面面對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng), 0)(dvyzxy,同同理理 zx是是關(guān)關(guān)于于x的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)于關(guān)于yoz面對(duì)稱(chēng)面對(duì)稱(chēng), 0 xzdv由由對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性知知 dvydv

18、x22,則則 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在在柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)下下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影區(qū)域投影區(qū)域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 三重積分的定義和計(jì)算三重積分的定義和計(jì)算在直角坐標(biāo)系下的體積元素在直角坐標(biāo)系下的體積元素dxdydzdv （計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）五、小結(jié)五、小結(jié)三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)（1） 柱面坐標(biāo)的體積元素柱面坐標(biāo)的體積元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐標(biāo)的體積元素球面

19、坐標(biāo)的體積元素 ddrdrdxdydzsin2 （3） 對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化運(yùn)算對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化運(yùn)算思考題思考題 1 為為六六個(gè)個(gè)平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域，),(zyxf在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則累累次次積積分分_ dvzyxf),(.選擇題選擇題:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD思考題思考題 2則則上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為為面對(duì)稱(chēng)的有界閉區(qū)域，面對(duì)稱(chēng)的有界閉區(qū)域，中關(guān)于中關(guān)于為為若

20、若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)關(guān)關(guān)于于當(dāng)當(dāng) 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf為偶函數(shù)時(shí)為偶函數(shù)時(shí)關(guān)于關(guān)于當(dāng)當(dāng).1面面上上方方的的部部分分在在為為其其中中xy zz2一一、 填填空空題題: :1 1、 若若 由由曲曲面面22yxz 及及平平面面1 z所所圍圍成成, , 則則三三重重積積分分 dxdydzzyxf),(化化為為三三次次積積分分是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 若若 是是由由曲曲面面0( cxycz) ), ,122

21、22 byax, ,0 z所所圍圍成成的的在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)的的閉閉區(qū)區(qū)域域, ,則則三三重重積積分分 dxdydzzyxf),(可可化化為為三三次次積積分分為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,則則 dxdydzzyx)(可可化化為為三三次次積積分分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, ,其其值值為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題 1 4 4、若、若 : :是由是由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所圍成所圍成, ,則三重積則三重積 分分

22、dvzyxf),(可化為：可化為：(1)(1) 次序?yàn)榇涡驗(yàn)閤yz的三次積分的三次積分_._.(2)(2)次序?yàn)榇涡驗(yàn)閦xy的三次積分的三次積分_._. (3) (3)次序?yàn)榇涡驗(yàn)閥zx的三次積分的三次積分_._.二、計(jì)算二、計(jì)算 dxdydzzxy32, ,其中其中 是由曲面是由曲面xyz , ,與平與平 面面01, zxxy和和所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 . .三三、計(jì)計(jì)算算 xzdxdydz, ,其其中中 是是曲曲面面1, 0 yyzz, ,以以及及拋拋物物柱柱面面2xy 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. .四四、計(jì)計(jì)算算 dvyx221, ,其其中中 是是由由六六個(gè)個(gè)頂頂點(diǎn)點(diǎn) ),0

23、, 0 , 2(),2 . 1 . 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(DCBA )4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(FE組組成成的的三三棱棱錐錐臺(tái)臺(tái). .一、一、1 1、 111112222),(yxxxdzzyxfdydx； 2 2、 cxyaxbadzzyxfdydx0100),(22； 3 3、 101010)(dzzyxdydx，23； 4 4、 hxaxaadzzyxfdydx020),(22， 22200),(xaxaahdyzyxfdxdz； 22220022020),(),(yahaayayahadxzyxfdzdydxzyxfdzdy練習(xí)題練習(xí)題

24、1 答案答案二二、 3641. .三三、 0 0. .四四、 2ln. .一一、 填填空空題題: :1 1、 若若 由由曲曲面面和和)(3222yxz 16222 zyx所所圍圍, ,則則三三重重積積分分 dvzyxf),(表表示示成成直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)下下的的三三次次積積分分是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ;在在柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)下下的的三三次次積積分分是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ;在在球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)下下的的三三次次積積分分是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

25、_. .2 2、 若若 由由曲曲面面及及222yxz 22yxz 所所圍圍, ,將將 zdv表表為為柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)下下的的三三次次積積分分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _, ,其其值值為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題 2 3 3、若空間區(qū)域、若空間區(qū)域 為二曲面為二曲面azyx 22及及 222yxaz 所圍所圍, ,則其體積可表為三重積分則其體積可表為三重積分_; ;或二重積分或二重積分_; ;或柱面坐標(biāo)下的三次積分或柱面坐標(biāo)下的三次積分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx , ,222zyx 所確定所確定, ,將將 zdv表為球面坐標(biāo)下的三次積分為表為球面坐標(biāo)下的三次積分為_(kāi)；其值為；其值為_(kāi). .二二、計(jì)計(jì)算算下下列列三三重重積積分分: : 1 1、 dvyx)(22, ,其其中中 是是由由曲曲面面 24z)(2522yx 及及平平面面5 z所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. . 2 2、 dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由不等式 0,0