1、3 一般項級數 三、三、AbelAbel判別法和判別法和DirichletDirichlet判別法判別法 由于非正項級數(一般項級數)的收斂性問題要比正項級數復雜得多, 所以對一般項級數的收斂性討論只限于某些特殊類型級數.一、交錯級數一、交錯級數 二、絕對收斂級數及其性質二、絕對收斂級數及其性質一、交錯級數 11234( 1)(1)nnuuuuu(0)若級數的各項若級數的各項un 符號正負相間符號正負相間, , 即即定義定義1 1 交錯級數：交錯級數：定理定理12.11 (Leibniz判別法判別法) 若交錯級數若交錯級數 (-1)n+1un滿足滿足: :(i);nu數數列列單單調調遞遞減減(

2、ii) lim0,nnu (-1)n+1un收斂收斂.證證 : :記記交錯級數交錯級數 (-1)n+1un的部分和數列的部分和數列Sn:211232221()(),mmmSuuuuu21234212()()().mmmSuuuuuuun單減單減,上式中上式中(ui-ui+1) 0, 21mS遞遞減減數數列列, ,21220mmmSSu(ii)又又， 0(),m+1(-1)=nnu2212(1)2(1) 1,mmmmSSSS21mS2mS 2(1) 1mS2(1)mS2.mS是是遞遞增增數數列列從而從而 S2m, S2m-1 是一個區間套是一個區間套. .由區間套定理由區間套定理, , | |S

3、 R, 使得使得 212limlim.mmmmSSS,nS數數列列收收斂斂+1(-1)./ /nnu即即級級數數收收斂斂+1+2+3| -|=|-(-)-|nnnnS Suuu+100,Nst nNpN 對對, ,總總和和有有12mmmpuuu 12mmmpuuu由柯西準則知級數由柯西準則知級數un也收斂也收斂.注注: :級數級數un絕對收斂絕對收斂 |un|收斂收斂,可用正項級數判別法可用正項級數判別法=nu=|nu定義定義2 2 級數級數un為為絕對收斂級數：絕對收斂級數：|nnuu收收斂斂即即收收斂斂2.!2!:!nnnn 解解+11!limlim(1)! | |nnnnnnunun 絕

4、對值收斂否？絕對值收斂否？對任何實數對任何實數 都都絕對收斂絕對收斂.例例1 級數級數 21!2!nnnnn 正正項項級級數數lim1nn 01,1!nnn !sinnnx例例E1.1:E1.1:級數 絕對收斂？1)-(1nn!n|nxsin|解：解：21)-(1n22) 1-(1nn收斂，! nnxsin絕對收斂121nn 若級數若級數un收斂收斂, ,但但| un |不收斂不收斂, ,定義定義 un為為條件收斂條件收斂: :Th:Th:級數級數| un |收斂收斂 un收斂收斂1=1( 1)1)1:(nnn例例收斂收斂條件條件11(2( 1)(!21nn絕對收斂絕對收斂2100( 1E1(

5、7)31nnnn，2100|=31nnnun210021003131:nnnnnn解解 ()n23 n1 1使使發散，發散，12121nkk1611213213nnkkC n3 3 n2 2使使發散，發散，12112111 -ikCiinnki11 -121inkk ni ni-1使使發散，發散，1231-21111111112121122111411622iinnikknnnkk nnkkkCki為原級數的一個重排為原級數的一個重排, , 發散發散，重排后級數可發散重排后級數可發散= ,nuA收斂級數收斂級數 nnauau收斂收斂=,aA 12111()mmnknnknaaauau1=mkk

6、Aa?= ,=nnuAvB =nnuvAB2. 級數的乘積級數的乘積將級數將級數un與與vn中每一項所有可能的乘積列表如下中每一項所有可能的乘積列表如下 1 1121312 1222323 132333123nnnnnnnnu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu v這些乘積這些乘積uivj可以按各種方法排成不同的級數可以按各種方法排成不同的級數, 常常用的排序用的排序: :按按正方形正方形順序或按順序或按對角線對角線順序順序. 122 11 112313233 1323322213nnnnnnnnu vu vu vu vu vu vu vu

7、 vu vuu vu vuu vvuu vvv1 32333u vu vu v1 11 2222 1u vu vu vu v323 1u vu v12312313223 1131221233132nnnnnnnnu vu vu vu vu vu vu vu vuuuu vu vvu vu vuvvv1111 22u vuuvv1 3223 1u vu vu v對對 角角 線線 順順 序序正正 方方 形形 順順 序序特點特點:書寫第書寫第n個正方形個正方形: uivn(i n)+unvi(inn)特點特點:書寫第書寫第n條對角線條對角線: uivj+ (i ,i+j=n),性質性質3 (Th12

8、.14柯西定理柯西定理) 若若un 、 vn都都絕對收斂絕對收斂, 所有所有ui uj按按 順序排列所得順序排列所得wn絕對收斂絕對收斂, 且和等于且和等于AB.211,11nrrrrr 例例2 等比級數等比級數 絕對收斂絕對收斂1 21()nnr將將按按對角線順序對角線順序排列排列, 則得則得 11122113223121()()(1)u uu uu uu uu uu ur112-11()nnnu uu uu u()rr 222()rrr11(),nnnrr 21123nrrnr注注: 級數乘積在冪級數級數乘積在冪級數(CH14)中有重要應用中有重要應用.1nnrP25Ex. 5; 6三、一

9、般項級數收斂性判別法一般項級數收斂性判別法: : Abel和Dirichlet判別法引理引理 (分部求和公式分部求和公式, , 也稱阿貝爾變換也稱阿貝爾變換) ,(1,2, ),iiv in 設設兩兩組組實實數數 若若令令12(1,2, ),kkvvvkn 122312111()()()nniinninnv 分部求和公式分部求和公式:證證11221,vv 1,nnnv1niiiv 11132232+)+()( 11-2)(+nnn 211()-= 322+(-) -1-1+(-)nnn +nn -1+()nnn 12(i),max;nkk 單單調調是是數數組組, ,記記(ii)(1),kkkn

10、A 對對任任一一正正整整數數有有13.nkkkAv 12231,nn 推論推論 (阿貝爾引理阿貝爾引理) 若若證證 由由(i)知知同號同號.不妨設為正不妨設為正 121232111()()()nkknnnnnkv 12231()()()nnnAA 1nnAA1(2)nA3.A % 由由(ii)11212231|()()(|)|nnnnn % 由由(i)1 122nnnna ba ba ba b收斂性的判別法？收斂性的判別法？.定理定理12.15 (Abel判別法判別法)(ii)級數級數bn收斂收斂.(i)數列數列an單調有界單調有界anbn收斂收斂0,nMaM使使證證 -Abel引理條件引理條

11、件(i)由由Cauchy收斂準則收斂準則 ,na單調有界單調有界,nb收斂收斂, 當當 n N 時時, ,對對 正整數正整數 p,有有 .n pkk nb -Abel引理條件引理條件(ii) 由由Abel引理得，引理得，.n pkkk na b 由由Cauchy收斂準則得，級數收斂準則得，級數anbn收斂收斂.例例:若級數若級數nu收斂，收斂，(0),1nnpuupnn都都收收斂斂. .對對 0， N 0, 3MP24Ex. 2(1)定理定理12.16 (Dirichlet判別法判別法)(ii)bn的部分和數列有界的部分和數列有界, 級數級數anbn收斂收斂. .證證 nb1nnnkb 部分和

12、數列部分和數列有界有界, , M 0,0,使使|,nM 對對 n, p+,(i)an單調遞減單調遞減, ,且且 lim0,nna12| |nnn pn pnbbb nalim0,nna又又單調遞減單調遞減, 且且0, 對對,NnN當當時時 有有 2.M由由Abel引理得，引理得，11|nnn pn pabab3 2M 由由Cauchy收斂準則得，級數收斂準則得，級數anbn收斂收斂.6M. |.na :( )( ):nnnniaa biibTh Abel單單調調有有界界收收斂斂判判別別法法收收斂斂-Abel引理條件引理條件(i)-Abel引理條件引理條件(ii) :( )( ):nnnniaa

13、 biibTh Abel單單調調有有界界收收斂斂判判別別法法收收斂斂:lim0:( )( )nnnnnnaDirichletiaa biibTh判判別別法法收收斂斂數數單單減減, ,部部分分和和界界列列有有例例3 3 若數列若數列an具有性質具有性質: :12,lim0,nnnaaaasincos(0,2 )nnanxanxx 和和對對任任何何都收斂都收斂.12sincos)2nkxkx證證 3sinsin22xx53+sinsin+22xx 11sin()sin()22nxnx1sin()2nx sin,2x112sincossin()sin()222%xkxkxkxsin2x1(2(0,2

14、 ),sin0,2xx 當當時時11sin(1/ 2)cos.22sin(/ 2)nknxkxx(0,2 ),x 當當時時cosnx的部分和有界的部分和有界cos.nDirichletanx由由判判別別法法得得, ,收收斂斂sin.nanx同同證證收收斂斂例例3 3 若數列若數列an具有性質具有性質: :12,lim0,nnnaaaasincos(0,2 )nnanxanxx 和和對對任任何何都收斂都收斂.sincos.nxnxnn和和都都收收斂斂(0,2 )x 對對，特例：特例：例例4 級數級數21sin( 1)nnnn收斂但不絕對收斂收斂但不絕對收斂. 解解 21sin( 1)nnnn21

15、co2%s2sinnn 111cos2( 1)( 1)2nnnnnn11( 1),nnn收收斂斂1cos2( 1)nnnn1cos(2)nnn (3)收收斂斂 例例收收斂斂21sin( 1)nnnn絕對值級數絕對值級數211sin11 cos2()2nnnnnnn111cos2,(3),nnnnn發發散散收收斂斂 例例 結結論論發發散散. .21sin( 1)nnnn為條件收斂為條件收斂. P24Ex. 2(2)(3)【小結】三、三、Abel判別法和判別法和Dirichlet判別法判別法一、交錯級數收斂性一、交錯級數收斂性 二、絕對收斂級數及其性質二、絕對收斂級數及其性質(萊布尼茨判別法萊布尼茨判別法) : :(-1)n+1un(i) nu單單減減(ii)lim0nnu級數級數(-1)(-1)n+1un收斂收斂.1.定義：定義：級數級數| |un| |收斂收斂.2.性質性質(1)| |un| |收斂收斂 un收斂收斂(2)絕對收斂級數可以重排，和不變絕對收斂級數可以重排，和不變(3)絕對收斂級數的積絕對收斂絕對收斂級數的積絕