1、張齊華的“平均數(shù)”一課 概念為本的教學(xué)作者:北京教育學(xué)院 劉加霞 學(xué)生如何學(xué)習(xí)平均數(shù)這一重要概念呢?傳統(tǒng)教學(xué)側(cè)重于對所給數(shù)據(jù)(有時甚至是沒有任何統(tǒng)計意義的抽象數(shù))計算其平均數(shù)，即側(cè)重于從算法的水平理解平均數(shù)，這容易將平均數(shù)的學(xué)習(xí)演變?yōu)橐环N簡單的技能學(xué)習(xí)，忽略平均數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義。因此，新課程標(biāo)準(zhǔn)特別強調(diào)從統(tǒng)計學(xué)的角度來理解平均數(shù)。然而什么是“從統(tǒng)計學(xué)的角度”理解平均 數(shù)?在教學(xué)中如何落實?如何將算法水平的理解與統(tǒng)計學(xué)水平的理解整合起來?如何將平均數(shù)作為一個概念來教?下面以張齊華老師執(zhí)教的“平均數(shù)”一課為例研究教學(xué)實踐中 如何解決上述問題。 將平均數(shù)作為一個重要概念來教，重點是要解決三個問題：為什

2、么學(xué)習(xí)平均數(shù)?平均數(shù)這個概念的本質(zhì)以及性質(zhì)是什么?現(xiàn)實生活、工作等方面是怎樣運用平均數(shù)的?張齊華老師執(zhí)教的“平均數(shù)”一課正是從這三方面，并依據(jù)學(xué)生的認知特點和生活經(jīng)驗實現(xiàn)從概念的角度理解平均數(shù)。 一、“概念為本”教學(xué)的核心：為什么學(xué)習(xí)平均數(shù) 1憑直覺體驗平均數(shù)的“代表性”。 平均數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義是它能刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)(雖然碰巧可能等于某個原始數(shù)據(jù))，但又與每一個原始數(shù)據(jù)相關(guān)，代表這組數(shù)據(jù)的平均水平。要對兩組數(shù)據(jù)的總體水平進行比較，就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因為平均數(shù)具有良好的代表性，不僅便于比較，而且公平。 在張老師的課上，導(dǎo)人部分的問題1分鐘

3、投籃挑戰(zhàn)賽雖然簡單，但易于引發(fā)學(xué)生對平均數(shù)的“代表性”的理解：是用一次投籃投中的個數(shù)來代表整體水平還是用 幾次投籃中的某一次投中個數(shù)來代表整體水平呢?抑或是用幾次投籃的總數(shù)來代表整體水平呢? 由于教師所選擇的幾組數(shù)據(jù)經(jīng)過精心設(shè)計，同時各組數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式伴隨著教師的追問，使學(xué)生很好地理解了平均數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義。這些數(shù)據(jù)并不是一組一組地同時呈 現(xiàn)，然后讓學(xué)生分別計算其平均數(shù)，而是動態(tài)呈現(xiàn)，并伴隨教師的追問，以落實研究每一組數(shù)據(jù)的教學(xué)目標(biāo)。例如，先呈現(xiàn)小強第一次投中5個，然后追問：“小強對這一成績似乎不太滿意，覺得好像沒有發(fā)揮出自己的真實水平，想再投兩次。如果你是張老師，你會同意他的要求嗎?”這樣就使

4、學(xué)生直覺體驗到由于隨機誤差的原因僅用一次的數(shù)據(jù)很難代表整體的水平，因此再給他兩次投籃的機會。而小強的投籃水平非常穩(wěn)定，三次都是5個。三次數(shù)據(jù)都是“5”，這是教師精心設(shè)計的，核心是讓學(xué)生憑直覺體驗平均數(shù)的代表性，避免了學(xué)生不會計算平均數(shù)的尷尬。同樣道理，第二組數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式仍然先呈現(xiàn)一個，伴隨教師的追問：“如果你是小林，會就這樣結(jié)束嗎?”這讓學(xué)生體驗一次數(shù)據(jù)，很難代表整體水平，但3、5、4到底哪個數(shù)據(jù)能代表小林的水平呢?教師設(shè)計這些活動的核心是讓學(xué)生體驗平均數(shù)的代表性。 2兩種計算方法的背后仍強化概念理解。 雖然會計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是重要的技能，但過多的、單純的練習(xí)容易變成純粹的技能訓(xùn)練，妨礙

5、學(xué)生體會平均數(shù)在數(shù)據(jù)處理過程中的價值。計算平均數(shù)有兩種方法，每種方法的教育價值各有側(cè)重點，其核心都是強化對平均數(shù)意義的理解，非僅僅計算出結(jié)果。 在張老師的課上，利用直觀形象的象形統(tǒng)計圖(條形統(tǒng)計圖也可以)，通過動態(tài)的“割補”來呈現(xiàn)“移多補少”的過程，為理解平均數(shù)所表 示的均勻水平提供感性支撐。首先兩次在直觀水平上通過“移多補少”求得平均數(shù)，而不是先通過計算求平均數(shù)。這樣做，強化平均數(shù)“勻乎、勻乎”的產(chǎn)生過程，是對平均數(shù)能刻畫一組數(shù)據(jù)的整體水平的進一步直觀理解，避免學(xué)生原有思維定勢的影響，即淡化學(xué)生對“平均分”的認識，強化對平均數(shù)意義而非算法的理解。 如何讓學(xué)生理解平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水

6、平，而不是平均分后某個體所獲得的結(jié)呆呢?平均數(shù)與平均分既有聯(lián)系更有區(qū)別，雖然二者的計算過程相同，但不同于前面所學(xué)的“平均分”，二者計算過程相同但各自的意義不同。從問題解決角度看，“平均分”有兩層含義：一是已知總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)是多少；二是已知總數(shù)和每份數(shù)，求有這樣的多少份，強調(diào)的是除法運算的意義，解決的是“單位量”與“單位個數(shù)”的問題。而平均數(shù)則反映全部數(shù)據(jù)的整體水平，目的是比較兩組數(shù)據(jù)的整體水平，強化統(tǒng)計學(xué)意義，數(shù)據(jù)的“個數(shù)”不同于前面所說的“份數(shù)”，是根據(jù)需要所選擇的“樣本”的個數(shù)。 因此張老師的教學(xué)中沒有單純地求平均數(shù)的練習(xí)，而是將學(xué)習(xí)平均數(shù)放在完整的統(tǒng)計活動中，在描述數(shù)據(jù)、進行整體水

7、平對比的過程中深化“平均數(shù)是一種統(tǒng)計量”的本 質(zhì)，實現(xiàn)從統(tǒng)計學(xué)的角度學(xué)習(xí)平均數(shù)。例如，張老師在通過兩種方法求出平均數(shù)之后，一再追問：“哪個數(shù)是哪幾個數(shù)的平均數(shù)呢?”“這里的平均數(shù)4能代表小剛第一次投中的個數(shù)嗎?”“能代表小剛第二次、第三次投中的個數(shù)嗎?”“那它究竟代表的是哪一次的個數(shù)?”通過這樣的追問，強化平均數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義。當(dāng)然，如果在此現(xiàn)實問題中出現(xiàn)平均數(shù)是小數(shù)的情形更有助于學(xué)生理解平均數(shù)只刻畫整體水平而不是真正的其中某一次投中的個數(shù)(投中的個數(shù)怎么會是小數(shù)呢?不強調(diào)小數(shù)的意義，只出現(xiàn)簡單小數(shù)，例如35個)，即有人所說的“平均數(shù)是一個虛幻的數(shù)”。學(xué)生對此理解需要比較長的“過程”，不是一節(jié)課

8、就能達成的。 二、“概念為本”教學(xué)的深化：進一步理解平均數(shù)的本質(zhì)及性質(zhì) 初步認識了平均數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義后，張老師仍然進一步設(shè)計活動讓學(xué)生借助于具體問題、具體數(shù)據(jù)初步理解平均數(shù)的性質(zhì)，豐富學(xué)生對平均數(shù)的理解，也為學(xué)生靈活解決有關(guān)平均數(shù)的問題提供知識和方法上的支持。算術(shù)平均數(shù)有如下性質(zhì)： 1一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)易受這組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)據(jù)的影響，“稍有風(fēng)吹草動”就能帶來平均數(shù)的變化”，即敏感性。 2一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)介于這組數(shù)據(jù)的最小值與最大值之間。 3一組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)與算術(shù)平均數(shù)之差(稱為離均差)的總和等于0，即： 其中xi總是原始數(shù)據(jù)，x是這組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。 4給一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)加上一個常數(shù)C，

9、則所得到的新數(shù)組的平均數(shù)為原來數(shù)組的平均數(shù)加上常數(shù)C。 5一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)乘上一個常數(shù)C，則所得到的新數(shù)組的平均數(shù)為原來數(shù)組的平均數(shù)乘常數(shù)C。 這些抽象的性質(zhì)如何讓小學(xué)生理解呢?張老師仍然是在巧妙的數(shù)據(jù)設(shè)計以及適時的把握本質(zhì)的追問中讓學(xué)生進一步深化對平均數(shù)性質(zhì)的認識。數(shù)據(jù)設(shè)計的巧妙主要體現(xiàn)在： 首先，在統(tǒng)計張老師自己的投球水平時，張老師“搞特殊”，可以投四次。基于前面學(xué)生對平均數(shù)的初步感知，學(xué)生認可用老師四次投中個數(shù)的平均數(shù)來代表老師的整體水平，但張老師在第四次投中多少個球上大做文章：前三次的平均數(shù)是5，那么老師肯定是并列第一了?一組數(shù)據(jù)中前三個數(shù)據(jù)大小不變，只是第四個數(shù)據(jù)發(fā)生變化，會導(dǎo)致

10、平均數(shù)產(chǎn)生什么樣的變化呢?在疑問與困惑(當(dāng)然有很多學(xué)生是“清醒”的)中，教師首先出示了“極端數(shù)據(jù)二”(1個球)，進一步深化學(xué)生對平均數(shù)代表性的理解，初步體驗平均數(shù)的敏感性。 其次，假設(shè)張老師第四次投中5個、9個，張老師1分鐘投球的平均數(shù)分別是多少?根據(jù)統(tǒng)計圖直觀估計、計算或者根據(jù)平均數(shù)的意義進行推理都能求出平均數(shù)，多種方 法求解發(fā)揮了學(xué)生的才智，使學(xué)生的潛能得以發(fā)揮，體驗成功感進而體驗創(chuàng)造學(xué)習(xí)的樂趣。 再次，將張老師1分鐘投球的三幅統(tǒng)計圖同時呈現(xiàn)，讓學(xué)生對比分析、獨立思考再小組討論。由于三幅統(tǒng)計圖中前三個數(shù)據(jù)相同，只有第四個數(shù)據(jù)不同，學(xué)生能夠進一步 理解平均數(shù)的敏感性：任何一個數(shù)據(jù)的風(fēng)吹草動，

11、都會使平均數(shù)發(fā)生變化。學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)總是介于最小的數(shù)與最大的數(shù)之間：多的要移一些補給少的，最后平均數(shù)當(dāng)然要比最大的小比最小的大了。學(xué)生還發(fā)現(xiàn)：“總數(shù)每增加4，平均數(shù)并不增加4，而是只增加1。”教師適時追問：“要是這里的每一個數(shù)都增加4，平均數(shù)又會增加多少呢?還會是1嗎?” 再進一步觀察三幅統(tǒng)計圖中的第一幅圖，教師迫問：比較一下超過平均數(shù)的部分與不到平均數(shù)的部分，你發(fā)現(xiàn)了什么? 生：超過的部分和不到的部分一樣多，都是3個。 師：會不會只是一種巧合呢?讓我們趕緊再來看看另兩幅圖吧? 通過進一步觀察其他幾幅統(tǒng)計圖，學(xué)生真正理解了并用自己形象生動的語言描述出：“就像山峰與山谷樣。把山峰切下來，填到山谷

12、里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。” 在上述問題情境中，以“問題”為導(dǎo)向，借助于直觀的統(tǒng)計圖以及學(xué)生的估計或者計算，學(xué)生思維上、情感上經(jīng)歷一籌莫展、若有所思、茅塞頓開、悠然心會的過程，對平均數(shù)的意義以及性質(zhì)都有了深切的體會。 有前述對平均數(shù)意義以及性質(zhì)的了解，學(xué)生是否真正理解了平均數(shù)的概念呢?敘述出概念的定義或者會計算不等于真正理解某個概念，還要看能否在不同情境中運用概念。由于平均數(shù)這個概念對小學(xué)生而言是非常抽象的(如前所說，它是“虛幻的數(shù)”，學(xué)生不能具體看到)，平均數(shù)的背景也很復(fù)雜，如果學(xué)生能在稍復(fù)雜的背景下運用平均數(shù)的概念解決問題，說明學(xué)生初步理解了平

13、均數(shù)。 因此，張老師設(shè)計了四個復(fù)雜程度不同的問題，即“紙帶平均長短”“球員平均身高”“平均水深”“平均壽命”，這四個問題中的平均數(shù)的復(fù)雜程度不同。 前兩個問題中的平均數(shù)比較簡單，數(shù)據(jù)的個數(shù)都是有限個，而且又有直觀圖形做理解上的支撐，因此前兩個問題是簡單應(yīng)用平均數(shù)的性質(zhì)離差之和為零，即有比平均數(shù)大的數(shù)據(jù)就一定有比平均數(shù)小的數(shù)據(jù)。學(xué)生可以借助于直觀圖形以及計算求出這兩個問題中的平均數(shù)。在“紙帶”問題中數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式不同于前面，是橫向呈現(xiàn)，但平均數(shù)的意義不變，淡化呈現(xiàn)形式強化意義理解，為學(xué)生理解平均數(shù)提供另一視角。“球員平均身高”問題不是讓學(xué)生計算球員的平均身高而是讓學(xué)生借助平均數(shù)的性質(zhì)進行推理判斷

14、，并通過學(xué)生熟悉的中國男子籃球隊隊員的平均身高以及姚明的特殊身高深化對平均數(shù)的理解。 最后兩個情境的平均數(shù)是比較復(fù)雜的，是以樣本的平均數(shù)代替總體的平均數(shù)。例如，平均水深到底是什么意思呢?可以是隨機選取有限個點，測量這些點到水底的距離，再求這些距離的平均數(shù)作為池塘平均水深的代表值。同樣，2008年中國男性的平均壽命也是通過計算樣本的平均年齡來表示全體中國男性的平均年齡。 真正理解這些平均數(shù)的意義對小學(xué)生而言有難度。因此，張老師在教學(xué)中呈現(xiàn)子池塘的截面圖，并標(biāo)注出五個距離，將復(fù)雜的問題簡單化，使學(xué)生仍能借助于平均數(shù)的性 質(zhì)理解冬冬下水游泳仍有危險。通過平均數(shù)意義的強化，使學(xué)生能從數(shù)學(xué)的角度解釋是否

15、有危險，避免學(xué)生從其他角度解釋。在解釋男性平均壽命問題中，借助于學(xué)生親人的年齡這樣的特殊而具體的數(shù)據(jù)，來理解平均壽命是71歲不等于每個男人都活到71歲。但不是所有的學(xué)生都能借助于前面所學(xué)平均數(shù)的意義和性質(zhì)來解釋這些問題，學(xué)生很難真正理解這兩個情境下的平均數(shù)的意義。 三、引發(fā)話題：培養(yǎng)學(xué)生的“統(tǒng)計概念”還是“數(shù)據(jù)分析概念” 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)中明確提出，學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計與概率內(nèi)容的重要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計觀念。那么，統(tǒng)計觀念的內(nèi)涵是什么?是否能夠培養(yǎng)小學(xué)生的統(tǒng)計觀念? 我們培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)該是“統(tǒng)計觀念”還是“數(shù)據(jù)分析觀念”? M克萊因在其著作西方文化中的數(shù)學(xué)一書中談到：宇宙是有規(guī)律、有秩序的，還是

16、其行為僅僅是偶然的、雜亂無章的呢人們對這些問題卻有種種不同的解釋，其中主要有兩類答案：其一是18世紀(jì)形成的決定論觀，認為這個世界是一個有序的世界，數(shù)學(xué)定律能明白無誤地揭示這個世界的規(guī)律。直至目前，這種決定論的哲學(xué)觀仍然統(tǒng)治 著很多人的思想，支配著他們的信仰并指導(dǎo)其行動。但是這種哲學(xué)觀受到了19世紀(jì)以來概率論、統(tǒng)計學(xué)的猛烈沖擊，形成了一種新的世界觀，即概率論觀或統(tǒng)計論觀，它認為自然界是混亂的、不可預(yù)測的，自然界的定律不過是對無序事件的平均效應(yīng)所進行的方便的、暫時的描述。這就是眾所周知的用統(tǒng)計觀點看世界。陳希孺先生說：“統(tǒng)計規(guī)律的教育意義是看問題不可絕對化。習(xí)慣于從統(tǒng)計規(guī)律看問題的人在思想上不會偏

17、執(zhí)一端，他既認識到一種事物從總的方面看有其一定的規(guī)律性，也承認存在例外的個案，二者看似矛盾，其實并行不悖，反映了世界的多樣性和復(fù)雜性。如果世界上的一切都被鐵板釘釘?shù)囊?guī)律所支配，那么我們的生活將變得何等的單調(diào)乏味。” 統(tǒng)計觀念實際上是人的一種世界觀，是對人、生存空間甚至宇宙特點的看法，大多數(shù)成人仍堅守著決定論的觀點，形成統(tǒng)計觀點非常難。因此有研究者提出培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù) 據(jù)分析觀念”比較切合學(xué)生的認知現(xiàn)實和教育現(xiàn)實。即認為數(shù)據(jù)分析觀念包括：了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會數(shù)據(jù)中是蘊涵信息的；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通