1、習(xí)題三答案3.1一質(zhì)量為，邊長(zhǎng)為的等邊三角形薄板，求繞垂直于薄板平面并通過其頂點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解1：三角形的頂點(diǎn)與質(zhì)心的距離為，設(shè)所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，垂直于薄板平面并通過其質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，利用平行軸定理，。 Y X取直角坐標(biāo)系原點(diǎn)位于轉(zhuǎn)軸與邊的交點(diǎn)，三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于處，等邊三角形薄板的面密度為，通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由于該積分區(qū)域是對(duì)軸對(duì)稱的，積分區(qū)間從到，的積分區(qū)間從到(單位均為L(zhǎng))。將上述積分化為，其中， ， 是由于積分號(hào)內(nèi)的單位被提出 令 所以： 解2：在薄板平面內(nèi)取直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)即為通過轉(zhuǎn)軸的三角形頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別位于，如下圖所示。 Y X則而由于該積分區(qū)域是對(duì)軸對(duì)稱的

2、，積分區(qū)間從到，的積分區(qū)間從到(單位均為L(zhǎng))。上述積分化為3.2一質(zhì)量為、半徑為的均勻球體，求對(duì)于通過球心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解： 3.3一個(gè)輪子裝在固定軸上，整個(gè)系統(tǒng)無摩擦地自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一條質(zhì)量可忽略的帶子纏繞在軸上，并以已知恒定的力拉之，以測(cè)定輪軸系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。當(dāng)帶子松開的長(zhǎng)度為L(zhǎng)時(shí)，系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：外力做功為，帶子松開的長(zhǎng)度為L(zhǎng)時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能為，所以3.4質(zhì)量為長(zhǎng)為的均質(zhì)桿，其B端水平的放在桌上，A端用手支住，問在突然撒手的瞬時(shí)，(1)繞B點(diǎn)的力矩和角加速度各是多少？(2)桿的質(zhì)心加速度是多少？解：(1)繞B點(diǎn)的力矩由重力產(chǎn)生，設(shè)桿的線密度為，則繞B點(diǎn)的力矩為 桿繞B

3、點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 角加速度為 (2)桿的質(zhì)心加速度為 3.6 飛輪的質(zhì)量為60kg，直徑為0.50m，轉(zhuǎn)速為1000r/min，現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動(dòng)，求制動(dòng)力F。假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上。尺寸如圖所示。解：設(shè)在飛輪接觸點(diǎn)上所需要的壓力為，則摩擦力為，摩擦力的力矩為，在制動(dòng)過程中，摩擦力的力矩不變，而角動(dòng)量由變化到0，所以由 有 解得。由桿的平衡條件得 。3.7 如圖所示，兩物體1和2的質(zhì)量分別為與，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為。如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速度及繩中的張力與(設(shè)繩子與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng))； 如物體2與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加

4、速度及繩中的張力與。 解：先做受力分析，物體1受到重力和繩的張力，對(duì)于滑輪，受到張力和，對(duì)于物體2，在水平方向上受到摩擦力和張力，分別列出方程 通過上面三個(gè)方程，可分別解出三個(gè)未知量， 在的解答中，取即得， ，。3.8 電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=50kg·m2的系統(tǒng)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在0.5s內(nèi)由靜止開始最后達(dá)到120r/min的轉(zhuǎn)速。假定在這一過程中轉(zhuǎn)速是均勻增加的，求電動(dòng)機(jī)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)施加的力矩。解：由于轉(zhuǎn)速是均勻增加的，所以角加速度為從而力矩為3.9 求題3.6中制動(dòng)力矩在制動(dòng)過程中所作的功。解：制動(dòng)力矩在制動(dòng)過程中所作的功等于系統(tǒng)動(dòng)能的變化 本題也可以先求出摩擦力做功的距離以及摩擦

5、力的大小來求解。3.10 一飛輪直徑為0.30m，質(zhì)量為5.00kg，邊緣繞有繩子，現(xiàn)用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻的加速，經(jīng)0.50s轉(zhuǎn)速達(dá)到10r/s。假定飛輪可看作實(shí)心圓柱體，求：飛輪的角加速度及在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；拉力及拉力所作的功；從拉動(dòng)后t=10s時(shí)飛輪的角速度及輪邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。解： 飛輪的角加速度為 轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為 飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ， 所以，拉力的大小為 拉力做功為 從拉動(dòng)后t=10s時(shí)，輪角速度為 輪邊緣上一點(diǎn)的速度為 輪邊緣上一點(diǎn)的加速度為 。3.11 彈簧、定滑輪和物體的連接如圖3.11所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0N m-1；定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是0.5kg

6、 m2，半徑為0.30m，問當(dāng)6.0kg質(zhì)量的物體落下0.40m時(shí)，它的速率為多大？假設(shè)開始時(shí)物體靜止而彈簧無伸長(zhǎng)。解：當(dāng)物體落下0.40m時(shí)，物體減少的勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈簧的勢(shì)能、物體的動(dòng)能和滑輪的動(dòng)能， 即 ， 將，代入，得 3.12 一均勻鉛球從高為，與水平面夾角為的固定斜面頂上由靜止無滑動(dòng)地滾下，求滾到底端時(shí)球心的速度。試用下述幾種方法求解：(1)轉(zhuǎn)動(dòng)定理，以球和斜面的接觸點(diǎn)為瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸；(2)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理；(3)機(jī)械能守恒定律；(4)角動(dòng)量定理。圖3.12 無滑移滾動(dòng)的鉛球解 鉛球的受力如圖3.12所示，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，質(zhì)心沿斜面平移運(yùn)動(dòng)的方程為繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為 ，因?yàn)槭菬o滑移的滾動(dòng)，有

7、 消去，我們有 ， 即 ，滾到底端時(shí)球心的速度為 3.13 質(zhì)量為m、半徑為R的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m0的子彈以速度v0射入輪緣(如題3-13圖所示方向)。(1)開始時(shí)輪是靜止的，在子彈打入后輪的角速度為何值？(2)用m,m0和表示系統(tǒng)包括輪和子彈最后動(dòng)能和初始動(dòng)能之比。 v0 m0 解：由角動(dòng)量守恒定律有 ，3.14 在自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤上，站一質(zhì)量為的人。圓盤的半徑為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，角速度為。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統(tǒng)動(dòng)能的變化。解：系統(tǒng)的角動(dòng)量在整個(gè)過程中保持不變。人在盤邊時(shí)，角動(dòng)量為 人走到盤心時(shí)角動(dòng)量為 因此 人在盤邊和在盤心

8、時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能分別為，系統(tǒng)動(dòng)能增加 3.15 在半徑為，質(zhì)量為的靜止水平圓盤上，站一質(zhì)量為的人。圓盤可無摩擦地繞通過圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)這人開始沿著與圓盤同心，半徑為的圓周勻速地走動(dòng)時(shí)，設(shè)他相對(duì)于圓盤的速度為，問圓盤將以多大的角速度旋轉(zhuǎn)？解：整個(gè)體系的角動(dòng)量保持為零，設(shè)人勻速地走動(dòng)時(shí)圓盤的角速度為，則 解得 3.16 如題3.16圖示，轉(zhuǎn)臺(tái)繞中心豎直軸以角速度作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=5×10-5 kg·m2。現(xiàn)有砂粒以1g/s的速度落到轉(zhuǎn)臺(tái)，并粘在臺(tái)面形成一半徑=0.1m的圓。試求砂粒落到轉(zhuǎn)臺(tái)，使轉(zhuǎn)臺(tái)角速度變?yōu)樗ǖ臅r(shí)間。解：要使轉(zhuǎn)臺(tái)角速度變?yōu)椋捎谏傲Ｂ湎聲r(shí)不

9、能改變體系角動(dòng)量，所以必須要使體系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加倍才行，即 。將和代入得所以 3.17 一質(zhì)子從遠(yuǎn)處射向一帶電量為的重核，但沒有瞄準(zhǔn)，偏離了一個(gè)距離叫做散射參量，如習(xí)題3.17圖所示。質(zhì)子的動(dòng)能為，重核的質(zhì)量非常大，可以略去其反沖能量，即可以把重核看作是靜止的。求質(zhì)子能接近重核的最近距離。解：設(shè)質(zhì)子在離核最近處，速度為。分別列出體系的角動(dòng)量守恒方程和能量守恒方程由得，代入能量守恒方程得，由于，因而 。3.18 一脈沖星質(zhì)量為1.5×1030kg，半徑為20km。自旋轉(zhuǎn)速為2.1 r/s，并且以1.0×10-15r/s的變化率減慢。問它的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能以多大的變化率減小？如果這一變化

10、率保持不變，這個(gè)脈沖星經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間就會(huì)停止自旋？設(shè)脈沖星可看作勻質(zhì)球體。解：脈沖星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的變化率為 由，得停止自旋所需要的時(shí)間為單位時(shí)間內(nèi)，能量的變化百分比為：因此，停止自旋所需要的時(shí)間為？3.19 兩滑冰運(yùn)動(dòng)員，質(zhì)量分別為MA=60kg，MB=70kg，它們的速率VA=7m/s，VB=6m/s，在相距1.5m的兩平行線上相向而行，當(dāng)兩者最接近時(shí)，便拉起手來，開始繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng)并保持兩者間的距離為1.5m。求該瞬時(shí)：系統(tǒng)的總角動(dòng)量；系統(tǒng)的角速度；兩人拉手前、后的總動(dòng)能。這一過程中能量是否守恒，為什么？解：設(shè)兩滑冰運(yùn)動(dòng)員拉手后，兩人相距為，兩人與質(zhì)心距離分別為和，則

11、 ， 兩人拉手前系統(tǒng)總角動(dòng)量為 設(shè)兩人拉手后系統(tǒng)的角速度為，由于兩人拉手后系統(tǒng)角動(dòng)量不變 所以， 兩人拉手前總動(dòng)能為： 拉手后，由于整個(gè)體系的動(dòng)量保持為零，所以體系動(dòng)能為 所以體系動(dòng)能保持守恒。可以算出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，體系能量守恒，否則能量會(huì)減小，且 3.20一長(zhǎng)=0.40m的均勻木棒，質(zhì)量M=1.00kg，可繞水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)棒自然地豎直懸垂。現(xiàn)有質(zhì)量m=8g的子彈以v=200m/s的速率從A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為，如圖。求：棒開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度；棒的最大偏轉(zhuǎn)角。解：系統(tǒng)繞桿的懸掛點(diǎn)的角動(dòng)量為 子彈射入后，整個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 由角動(dòng)量守恒有 子彈射入后，且桿仍然垂直時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為

12、 當(dāng)桿轉(zhuǎn)至最大偏轉(zhuǎn)角時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能為零，勢(shì)能的增加量為 由機(jī)械能守恒， 得 。 3.21 一根均勻細(xì)棒的下端放在光滑的水平面上，上端受一豎直向上的力，棒這時(shí)是靜止的，如圖所示當(dāng)力撤去后棒就會(huì)下落到地面上，則它下落的方式是(A) 點(diǎn)不動(dòng) (B)中點(diǎn)豎直下落，(C)點(diǎn)豎直下落 (D)條件不足不能確定 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，當(dāng)力撤去后，棒的質(zhì)心在重力作用下豎直下落。B3.22 壓路機(jī)的滾筒可近似地看作一個(gè)直徑為D的圓柱形薄壁圓筒如習(xí)題3.22 圖，設(shè)滾筒的直徑D=1.50m，質(zhì)量為10噸，如果水平牽引力F為20000N，使它在地面上作純滾動(dòng)。求：滾筒的角加速度和軸心的加速度；摩擦力；從靜止開始走了1m時(shí)，

13、滾筒的轉(zhuǎn)動(dòng) 動(dòng)能與平動(dòng)動(dòng)能。解： 采用瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸法，通過滾筒與地面接觸點(diǎn)的軸，摩擦力無力矩，只有水平牽引力有力矩，所以注意利用平行軸定理計(jì)算滾筒對(duì)地面接觸點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ， 軸心的加速度為 在水平方向上滾筒受到水平牽引力和摩擦力的作用，由牛頓第二定律，摩擦力為 由于整個(gè)體系做勻加速運(yùn)動(dòng)，走了一米后，滾筒的速度為 其平動(dòng)動(dòng)能為 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為 3.23 如圖所示，一圓柱體質(zhì)量為，長(zhǎng)為，半徑為，用兩根輕軟的繩子對(duì)稱地繞在圓柱兩端，兩繩的另一端分別系在天花板上。現(xiàn)將圓柱體從靜止釋放，試求：它向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的線加速度；向下加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩繩的張力。解： 采用瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸法，以繩和圓柱體的接觸點(diǎn)為瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸，繩的張力無

14、力矩，所以 ， 向下加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓柱體豎直方向受到向下的重力，以及繩子的拉力，所以 ， 。3.24半徑為30cm的輪子，裝在一根長(zhǎng)為40cm的軸的中部，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)，輪和軸的質(zhì)量共5kg，系統(tǒng)的回轉(zhuǎn)半徑為25cm，軸的一端A用一根鏈條掛起，如果原來軸在水平位置，并使輪子以的自旋角速度旋轉(zhuǎn)，方向如圖所示，求：該輪自轉(zhuǎn)的角動(dòng)量；作用于軸上的外力矩；系統(tǒng)的進(jìn)動(dòng)角速度，并判斷進(jìn)動(dòng)方向。 解：本題屬于進(jìn)動(dòng)問題。(1)因?yàn)檩嗇S系統(tǒng)的回轉(zhuǎn)半徑為，所以其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，自轉(zhuǎn)角動(dòng)量為(2)輪軸系統(tǒng)對(duì)A點(diǎn)的力矩為：(3)進(jìn)動(dòng)的角速度為，進(jìn)動(dòng)的方向俯視為逆時(shí)針方向。3.25 繞有電纜的大木軸，質(zhì)量為1000kg，繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為300kg·m2。如圖所示：=1.00m，=0.40m。假定大木軸與地面間無相對(duì)滑動(dòng)，當(dāng)用F=9800N的水平拉力拉電纜的一端時(shí)，問：輪子將怎樣運(yùn)動(dòng)？軸心的加速度是多大？摩擦力是多大？摩擦系數(shù)至少為多大時(shí)才能保證無相對(duì)滑動(dòng)？如果力F與水平方向夾角為見圖(b)，而仍要使木軸向前加速且與地面無相對(duì)滑動(dòng)，問最大不能超過多少