1、第一部分：有理數的綜合復習一、知識點總結： 1什么叫做有理數?答：“整數和分數統稱為有理數”為了進一步理解有理數概念的內涵，有理數是形如的數，其中m，n都是整數且n02數軸的三要素是什么?如何利用數軸上的點表示有理數?3什么叫做相反數?互為相反數的兩個數有什么特征?4什么叫做一個數的絕對值?有理數的絕對值有什么性質?5如何比較兩個有理數的大小?6有理數的加法、減法、乘法、除法的運算法則是什么?7乘方的意義和運算法則分別是什么?8如何正確進行有理數的混合運算?(用筆算和用計算器算)9什么叫做近似數和有效數字?如何用科學記數法表示數?10你能舉出有理數在實際應用中的2至3個實例嗎?11有理數集有哪

2、些性質?答：有理數集具有以下的性質：(1)四則運算的封閉性在有理數的集合里，任何兩個有理數的加、減、乘、除四種運算(除數不是零) 總可以進行(2)有理數集的順序性有理數集合是一個有序體，任何兩個有理數總可以比較大小(3)有理數集的稠密性不論a，b是怎樣兩個相異的有理數(a<b)，在a，b之間總存在無數多個有理數.12在本章的學習過程中，運用了哪些數學思想?答：在有理數這一章的學習過程中，主要運用了以下三種數學思想(1)數形結合的思想用數軸上的點來表示有理數，利用數與點的對應，有利于把抽象的數的概念、性質及數量關系用幾何圖形直觀地表示，反過來，數軸上點與點之間的位置關系又對應著有理數的概念

3、和運算利用數形結合，可以使所要研究的問題化難為易，化繁為簡(2)轉化的思想在有理數一章的學習中，處處體現將所要研究和解決的問題變為已經學過的問題來處理特別是有理數的減法法則，除法法則集中體現這個思想(3)分類討論的思想無論是有理數的絕對值、有理數的大小比較還是有理數四則運算法則都要將研究對象所有的各種情況分別研究，得出相應的結論在給出分類的標準下，能將研究的對象不重不漏地加以分析、研究，對提高我們的思維能力是十分重要的二、有理數的加減運算重點、難點提示：1注意掌握有理數的加法法則，會使用運算律簡算，并能解決簡單的實際問題。2注意掌握有理數的減法法則，認識減法與加法的內在聯系，合理運算。3進一步

4、鞏固有理數加、減法法則的運算，能熟練地將加減混合運算，理解運算符號和性質符號的意 義，運用加法運算律合理簡算，并會解決簡單的實際問題。三、核心內容及例題選講： (一)、有理數的加法1有理數加法法則有三條： (1)同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；(2)絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對 值，互為相反數的兩個數相加得0。(3)一個數同0相加，仍得這個數。例1計算下列各題(1)(+2)+(+7)= +( 2+7)=+9；(即2+7=9) (-2)+(-7)= -(2+7)=-9(2)(-4)+(+7)= +(7-4)=+3；(+4)+(-

5、7)= -(7-4)=-3； (-4)+(+4)= 0(3)5+0=5； -5+0=-5； 0+0=02注意事項： (1)有理數加法法則是進行有理數加法的根本依據，它也是人為規定的。不過這個規定不僅符合實際，并回答了過去用算術計算方法不能解決的某些問題，而且這個規定(有理數加法法則)與算術里的加法法則不矛盾。(2)由于任何一個有理數都是由它的符號和絕對值兩部分組成的，因此有理數加法法則的敘述中，都是強調先確定和的符號，再計算和的絕對值。這樣在進行加法運算時，必須先判斷兩個加數的符號，是同號?是異號?或是有一個加數為零，從而來確定用哪一條法則進行計算。(3)在算式中一定要分清表示數的正、負的性質

6、符號和表示加法運算的運算符號，并用括號分開。如：(-2)+(+5)、(+2)+(-5)、(-2)+(-5)等。(4)可以證明，加法的交換律，加法的結合律在有理數范圍內仍然成立，因此，利用有理數加法的運算律，有時可使計算簡化。例2計算下列各題。(1)；(2)；(3)；(4)分析：計算有理數的加法時，要仔細弄清各個加數的特征，依據法則，先確定和的符號，再求出和的絕對值。解：(1). 還可以這樣算： .(2).(3).(4).例3計算(1)(2)解：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7) =(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(-0.7)+(+

7、3.1)+(+0.8) =-(2.4+4.2+3.8+0.7)+(3.1+0.8) =(-11.1)+(+3.9)=-(11.1-3.9)=-7.2. 還可以這樣算： (-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(3.1)+(0.8)+(-0.7) =(-2.4)+(+3.1)+(-0.7)+(-3.8)+(0.8)+(-4.2) =0+(-3)+(-4.2)=-7.2.(2) .小結：利用有理數的加法運算律，可使計算簡化，一般可考慮以下幾點：把相加得零的數結合；把相加得整數的數結合；分數相加時，同分母分數結合；把符號相同的數結合。(二)、有理數的減法1已知兩個有理數的和及其中一個加數，求另一個

8、加數的運算叫做有理數的減法由于有理數的減法是加法的逆運算，因此，求兩個有理數的差，依據定義可轉化為有理數的加法例如計算(-2)-(-7)解：設(-2)-(-7)=x，則x+(-7)=-2(想一想：什么數加上(-7)等于-2呢?) (+5)+(-7)=-2， x=5即(-2)-(-7)=5雖然利用有理數的減法是加法的逆運算的關系，可以求出給定的兩個有理數的差，但是計算的過程比較復雜，能不能想一個辦法使計算過程簡化呢?在算式(-2)-(-7)中，我們注意到-(-7)又表示為-7的相反數+7，而(-2)與(+7)的和恰好為+5，因此有(-2)-(-7)=(-2)+(+7)=+52有理數減法的運算法則

9、：減去一個數，等于加上這個數的相反數例1計算：(1)(+5)-(+9) (2)(+5)-(-9)(3)(-5)-(+9) (4)(-5)-(-9)(5)0-9 (6)9-0分析：應依據有理數減法的運算法則進行計算解：(1)(+5)-(+9)=(+5)+(-9)=-4；(2)(+5)-(-9)=(+5)+(+9)=+14；(3)(-5)-(+9)=(-5)+(-9)=-14；(4)(-5)-(-9)=(-5)+(+9)=+4；(5)0-9=o+(-9)=-9；(6)9-0=9+0=9注意：(1)依據有理數減法法則進行減法運算的關鍵是如何正確地根據法則將減法轉變為加法，再按有理數的加法法則計算，特

10、別是這里有兩個符號的變化，即將運算符號“-”(減號)變為“+”(加號)的同時，改變減數的性質符號(使減數變成它的相反數)(2)雖然有理數減法的意義與算術中減法的意義相同，但它們的性質卻截然不同例2計算：(-72)-19-65解法1：(-72)-19-65=(-72)+(-19)-65=(-91)-65=(-91)+(-65)=-156解法2：(-72)-19-65=(-72)-(19+65)=(-72)-84=(-72)+(-84)=-156解法3：(-72)-19-65=(-72)+(-19)+(-65)=-(72+19+65)=-156注意：(1)在進行計算的過程中，一定要分清“+”、“-

11、”號在每個式子中是表示運算的加、減符號，還是表示數的正、負的性質符號(2)請比較本題三種解法，選出最好的一種例3分別求數軸上a、b兩點間的距離ab(1)(2)分析：求數軸上兩點間的距離就是求這兩點所表示的有理數之差的絕對值解：(1)ab=|3.2-(-4.6)|=|3.2+4.6|=|7.8|=7.8；(2)小結：一般地，若數軸上a、b兩點分別表示的數為a，b，則a、b兩點的距離ab=|b-a|例4若|x-3|=2，求x解法1：|x-3|=2， x-3=2或x-3=-2 x=2+3，或x=-2+3 x=5，或x=1答：x=5或x=1解法2：設在數軸上，a點表示3，b點表示x，則|x-3|=2表

12、示b點到a點的距離是2 可是在數軸表示數x的點b到表示數3的點a距離為2的點有兩個， 它們分別是1和5對應的點、， x=1或x=5(三)、有理數加減法的實際問題例1某檢修小組乘汽車沿公路檢修線路，約定前進為正，后退為負，某天自a地出發到收工時所走路線(單位：千米)為：+10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，+5。(1)問收工時距a地多遠?(2)若每千米路程耗油0.2升，問從a地出發到收工時共耗油多少升?分析：(1)求收工時距a地多遠，應求出己知10個有理數的和，若和為正數，則此和是在a地前面距a地的路程；若和為負數，則此和的絕對值是在a地后面距a地的路程。(2)要求耗油量，

13、需求出汽車共行走的路程，即求各數的絕對值之和，然后乘以0.2升即可。解：(1)(+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(-8)+(+13)+(-2)+(+12)+(+8)+(+5) =+2+(2)+(-8)+(+8)+(+10+4+13+12+5)+(-3) =0+0+44+(-3) =41(千米)；(2)(|+10|+|-3|+|+4|+|+2|+|-8|+|+13|+|-21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2 =67×0.2=13.4(升)答：收工時在a地前面41千米，從a地出發到收工時共耗油13.4升。例2股民老王上星期五買進某公司股票1000股，每股27

14、元，下表為本周內每天該股票的漲跌情況(單位：元)星期一二三四五每星期漲跌+3+5.5-1-3.5-5(1)星期三收盤時，每股是多少元?(2)本周內最高價是每股多少元?最低價是每股多少元?(3)已知老王買進股票時付了1.5的手續費，賣出時需付成交額1.5的手續費和1的交易稅，如果 老王在星期五收益時將全部股票賣出，他的收益情況如何?解：（1）27+(+3)+(5.5)+(-1)=34.5（元） 答：星期三收盤時，每股是34.5元（2）本周內最高股價為：27+(+3)+(+5.5)=35.5 （元） 最低股價為：27+(+3)+(+5.5)+(-1)+(-3.5)+(-5)=26 （元） 答：本周

15、內最高價是每股為：35.5元，最低價每股26元（3）周五的股價是：27+(+3)+(+5.5)+(-1)+(-3.5)+(-5)=26 （元） 老王上周五買進股票時共付金額：27×1000+27×1000×1.5=27040.5（元） 本周五收盤時老王擁有金額： 26×1000-26×1000×(1.5+1) =2600-2600× =26000-65 =25935(元) 老王的收益：25935-27040.5=-1105.5（元） 答： 如果老王在星期五收盤時把全部股票賣出，他將虧損1105.5元。(四)、有理數的加減運算

16、練習： 1、選擇題：（1）下列各式：(+8)+(-10)=-2， (-6)+(-2)=-8， (-6)+(+5)=-11， 其中正確的個數是( )。a、1 b、2 c、3 d、4（2）下列計算中，結果等于3的是( )。a、|-8|+|+5| b、(-8)+(+5) c、|-7|+(-4) d、(-7)+|-4|（3）要使兩個有理數的和小于每一個加數，只要( )。a、這兩個加數一正一負，且負數的絕對值大。b、這兩個加數都是負數c、這兩個加數中，至少有一個數是負數d、這兩個加數中，有一個是零（4）若|m|+m=0，則( )。a、m0 b、m0 c、m0 d、m02、計算下列各題(1)(2)(3)(

17、4)3、10箱蘋果，如果每箱以20千米為準，超過的千克數記作正數，不足的千克數記作負數。稱量的記錄如下：+2，+1，0，-1，-1.5，-2，+1，-1，-1，-0.5這10箱蘋果的總質量是多少千克?參考答案：1、c（，正確）；c； b； c2、(1)0 (2) (3) (4)3、解：20×10+2+1+0+(-1)+(-1.5)+(-2)+1+(-1)+(-1)+(-0.5)=197(千克) 答：這十箱蘋果的總質量是197千克。四、科學記數法和近似數掌握科學記數法的形式和要點，能按照要求使用科學記數法，理解有效數字，近似數的意義，能按照要求進行近似計算。(一)、情境創設的引入_ _

18、觀察的特點，你發現了什么規律：的特點是1后面有n個0，共有n+1位?！跋纫婇W電，后聞雷聲”，這個現象的解釋是：光的傳播速度大約為300000000m/s，而聲音在常溫下的傳播速度大約為340m/s?？梢姽獾乃俣却蟠罂煊诼曇舻乃俣取?二)、探索知識日常生活中我們還會遇到一些特別大的數，如有人體中大約有25000000000000個紅細胞。全世界人口大約是6100000000人地球的陸地面積約為149000000千米2地球的海洋面積約為361000000千米2算一算5000000×5000000可以發現一些足夠大的數在讀、寫、算都不方便，根據的特點，我們可以這樣來表示這些較大的數。300

19、000000=3×100000000=3×25000000000000=2.5×10000000000000=2.5×一般地，一個大于10的數可以寫成的形式，其中1a10，n是正整數，這種記數方法稱為科學記數法。(scientific notation) 例1、1972年3月發射的“先驅者10號”是人類發往太陽系外的第一艘人造太空探測器，至2003年2月人們最后一次收到它發回的信號時，它已飛離地球12200000000km，用科學記數法表示。解答：例2、用科學記數法表示下列各數：(1)400320 (2)1000000 (3)-726.4 (4) 解答：

20、(1) (2) (3) (4)例3、下列各數的原數是多少?(1) (2) (3) (4)解答：(1)12500 (2)-303 (3)300000 (4)-4237.8例4、一天有秒，一年有365天，一年有多少秒?(用科學記數法表示)解答：秒(三)、隨堂練習1、用科學記數法表示(1)696000 (2)-1230 (3)10000 (4)解答： (2) (3) (4)2、太陽的直徑約為1390000千米，用科學記數法表示為( )a、千米 b、千米 c、米 d、米解答：d3、2003年6月1日零時，三峽大壩正式下閘蓄水，到上午9時，只留3個導流底孔，保持至少3410秒的下泄流量，維持下游航運及發

21、電的基本運行。自6月1日上午9時起，預計24小時流過的水量至少為_米3。(用科學記數法表示)解答：五、近似數及有效數字近似地表示某一個量準確值的數叫做這個量準確值的近似數一個近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位，這時從左邊第一個不是零的數字起，到精確的數位止，所有的數字都叫做這個近似數的有效數字例1把下面的數分別四舍五入保留三個有效數字，并用科學記數法表示(1)24739000 (2)-35972解：(1)2473900024700000(2)-35972-36000注意：(其中1a10，n為正整數)中，n為該整數的位數減去1像近似數-36000中保留三個有效數字，寫成科學記數

22、法時，一定要寫成，不能寫成第二部分：有理數知識點梳理安徽李慶社一、有理數的意義1、 正數和負數知識點1 負數的引入正數和負數是根據實際需要而產生的，隨著社會的發展，小學學過的自然數、分數和小數已不能滿足實際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數量，怎樣表示它們呢？我們把一種意義的量規定為正的，把另一種和它意義相反的的量規定為負的，這樣就產生了正數和負數。用正數和負數表示具有相反意義的量時，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習慣把“前進、上升、收入、零上溫度”等規定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規定為負。知識點

23、2 正數和負數的概念（1） 像3、1.5、584等大于0的數，叫做正數，在小學學過的數，除0以外都是正數，正數比0大。（2） 像3、1.5、584等在正數前面加“”(讀作負)號的數，叫做負數。負數比0小。（3） 零即不是正數也不是負數，零是正數和負數的分界。注意：（1）為了強調，正數前面有時也可以加上“”（讀作正）號，例如：3、1.5、也可以寫作3、1.5、。（2）對于正數和負數的概念，不能簡單理解為：帶“”號的數是正數，帶“”號的數是負數。例如：a一定是負數嗎？答案是不一定。因為字母a可以表示任意的數，若a表示的是正數，則a是負數；若a表示的是0，則a仍是0；當a表示負數時，a就不是負數了（

24、此時a是正數）。知識點3 有理數的有關概念（1） 有理數：整數和分數統稱為有理數。注：（1）有時為了研究的需要，整數也可以看作是分母為1的數，這時的分數包括整數。但是本講中的分數不包括分母是1的分數。 （2）因為分數與有限小數和無限循環小數可以互化，上述小數都可以用分數來表示，所以我們把有限小數和無限循環小數都看作分數。 （3）“0”即不是正數，也不是負數，但“0”是整數。（2） 整數包括正整數、零、負整數。例如：1、2、3、0、1、2、3等等。（3） 分數包括正分數和負分數，例如：、0.6、0.6等等。知識點4 有理數的分類（1） 按整數、分數的關系分類：（2） 按正數、負數與0的關系分類：

25、注 通常把正數和0統稱為非負數，負數和0統稱為非正數，正整數和0稱為非負整數（也叫做自然數），負整數和0統稱為非正整數。如果用字母表示數，則a>0表明a是正數；a<0表明a是負數；a0表明a是非負數；a0表明a是非正數。2、 數軸數軸是理解有理數概念與運算的重要工具，數與表示數的圖形（如數軸）相結合的思想是學習數學的重要思想。正如華羅庚教授詩云： 數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直覺，形少數是難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離！數與形的第一次聯姻數軸，使數與直線上的點之間建立了對應關系，揭示了數與形的內在聯系，并由此成為

26、數形結合的基礎。知識點1 數軸的概念規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸數軸的定義包含三層含義：一，數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；二，數軸有三要素原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；三，原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據實際需要“規定”的（通常取向右為正方向）。6543210123456知識點2 數軸的畫法（1）畫一條直線（一般畫成水平的直線）。（2）在直線上選取一點為原點，并用這點表示零（在原點下面標上“0”）。（3）確定正方向（一般規定向右為正），用箭頭表示出來。（4）選取適當的長度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1，2，3；從

27、原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1，2，3注 （1）原點的位置、單位長度的大小可根據實際情況適當選取； （2）確定單位長度時，根據實際情況，有時也可以每隔兩個(或更多的)單位長度取一點，從原點向右，依次表示為2，4，6，；從原點向左，依次表示為2，4，6，； 知識點3 數軸上的點與有理數的關系所有的有理數都可以用數軸上的點表示。正有理數可以用原點右邊的點表示，負有理數可以用原點左邊的點表示，零用原點表示。知識點4 利用數軸比較有理數的大小在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。正數都大于0；負數都小于0；正數大于一切負數。3、相反數知識點1 相反數的概念（1）相反數的幾何定義

28、：在數軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相反數。如下圖，4與4互為相反數，與互為相反數。（2）相反數的代數定義：只有符號不同的兩個數（除了符號不同以外完全相同），我們說其中一個是另一個的相反數，0的相反數是0。知識點2 相反數的表示方法一般地，數a的相反數是a。這里a表示任意的一個數，可以是正數、負數、或者0。知識點3 多重符號的化簡（1）在一個數的前面添上一個“”號，仍然與原數相同，如55，（5）5。（2）在一個數的前面添上一個“”號，就成為原數的相反數。如（3）就是3的相反數，因此，（3）3。4、絕對值知識點1 絕對值的概念（1）絕對值的幾何定義：一個數a的絕對值就

29、是數軸上表示數a的點與原點的距離，數a的絕對值記作“”（2）絕對值的代數定義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。即知識點2 兩個負數大小的比較因為兩個負數在數軸上的位置關系是：絕對值較大的負數一定在絕對值較小的負數的左邊，所以，兩個負數，絕對值大的反而小。比較兩個負數大小的方法是：一、先分別求出這兩個負數的絕對值；二、比較這兩個絕對值的大?。蝗?、根據“兩個負數，絕對值大的反而小”做出正確的判斷。知識點3 有理數大小的比較法則正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小。二、有理數的運算1、有理數的加法知識點1 有理數的加法把兩個

30、有理數合成一個有理數的運算叫做有理數的加法。相加的兩個有理數有以下幾種情況：（1）兩數都是正數；（2）兩數都是負數；（3）兩數異號，即一個是正數，一個是負數；（4）一個是正數，一個是0；（5）一個是負數，一個是0；（6）兩個都是0。知識點2 有理數加法法則（1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。（2）絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾档膬蓚€數相加得0。（3）一個數同0相加，仍得這個數。知識點3 有理數加法的運算定律（1）加法交換律：。（2）加法結合律：。2、有理數的減法知識點1 有理數減法的意義有理數減法的意義與小學學過

31、的減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算，叫做減法。減法是加法的逆運算。知識點2 有理數減法法則減去一個數，等于加上這個數的相反數，即3、有理數的加減混合運算知識點1 有理數加減法統一成加法的意義對于有理數的加減混合運算中的減法，可以根據有理數減法法則將減法轉化為加法。這樣一來，就將原來的混合運算統一為加法運算。統一成加法以后的式子是幾個正數或負數的和的形式，有時，我們把這樣的式子叫做代數和。知識點2 有理數加減混合運算的方法一、運用減法法則將有理數混合運算中的減法轉化為加法。二、運用加法法則、加法交換律、加法結合律簡便運算。4、有理數的乘法知識點1 有理數乘法法則兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數同0相乘，都得0。知識點2 有理數乘法法則的推廣（1）幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決