1、1導數與微分一、隱函數的導數一、隱函數的導數定義定義: :.)(稱稱為為隱隱函函數數由由方方程程所所確確定定的的函函數數xyy .)(形形式式稱稱為為顯顯函函數數xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數的顯化隱函數的顯化問題問題:隱函數不易顯化或不能顯化如何求導隱函數不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數求導法則隱函數求導法則: :用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.2導數與微分例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的導導數數所所確確定定的的隱隱函函數數求求由由方方程程解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解

2、得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 3導數與微分例例2 2.,)23,23(,333線線通通過過原原點點在在該該點點的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程點點上上求求過過的的方方程程為為設設曲曲線線CCxyyxC 解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點顯然通過原點.4導數與微分例例3 3.)1 , 0(, 144處處的的

3、值值在在點點求求設設yyxyx 解解求求導導得得方方程程兩兩邊邊對對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求求導導得得兩兩邊邊再再對對將將方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy5導數與微分二、對數求導法二、對數求導法觀察函數觀察函數.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數先在方程兩邊取對數, 然后利用隱函數的求導方法求出導數然后利用隱函數的求導方法求出導數.-對數求導法對數求導法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數數多個

4、函數相乘和冪指函多個函數相乘和冪指函xvxu6導數與微分例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設設7導數與微分例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求設設等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得xxylnsinln 求求導導得得上上式式兩兩邊邊對對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 8導數與微分

5、一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 9導數與微分三、由參數方程所確定的函數的導數三、由參數方程所確定的函數的導數.,)()(定的函數定的函數稱此為由參數方程所確稱此為由參數方程所確間的函數關系間的函數關系與與確定確定若參數方程若參數方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數消去參數問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何

6、求導?t10導數與微分),()(1xttx 具有單調連續的反函數具有單調連續的反函數設函數設函數)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可導導再再設設函函數數由復合函數及反函數的求導法則得由復合函數及反函數的求導法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 11導數與微分,)()(二階可導二階可導若函數若函數 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即12導數與微分例例6

7、 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處處的的切切線線在在求求擺擺線線2)cos1()sin( ttayttax13導數與微分.),12(,2ayaxt 時時當當 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即14導數與微分例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮彈在時刻炮彈在時刻的運動方向的運動方向炮彈在時刻炮彈在時刻求求其運動方程為其運動方程為發射炮彈發射炮彈發射角發射角以初速度以初速度不計空氣的阻力不計空氣的阻力ttgttvytvxv

8、 xyovxvyv0v.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時刻的運動方向即時刻的運動方向即在在tt15導數與微分)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時刻沿時刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 16導數與微分例例

9、8 8解解.sincos33表示的函數的二階導數表示的函數的二階導數求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 17導數與微分四、相關變化率四、相關變化率.,)()(變化率稱為相關變化率變化率稱為相關變化率這樣兩個相互依賴的這樣兩個相互依賴的之間也存在一定關系之間也存在一定關系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關系之間存在某種關系與與而變量而變量都是可導函數都是可導函數及及設設dtdydtd

10、xyxtyytxx 相關變化率問題相關變化率問題: :已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?18導數與微分例例9 9解解?,500./140,500率率是是多多少少觀觀察察員員視視線線的的仰仰角角增增加加米米時時當當氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速速率率為為上上升升米米處處離離地地面面鉛鉛直直一一汽汽球球從從離離開開觀觀察察員員則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線其高度為其高度為秒后秒后設氣球上升設氣球上升, ht500tanh 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002

11、米米時時當當h)/(14. 0分分弧弧度度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米50019導數與微分例例1010解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小時時上上升升幾幾米米米米時時問問水水深深的的水水槽槽頂頂角角為為米米形形狀狀是是長長為為水水庫庫秒秒的的體體流流量量流流入入水水庫庫中中米米河河水水以以則則水庫內水量為水庫內水量為水深為水深為設時刻設時刻),(),(tVtht234000)(htV 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhhdtdV 38000,/288003小小時時米米 dtdV小小時時米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604

12、000m,20米米時時當當 h20導數與微分五、小結五、小結隱函數求導法則隱函數求導法則: : 直接對方程兩邊求導直接對方程兩邊求導;對數求導法對數求導法: : 對方程兩邊取對數對方程兩邊取對數,按隱函數的求導法則求導按隱函數的求導法則求導;參數方程求導參數方程求導: 實質上是利用復合函數求導法則實質上是利用復合函數求導法則;相關變化率相關變化率: : 通過函數關系確定兩個相互依賴的變化率通過函數關系確定兩個相互依賴的變化率; ; 解法解法: : 通過建立兩通過建立兩者之間的關系者之間的關系, , 用鏈式求導法求解用鏈式求導法求解. .21導數與微分思考題思考題設設 )()(tytx ，由由)

13、()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，對對嗎嗎？22導數與微分思考題解答思考題解答不對不對 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 23導數與微分一、一、 填空題：填空題：1 1、 設設01552223 yxyyxx確定了確定了y是是x的函的函數，則數，則)1 , 1(dxdy=_=_， 22dxyd_._.2 2、 曲線曲線733 xyyx在點在點（1 1，2 2）處的切線方程）處的切線方程是是_._.3 3、 曲線曲線 ttyttxsincos在在2 t處的法線方程處的法線方程_._.4 4、 已知已知 teytexttsincos, ,則則dxdy

14、=_=_；3 tdxdy=_.=_.5 5、 設設yxexy , ,則則dxdy=_.=_.練練 習習 題題24導數與微分二二、 求求下下列列方方程程所所確確定定的的隱隱函函數數 y y 的的二二階階導導數數22dxyd：1 1、 yxey 1；2 2、 )tan(yxy ；3 3、 yxxy )00( yx，. .三三、 用用對對數數求求導導法法則則求求下下列列函函數數的的導導數數：1 1、 2xxy ；2 2、 54)1()3(2 xxxy；3 3、 xexxy 1sin. .25導數與微分四、四、 求下列參數方程所確定的函數的二階導數求下列參數方程所確定的函數的二階導數22dxyd：1

15、1、 tbytaxsincos ；2 2、 )()()(tftf tytfx 設設)(tf 存在且不為零存在且不為零 . .五、五、 求由參數方程求由參數方程 ttytxarctan)1ln(2所確定的函數的所確定的函數的 三階導數三階導數33dxyd . .六、設六、設)(xf滿足滿足xxfxf3)1(2)( ，求，求)(xf . .26導數與微分七、七、 在中午十二點正甲船的在中午十二點正甲船的 6 6 公里公里/ /小時的速率向小時的速率向東行駛，乙船在甲船之北東行駛，乙船在甲船之北 1616 公里，以公里，以 8 8 公里公里/ /小小時的速率向南行駛， 問下午一點正兩船相距的速時的速

16、率向南行駛， 問下午一點正兩船相距的速率為多少？率為多少？ 八、八、 水注入深水注入深8 8 米， 上頂直徑米， 上頂直徑8 8 米的正圓錐形容器中，米的正圓錐形容器中，其速率為每分鐘其速率為每分鐘 4 4 立方米，當水深為立方米，當水深為 5 5 米時，其米時，其表面上升的速率為多少？表面上升的速率為多少？ 27導數與微分一、一、1 1、34, ,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx； 2 2、02311 yx 3 3、022 yx； 4 4、32,sincoscossin tttt； 5 5、yxyxexye . .二、二、1 1、32)2()3(yyey ； 2 2、- -)(tan)(csc232yxcyx ； 3 3、