1、判別一個(gè)函數(shù) f (x) 在a, b上是否可積,就是判別3 可積條件的性質(zhì)（例如函數(shù)的有界性、連續(xù)性等）來判別01lim()niitifx 極限 是否存在. 在實(shí)際應(yīng)用中，直接按定義來判定是困難的. 我們希望由函數(shù)本身函數(shù)的可積性. 為此, 先給出可積準(zhǔn)則,并以此證明有界性是可積的必要條件而非充分條件, 連續(xù)性是可積的充分條件而非必要條件.定理定理9.1 ( (可積必有界）可積必有界）若函數(shù)若函數(shù) 在在 上可積，則上可積，則 在在 上必有界上必有界.ff,ba,ba證證 設(shè)設(shè).d)(jxxfba由定義由定義, 對(duì)對(duì)100,t,t只要無論只要無論11niiif () xj, 于是于是1, (1,

2、2, ),iiixxin 與如何選取 都有與如何選取 都有 1,. kkxx上無界 令上無界 令(),iiikgfx 1,kkkxx 故必存在滿足故必存在滿足11niiif () xjm. ().kkmgfx ( ) , f xa b倘若在上無界，倘若在上無界，,k則必有則必有( )f x使得在使得在于是于是1()niiifx 矛盾矛盾.以下例子告訴我們以下例子告訴我們, 有界性并不是可積的充分條有界性并不是可積的充分條件件. .()()kkiiikfxfx ,kkmgxgmx ,.:10bxxxatn稱為稱為 f 關(guān)于分割關(guān)于分割 t 的上和的上和, ,其中其中1( )niiis tmx1s

3、up( )|, ,1, 2,;iiimf xxxxin稱為稱為 f 關(guān)于分割關(guān)于分割 t 的下和的下和, ,其中其中1( )niiis tmx1inf( )|, ,1, 2,;iiimf xxxxin , ,fa b設(shè)在上有界設(shè)在上有界對(duì)任意分割對(duì)任意分割定義定義21(1, 2,),iiiiimminfxx 稱稱為為在在上上的的.振振幅幅定理定理9.3（可積準(zhǔn)則）（可積準(zhǔn)則）函數(shù)函數(shù) f 在在a, b上可積的充要上可積的充要條件是：條件是：0,t 分分割割使使11( )( )().nniiiiiiis ts tmmxx此定理將在本章第六節(jié)定理此定理將在本章第六節(jié)定理 9.15 中證明中證明.

4、. 在用它在用它振幅反映了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的變化范圍振幅反映了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的變化范圍, ,是一個(gè)與連是一個(gè)與連續(xù)性相關(guān)聯(lián)的概念續(xù)性相關(guān)聯(lián)的概念. .1 niiix 證明可積性問題時(shí)證明可積性問題時(shí), ,有多種方法可使有多種方法可使11.nniiiiixxba 常見的有三種方法常見的有三種方法, ,下面分別作出介紹下面分別作出介紹. .每個(gè)每個(gè)abi ，從而，從而第一種方法第一種方法: :, , .a bf例如 在上一致連續(xù)的,便屬于這種情形例如 在上一致連續(xù)的,便屬于這種情形定理定理9.4（連續(xù)必可積）（連續(xù)必可積）連續(xù)，則可積連續(xù)，則可積. .若若 , fa b在上在上 , fa b在上在上連續(xù)

5、連續(xù), ,從而從而一致連續(xù)一致連續(xù). .于于證證 , fa b在上在上 , a b在上在上()().f xf xba iiimm 1sup()(),iif xf xx xxx，,ab 從而從而11.nniiiiixxba 因此當(dāng)因此當(dāng) , a btt 上的分割滿足時(shí),上的分割滿足時(shí),0,0, , ,x xa b是是,xx 若則若則, , fa b例如在上單調(diào)時(shí),有例如在上單調(diào)時(shí),有1( )( ) ,niif bf a 1,niim 若若有有界界 即即對(duì)對(duì)任任意意分分割割第二種方法第二種方法: :11|.nniiiiixtmm |,tm 則當(dāng)時(shí)則當(dāng)時(shí)1,niim , fa b從從而而可可證證在在

6、上上可可積積. .定理定理9.5（單調(diào)必可積）（單調(diào)必可積） , , fa bfa b若是上的單調(diào)函數(shù),則在上可積.若是上的單調(diào)函數(shù),則在上可積.f證證 不妨設(shè)不妨設(shè)是非常值的增函數(shù)，則對(duì)任意分割是非常值的增函數(shù)，則對(duì)任意分割01:.,ntaxxxb1()(),1,2, ,iiif xf xin 于是于是 111()()( )( ).nniiiiif xf xf bf a 因此因此, ,若若,( )( )tf bf a 則則11nniiiiixt.)()()()( afbfafbf,iix 在在中中iix 而而在在中中，,)(2abi ,)(2mmxi ,iiiiiixxx若若第三種方法第三種

7、方法: :,1,2, .imm in 于是于是 iiiiiixxx )()(2)()(2mmmmabab . , ,mmfa b其中是在上的振幅 從而其中是在上的振幅 從而0, 取滿足取滿足0().2()bamm 定理定理9.6（有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)必可積）（有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)必可積）若若 , fa b在上在上有界有界, ,且只有有限多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，且只有有限多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，此時(shí)可用第三種方法證明此時(shí)可用第三種方法證明 f 可積可積. f 在在 a, b 上可積上可積.只有一個(gè)間斷點(diǎn)只有一個(gè)間斷點(diǎn), ,且為且為 b. .證證 不妨設(shè)不妨設(shè) , fa b在上在上 , fa b若 在上有界，且只有有限多個(gè)間斷點(diǎn)，則若 在上有界，且只有有限多個(gè)間斷點(diǎn)，則., ,fbb界 設(shè)在上的振幅為則界 設(shè)在上的振幅為則.2)(2)( mmmm,.:110 bxxxatn使使.2tiix 則存在分割則存在分割 ,f