1、第19講矩形、菱形與正方形、選擇題1.（2018上海）已知平行四邊形 abcd,下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是（b）a.c.z a = z b b. / a = / cac = bd d. ab bc2.（2018孝感）如圖,菱形abcd的對角線ac, bd相交于點o, ac = 10, bd = 24,則菱形abcd的周長為(a)a. 52 b. 48 c. 40 d. 20注 第2題圖第4題圖3. （2018重慶a卷）下列命題正確的是（d）a.平行四邊形的對角線互相垂直平分b.矩形的對角線互相垂直平分c.菱形的對角線互相平分且相等d.正方形的對角線互相垂直平分4. （2018

2、棗莊）如圖，在矩形 abcd中，點e是邊bc的中點，ae bd,垂足為點f,則tan / bde的值為(a)2112a.t 同 c3 d.3abcd各邊的中點，則四邊形5. （2018湘潭）如圖，已知點e、f、g、h分別是菱形efgh 是（b）a.正方形 b.矩形c.菱形 d.平行四邊形第5題圖e 06. （2018 瀘州）如圖，在正方形 abcd中，點e、f分別在邊 ad、cd上，af、be相交于點g ,若ae = 3ed , df=cf,則券的值是（c）gf4a.73b. c.7 d.7456使平行四邊形abcd是菱形.第7題圖口第8題圖9. （2018寧波）如圖,在菱形abcd中，ab

3、= 2, /b是銳角,aexbc于點e, m是、填空題7. （2018 龍東地區(qū)）如圖，在平行四邊形 abcd中，添加一個條件ab = bc（ac工bd或ac平分/ bad等）_,8. （2018北京）如圖，在矩形abcd中，e是邊ab的中點，連接de交對角線 ac于點f,若ab=4, ad = 3,則cf的長為_一33 1ab的中點，連接md, me.若/ emd = 90, cosb的值為_ 0 _10. 如圖，在矩形abcd中，ab = 3, ad = 5,點e為射線cd上一動點，沿be所在 直線折疊矩形，如果點c的對應點c恰好落在射線da上，那么此時線段 dc的長度為 或9 .11.

4、（2018江西）在正方形 abcd中，ab =6,連接ac , bd , p是正方形邊上或對角線 上一點，若pd=2ap,則ap的長為_2或2 j3或甲4 龍 .三、解答題12. (2018廣西)如圖，在？abcd中，ae bc , af cd ,垂足分別為點 e, f,且be = df.(1)求證：？abcd是菱形；(2)若 ab=5, ac =6,求？abcd 的面積.he c(1)證明：四邊形abcd是平行四邊形， ./ b= zd, aexbc, af cd , ./ aeb = / afd = 90, .be=df,aeba afd,，ab=ad, 平行四邊形 abcd是菱形；(2)

5、解：如解圖，連接bd交ac于點o.id區(qū)n e c 四邊形abcd是菱形，ac = 6, acxbd ,1 1 、， c cao = oc = 2ac = 2 * 6= 3，,. ab =5, ao = 3,bo=yjab2-ao2 =52 - 32 = 4,.bd = 2bo = 8,1八s平行四邊形abcd = ?ac . bd = 24.13.如圖，矩形abcd的對角線ac , bd相交于點。，點e, f在bd上，be=df.(1)求證：ae=cf;(2)若 ab =6, z cod = 60,求矩形 abcd 的面積.(1)證明：.四邊形 abcd 是矩形，. .oanoc, ob =

6、 od, ac = bd , /abc =90, .be=df,.oe=of,oa = oc在 aaoe 和 acof 中，/aoe=/cof oe=of,aoea cof(sas), . ae = cf;(2)解：-. oa = oc, ob = od, ac = bd, .oa = ob, . / aob = / cod = 60, . aob是等邊三角形， .-.oa = ab = 6, .-.ac = 2oa = 12,在 rtaabc 中，bc = ac2-ab2 = 673, .矩形 abcd 的面積=ab bc = 6x673 = 363.14. (2018玉林)如圖，在？abc

7、d 中，dcad,四個角的平分線 ae , de, bf, cf的交點分別是 e, f,過點e, f分別作dc與ab間的垂線mm與nn ,在dc與ab上的 垂足分別是m , n與m , n ,連接ef.(1)求證：四邊形 efnm是矩形；(2)已知：ae=4, de=3, dc = 9,求 ef 的長.證明：如解圖，過點e、f分別作ad、bc的垂線，垂足分另1j是點 g、h./3=/4, /1=/2, egxad , em cd, em ab ,一1.，eg=me = m e=2mm ,1,同理可得：fh = nf =n unn . cd/ab, mm cd, nn cd,mm = nn ,m

8、e= nf=eg=fh,又 mm / nn , mm cd;四邊形efnm是矩形；af n(2)解:dc/ab, ./ cda + / dab = 180,1 , _ / 3= j/cda ,1z2=-z dab ,. / 3+ z2=90 .在 rtdea, /ae =4, de = 3,，ad = q?+不=5.四邊形abcd是平行四邊形，z dab = z dcb ,1 1又2 = q/dab , z5=z dcb, / 2= z 5,由(1)知 ge=nf,在agea和anfc中，z2=z5,zega = zfnc = 90 ,ige=nf,geaa nfc, ag = cn,在 rt

9、a dme 和 rta dge 中， . de=de, me = eg,.a dmea dge ,dg= dm ,md + cn = dg + ag = ad = 5,mn = cd - dm - cn =9-5= 4. 四邊形efnm是矩形，ef=mn =4.15. (2018濰坊)如圖，點m是正方形 abcd邊cd上一點，連接am，作delam于點e, bfxam于點f,連接be.求證：ae = bf;(2)已知af = 2,四邊形abed的面積為24,求/ ebf的正弦值.(1)證明：四邊形abcd為正方形，ba=ad , z bad = 90 , dexam , bfxam ,z afb = 90 , z dea = 90 ,z abf + z baf = 90 , z ead + z baf = 90 ,z abf = z ead ,在aabf和adae中，( z bfa = z dea ,z abf = z ead ,i ab = da.abfa dae( aas),bf = ae ;(2)解:設 ae=x,則 bf