1、 第一章 一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限第三節(jié), )(xfy 對0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過程的六種形式:二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的極限 一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限1. 0 xx 時函數(shù)極限的定義時函數(shù)極限的定義引例引例. 測量正方形面積.面積為a )邊長為(真值:;0 x邊長面積2x直接觀測值間接觀測值任給精度 , 要求 ax2確定直接觀測值精度 :0 xx0 xax機動 目錄

2、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1 . 設函數(shù))(xf在點0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當00 xx時, 有 axf)(則稱常數(shù) a 為函數(shù))(xf當0 xx 時的極限,axfxx)(lim0或)()(0 xxaxf當即,0,0當),(0 xx時, 有若記作 axf)(axfxx)(lim0幾何解釋幾何解釋:0 x0 xaaax0 xy)(xfy 極限存在函數(shù)局部有界(p36定理2)這表明: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 證明)(lim0為常數(shù)cccxx證證:axf)(cc 0故,0對任意的,0當00 xx時 , 0cc因此ccxx0lim總有機動 目錄 上頁 下頁 返

3、回 結(jié)束 例例2. 證明1)12(lim1xx證證:axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2則當10 x時 , 必有1) 12()(xaxf因此,)( axf只要,21x1)12(lim1xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 證明211lim21xxx證證:axf)(2112xx21 x故,0取,當10 x時 , 必有2112xx因此211lim21xxx1 x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 證明: 當00 x證證:axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx時

4、00 xxxx故取,min00 xx則當00 xx時,00 xxx保證 .必有ox0 xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 保號性定理保號性定理定理定理1 . 若,)(lim0axfxx且 a 0 ,),(0時使當xx. 0)(xf)0)(xf證證: 已知,)(lim0axfxx即,0, ),(0 x當時, 有.)(axfa當 a 0 時, 取正數(shù),a則在對應的鄰域上. 0)(xf( 0)(a則存在( a 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x(p37定理3)0 x0 xaaax0 xy)(xfy )0(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 axfa)(:0a:0a若取,2a則在對應

5、的鄰域上 若,0)(lim0axfxx則存在使當時, 有.2)(axf推論推論:23)(2axfa2)(23axfa),(0 x, ),(0 x),(0 xx(p37 推論)0 x0 xaaax0 xy)(xfy 分析分析:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 2 . 若在0 x的某去心鄰域內(nèi)0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0axfxx則. 0a)0(a證證: 用反證法.則由定理 1,0 x的某去心鄰域 , 使在該鄰域內(nèi),0)(xf與已知所以假設不真, .0a(同樣可證0)(xf的情形)思考: 若定理 2 中的條件改為, 0)(xf是否必有?0a不能不能! 0lim20 xx

6、存在如 假設 a 0 , 條件矛盾,故時,當0)(xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 左極限與右極限左極限與右極限左極限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0當),(00 xxx時, 有.)( axf右極限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0當),(00 xxx時, 有.)( axf定理定理 3 .axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00( p38 題8 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 設函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時)(xf的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理 3 .因為)

7、(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxaaoxy)(xfy a二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限定義定義2 . 設函數(shù)xxf當)(大于某一正數(shù)時有定義,若,0x,)(,axfxx有時當則稱常數(shù)時的極限,axfx)(lim)()(xaxf當或幾何解釋幾何解釋:axfa)(xxxx或記作直線 y = a 為曲線)(xfy 的水平漸近線,0 xxf當)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 a 為函數(shù)例例6. 證明. 01li

8、mxx證證:01xx1取,1x,時當xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x即,1xoxyxy1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .10的水平漸近線為xyyx1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直線 y = a 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況兩種特殊情況 :axfx)(lim,0,0x當xx 時, 有 axf)(axfx)(lim,0,0x當xx時, 有 axf)(幾何意義幾何意義 :例如，都有水平漸近線;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平漸近線. 1y又如，oxyx21x21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限的或x定義及應用2. 函數(shù)極限的性質(zhì):保號性定理與左右極限等價定理思考與練習思考與練習1. 若極限)(lim0 xfxx存在,)()