1、第6章 中心力場 quantum mechanicsreviewreview微觀全同粒子具有不可分辨性，任何兩個(gè)粒子交換，量子態(tài)不變,第1頁全同粒子波函數(shù)，要么對稱（bose子），要么反對稱（fermi 子）。p表示對不同單粒子態(tài)的粒子進(jìn)行對換的置換。第6章 中心力場 quantum mechanics第2頁交換任意兩個(gè)粒子，等價(jià)于行列式中相應(yīng)兩列對調(diào)，由行列式性質(zhì)可知，行列式要變號，故是反對稱化波函數(shù)。pauli 不相容原理 不能有兩個(gè)全同的fermi子處在相同的狀態(tài)。第6章 中心力場 quantum mechanics第六章第六章 中心力場中心力場教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容第3頁1 中心力場中粒子運(yùn)

2、動(dòng)的 一般性質(zhì)2 無限深球方勢阱3 三維各向同性諧振子4 氫原子第6章 中心力場 quantum mechanics1 中心力場中粒子運(yùn)動(dòng)的中心力場中粒子運(yùn)動(dòng)的 一般性質(zhì)一般性質(zhì)一、角動(dòng)量守恒與徑向方程何謂中心力場 粒子的受力經(jīng)過某個(gè)固定的中心（力心），其勢能只是粒子到力心的距離r r的函數(shù)，即v (r)v (r)，為球?qū)ΨQ勢。（例如coulomb場）第4頁設(shè)質(zhì)量為的粒子在中心力場中運(yùn)動(dòng)，則哈密頓量算符表示為：經(jīng)典理論中，中心力場中運(yùn)動(dòng)粒子角動(dòng)量守恒，粒子運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)。第6章 中心力場 quantum mechanics對于勢能只與 r r 有關(guān)而與, , 無關(guān)的有心力場，使用球坐標(biāo)求解較為

3、方便。第5頁l, h = 0, l2, h = 0l l及l(fā)2均為守恒量22222221111()(sin)sinsinrrrrr 222222 lrr rr 徑向動(dòng)能離心勢能第6章 中心力場 quantum mechanics取體系(自由度3)的力學(xué)量完全集為第6頁2(, )zh ll求解中心力場中粒子的能量本征方程lllmlllyzlm,.1,.2 , 1 , 0),(),(2的共同本征態(tài)。是徑向方程可寫為： 第6章 中心力場 quantum mechanics求解方程時(shí)，可作以下替換，使得計(jì)算更方便，令： 第7頁不同中心力場v(r)，不同rl(r) （l(r)）；方程中沒有出現(xiàn)磁量子數(shù)m

4、，能量本征值e與m無關(guān)。與l有關(guān)，給定l，m有2l+1個(gè)取值，中心力場的簡并度一般為2l+1.選取對易守恒量完全集(h, l l2, lz)之后，同一能級的各簡并態(tài)就可標(biāo)記清楚。第6章 中心力場 quantum mechanics一定邊界條件下求解徑向方程，可求得能量本征值e及本征函數(shù)。非束縛態(tài)，e連續(xù)變化。束縛態(tài)，e取離散值。由于束縛態(tài)下邊界條件，出現(xiàn)徑向量子數(shù)nr, nr= 0, 1, 2, ，（代表波函數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)），e依賴于nr和l，記為enr l，l一定，e隨nr增大而增大。 nr一定，e隨l（離心勢能）增大而增大。光譜學(xué)習(xí)慣，把（l=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6）的態(tài)記為s,

5、 p, d, f, g, h, i.第8頁第6章 中心力場 quantum mechanics徑向波函數(shù)在徑向波函數(shù)在r0r0鄰鄰域內(nèi)的漸進(jìn)行為域內(nèi)的漸進(jìn)行為假定v(r) 滿足第9頁變?yōu)樵O(shè)當(dāng)r0，第6章 中心力場 quantum mechanics在任何體積元找到粒子的概率應(yīng)為有限值。當(dāng)r0， 若rl(r) 1/ra，要求a=1時(shí)， rl(r) r-(l+1)不滿足要求。l=0時(shí)， r0(r)y001/r，但此解并不滿足能量本征方程第10頁r0時(shí)，只有rl(r) rl是物理上可以接受的。等價(jià)地，要求徑向方程的一個(gè)定解條件。 第6章 中心力場 quantum mechanics兩體問題化為單體問

6、題兩體問題化為單體問題 實(shí)際碰到的中心力場問題，通常是兩體問題。兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和m2的粒子，相互作用v(|r r1-r r2|)=v(r)只依賴于相對距離。這個(gè)二粒子體系的能量本征方程,第11頁et為體系的總能量。引入質(zhì)心坐標(biāo)r和相對坐標(biāo)r 1xl+r1r2rr 2oyzi i 一個(gè)具有約化質(zhì)量的粒子在場中的運(yùn)動(dòng)一個(gè)具有約化質(zhì)量的粒子在場中的運(yùn)動(dòng) ii ii 二粒子作為一個(gè)整體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。二粒子作為一個(gè)整體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。 第6章 中心力場 quantum mechanics可以證明：第12頁證明：111xxxxxx x 112mmmxx 222xxxxxx x 第6章 中心力場 quantu

7、m mechanics第13頁1112;rmmm 2212rmmm 22121212112212221111rrmmmmmmmmmm 222212121111rmmm 以上結(jié)果帶入到兩粒子能量本征方程，第6章 中心力場 quantum mechanics分離變量第14頁描述質(zhì)心運(yùn)動(dòng)（自由粒子能量本征方程）平面波解描述相對運(yùn)動(dòng)， e 是相對運(yùn)動(dòng)能量（單粒子能量本征方程）兩體問題 單體問題第6章 中心力場 quantum mechanicsreview review 中心力場中粒子運(yùn)動(dòng)一般性質(zhì)中心力場中粒子運(yùn)動(dòng)一般性質(zhì)1. 中心力場 v(r) 球?qū)ΨQ勢2. 經(jīng)典力學(xué)中，角動(dòng)量守恒，平面運(yùn)動(dòng)3. 量

8、子力學(xué)中， l, h = 0, ll, h = 0, l2 2, h = 0, h = 0第15頁第6章 中心力場 quantum mechanics第16頁當(dāng)r0，r0時(shí)，只有rl(r) rl是物理上可以接受的。等價(jià)地，要求兩體問題化為單體問題 第6章 中心力場 quantum mechanics2 無限深球方勢阱無限深球方勢阱考慮質(zhì)量為的粒子在半徑為a的球形匣子中運(yùn)動(dòng)。這相當(dāng)于粒子在一個(gè)無限深球方勢阱中運(yùn)動(dòng)，(束縛態(tài))第17頁考慮s態(tài)（l=0）。徑向方程勢阱內(nèi)部，第6章 中心力場 quantum mechanics方程的解可以表示為 sin(kr)sin(kr)的形式，再根據(jù)r=ar=a處

9、的邊界條件，sin(ka)=0sin(ka)=0, 有第18頁粒子能量本征值為歸一化，第6章 中心力場 quantum mechanicsl0l0時(shí)，徑向方程為第19頁引入無量綱變量=kr, =kr, 球bessel方程，解可取為球bessel函數(shù)j jl l()()與球neumann 函數(shù) n nl l(), (), 00時(shí)時(shí)， 球方勢阱的解取為第6章 中心力場 quantum mechanics當(dāng)a取有限值時(shí)，k只能取一系列離散值，令jl()=0的根為第20頁粒子的能量本征值為相對應(yīng)的徑向本征函數(shù)為第6章 中心力場 quantum mechanicsl l n nr r01230 04.4

10、935.7676.9881 127.7259.09510.4172 2310.90412.32313.6983 3414.06615.51516.924第21頁10第6章 中心力場 quantum mechanicsa5. a5. 合流超幾何函數(shù)合流超幾何函數(shù)合流超幾何微分方程為第22頁，為參數(shù)。在z0鄰域，令y=zs, 可得第6章 中心力場 quantum mechanicss=0 時(shí)的級數(shù)解，第23頁要求方程左邊各次項(xiàng)為0，由此可得c0=1, 得出級數(shù)解，合流超幾何函數(shù)第6章 中心力場 quantum mechanics第24頁k, ck/ck-11/k，這與ez的冪級數(shù)展開系數(shù)比值一致，

11、s=1- 時(shí)級數(shù)解為第6章 中心力場 quantum mechanics3 三維各向同性諧振子三維各向同性諧振子質(zhì)量為的粒子在三維各向同性諧振子勢v(r) 中運(yùn)動(dòng)，第25頁是刻畫勢阱強(qiáng)度的參量。徑向方程為，r=0的鄰域，物理上可以接受的徑向波函數(shù)的漸近行為是r時(shí)，自然單位，=1第6章 中心力場 quantum mechanics束縛態(tài)邊界條件要求第26頁方程的解寫為化為合流超幾何方程。第6章 中心力場 quantum mechanics方程有兩個(gè)解，第27頁u2，是物理上不能接受的解。方程的解只能為無窮級數(shù)解合流超幾何函數(shù)第6章 中心力場 quantum mechanics要滿足束縛態(tài)邊條件，

12、要求f(,)f(,)中斷為 一個(gè)多項(xiàng)式。要求=0 or =0 or 負(fù)整數(shù)第28頁這就要求這就是三維各向同性諧振子的能量本征值。第6章 中心力場 quantum mechanics能級簡并度能級均勻分布，間隔。能級一般是簡并的，能量本征值只依賴于nr和l的特殊組合n=2nr+l.給定能級en, nr = 0, 1, 2, 3, ， (n-1)/2 or n/2 l = n - 2 nr = n, n-2, n-4, n-6, , 1(n奇) or 0(n偶)n偶時(shí)， 能級簡并度（n奇同樣結(jié)果）第29頁徑向波函數(shù)為歸一化后第6章 中心力場 quantum mechanics直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系采用直角坐標(biāo)系，三維各向同性諧振子可分解為相同的三個(gè)彼此獨(dú)立的一維諧振子第30頁本征函數(shù)可以分離變量，相當(dāng)于選取（hx, hy, hz）為對易守恒量完全集，共同本征態(tài)為第6章 中心力場 quantum mechanics相應(yīng)的能量本征值為第31頁能級簡并度給定 n， nx = 0, 1, 2, ，