1、5.3在曲線坐標(biāo)系中，在位置矢量 x =xi ii 處的自然協(xié)變和逆變基底矢量是 x 的矢量函數(shù)： ( );( )iiiirrxrrx（5.3-1） 當(dāng)位置矢量 x 處的張量在曲線坐標(biāo)系的自然基底上表示時（如 11rriiiiaarr。即需要確定： ），對張量的分析涉及到自然基底的導(dǎo)數(shù)jijixxrr;為書寫簡明，記： ;iiijijjjxx rrrr（5.3-2） 因為 ijr是矢量，且 ijr可以在協(xié)變基底上線性表示，因此有： ()kjijikrrrr（5.3-3） 式中 kijrr)(是矢量 ijr或稱為 rk 上的坐標(biāo)）。同理， 在協(xié)變基矢量rk上的線性表示系數(shù)（ijr也可以在逆變基底

2、上線性表示為： ()kj ij ikrrrr（5.3-4） 定義：();,()kki jjii jkjikki j ki j rrrr（5.3-5） 式中 ,ki ji jk稱為第一類和第二類christoffel符號。由chris- toffel符號，ijr矢量可表示為： kkj iijkijkrrr（5.3-6） 兩個基本關(guān)系：兩個基本關(guān)系：1 2 krkijijrgrijkijrkg（5.3-7a） （5.3-7b） 證：1 ()()kskskkj iij sijsij rrrr()()krkrkrkj iijrijrijrgrrrrrr rkijrkijg2 ()()rrj ikij

3、rkijrkgrrrr()()rrj ikijrkijrkijkrrrrrr rkrijijkg證畢。例9：證明：kikjijrr（5.3-8） 證： ()0;kkikjiirr ()0;()()0kkkjij iij r rrrrr()()kkskkijj iij sij rrrrr r()()kkklklijijlj iilj rrr rrr又 ;kkliikjljjkj rrrrchristoffel符號基本性質(zhì)：符號基本性質(zhì)：1 ;kkijkjikijji（5.3-9） 2 ,11();()22kkrijkjk iki jij kijjr iri jij rggggggg （5.3-1

4、0） 3 1(ln)kikiiggg （5.3-11） 證：1 22ij iijijijiijijxxxxxxxxx xxxxxrrr ()();()()kkkkijkj ikijkjikijj iijji rrrrrrrr2 ,()()()ij kkijk ijikjikjjkikijkjig r rrrrr同理有：,;2jk iijkikjki jjkijikjk iki jij kijkggggg )(21,kijjkiijkijkggg ijrkrkijg )(21,rijjriijrkrkijgggg3 g)(321rrrgkk)(321rrr12312312312312312312

5、3123213312123112312231323()() ()()()() ()()()()()()()()()kkkkiiik ik ik iiiik ikikikkk rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr123211321232133123312131223123123123()()()()()()kkkkkkkkkiikggggrrrrrrrrrrrrrrrrrr )(ln1gggkkiik對一般曲線坐標(biāo)系（5.3-6）和（5.3-8）式給出了協(xié)變基矢量和逆變基矢量的曲線坐標(biāo)偏導(dǎo)數(shù) 。當(dāng)曲線坐標(biāo)系是正交曲線坐標(biāo)系時。由于： ;(1,2,3)0;

6、()iiijiijrrr r因此有：1112111221222233123330;()()()()()()()ijijggijgghgghggh由（5.3-10）式得：,0;1;( ,)21;()2ijkkkkiiii kikkijii jijkggiki kggi 不求和不求和（5.3-12） （5.3-13） ,0;1;()21;()2ijkijkii kijijiiii jijkgikigi 不求和不求和將 ,kijkij當(dāng)i , j , k =1,2,3時的值用h1, h2, h3表示時有： i jk：333333222222111111323332233323313331133313

7、2322233222322122211222121311133111311211122111212133211323122311230hhhhhhhhhhhhhhhhhh（5.3-14） ki j：312213122331133221221112213211133112222112322223320()()()()h hhh hhh hhh hh （5.3-15） 1233311322333223111122112111113311312212112212221233223233131133133313223323()()()()()()()()h hhh hhhhhhhhhhhhhh （5.

8、3-15） 111111121222223133333()()()hhhhhh例10：試求柱坐標(biāo)：123cossinxrxrxz；（式中 zxxrx321,）的 ,ki jki j。解： 1231,1hhrh由（5.3-14）、（5.3-15）式得，除 12h的偏導(dǎo)數(shù)為1外，其余的偏導(dǎo)數(shù)均為零。 21212222120;,i jkhrij k 的其它取值12222122110;, ,ki jrri j k 的其它取值由（5.3-6）式： ;( ,1,2,3)kj iijki jrr得：1231111 111 211 311231112 112 221 3221231113 113 213 33

9、1xrxrxzrrrrrorrrrrrrrrrro1232221 121 221 3211232222 122 222 3221232223 123 223 331233331 131 231 311233332 132 232 3213333 131xrrrxxzxrxxz rrrrrrrrrrrrrrrrrorrrrrorrrrrorrr2333 233 3rro例11：試求球坐標(biāo)：123sincos;sinsin;cosxrxrxr（式中 123,xr xx）的 ki j。解： 122223121xxxhrrr1222222(sincossinsincos)112222312212222

10、22222coscoscossinsin)xxxhrrrr12222312312222222(sinsinsincos0)sinxxxhrrr由(5.3-154)式得，除 323121h、h、h偏導(dǎo)數(shù)分別為 1 sincosr、外，其余的偏導(dǎo)數(shù)均為零。 1122233223312211331233332332,sin1sincosctg0;( , , )kijrrri j k 的其它取值。 由（5.3-6）式：;( ,1,2,3)kj ii jki jrr得：1231111 111 211 311231112 112 221 3221231113 113 213 3331232221 121

11、221 3211232222 122 222 312223111xrxrxrxrrrxx rrrrrorrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr12323 123 223 331233331 131 231 3311233332 132 232 33212323333 133 233 3123ctg1ctgsinsincosxrrxrx rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr5.4在4.5中給出了標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系中的張量場分析。本節(jié)將在曲線坐標(biāo)中討論張量場的絕對微分和絕對導(dǎo)數(shù)。 一、曲線坐標(biāo)系中標(biāo)量場梯度一、曲線坐標(biāo)系中標(biāo)量場梯度設(shè) ),(321xxxf是曲線坐標(biāo) 321x、x

12、、x的標(biāo)量值函數(shù)。若記： 123(,)( )f xxxfx則 x在 x方向上增加 | x時，函數(shù)的增量為： )()(xxxff設(shè)l為曲線坐標(biāo)系中一單位矢量。且： | xx l 123123xxx xrrr123123;llllrrr |;(1,2,3)iixli x定義：|0()( )lim|xffflxxxx則：123123123123|01lim| 0 (|)|xffffffflllllllxxxxxxxxx ;(1,2,3)iili l r iifflxrl（5.4-1） 該式與 (2.4-20) 比較可知 ，該式就是曲線坐標(biāo)系中標(biāo)量場 )(xf沿l方向的方向?qū)?shù)。與（2.4-21）式對

13、應(yīng)的 （hami- lton）算符為： iiiixrr （5.4-2） 對任意 ),(321xxxf：iiffr （5.4-3） 稱為曲線坐標(biāo)系函數(shù) f 的梯度（或稱絕對導(dǎo)數(shù)）。()d ffdx （5.4-4） 稱為曲線坐標(biāo)系函數(shù) f 的絕對微分。例12：設(shè)o; i1, i2, i3是參考標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系。 123(,);(1,2,3)ix xxx是曲線坐標(biāo)。r 是位置矢量。即 r = xi ii 。試求 dr = ？ 解： iixri ()()()iiijmmijijijiijjjjjjddxxdxxxdxxxdxxdxdxxrirriiirr例13：證明：2( )nnrnrr 式中 ;iii

14、irrrr rrrr。證：12()()()()2nnniiiinrxxr rr rrr rr ()()()2iiiiijjijjiixxxrrr r rrrrrr rr rrrrr 22()()(2 )2nnininrrnrr rrr (5.4-2)式的 算符是一般曲線坐標(biāo)系的算符。對正交曲線坐標(biāo)系，由(5.2-14)式： 111222333|rrrrrrrrr將上述三個表達(dá)式代入（5.4-2）式得正交曲線坐系單位長度逆變基矢量表示的 算符為： 123123123312123123hxhxhxhxhxhx rrrrrr （5.4-5a） 123123123312123123xhxhxhxhxh

15、xhrrrrrr （5.4-5b） 又由（5.2-15）式：111111121212223131333|( )|()|()hhhrrrrrrrrrrrr例14：試證明：1柱坐標(biāo)： rzrrz rrr （5.4-6） 2球坐標(biāo)： sinrrrrz rrr （5.4-7） 證：1由例10可知： zxxrxhrhh321321;1;1 rzrrz rrr 2由例11可知： 321321;sin;1xxrxrhrhh sinrrrrz rrr 二、張量場的梯度和散度二、張量場的梯度和散度設(shè)a(x)是 r 階張量場。o; i1, i2, i3是參考標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系，x; r1, r2, r3和x; r 1

16、, r 2, r 3是曲線坐標(biāo) 123(,);(1,2,3)iixx xxxi的自然局部協(xié)變和逆變坐標(biāo)系。則： 111111()rrrrrriiiiiiiiiiiiaaaa xiirrrr定義：1112111111112111()()()()()()rrrrrrrrrrrrrrjjiijjiiiiijiijiiijiijiijjiiiijj iiiiijiij ixaaaaaa aarr rrrrrrr rrrr rrrr rrr rrr （5.4-8） 1112111111112111()()()()()()rrrrrrrrrrrrrrjjiijjiiiiijiijiiijiijiijjii

17、iijj iiiiijiij ixaaaaaa aarrr rrrr rrrrrrr rr rr rrrr r （5.4-9） 112112111()()()()()rrrrrrrjjiijijiiiijj iiiiijiij ixaaa aarrrrrrrrrrrrr （5.4-10） 1111121111()()()()()rrrrrrrrrjjiijjiiiiijj iiiiiijiij ixaaa aarrrrrr rrrrrrrr （5.4-11） ,;,a aa a 分別稱為 r 階張量 a的左梯度、右梯度；左散度和右散度。 對 r 階張量 a ，其梯度是 r +1階張量 ；其散度

18、是 r -1階張量。記： 1122()()rrrriijjiiiijjiiaa ar rrarr （5.4-12） 式中 )(1riija稱為 a 的絕對導(dǎo)數(shù)分量。 例15：試求二階張量左梯度、左散度和絕對導(dǎo)數(shù)分量。解：（a） ( )()()()()()()jjjmnjmnjmnjmnjmnjmnmnjmnjjmnmjinnjmijmnmnijmnijiijmnjmninmjminjaaaaaaaaaa ararr rr r rrrrr rrr r rr r rr r rr r r （b） ( )()()()()()()()jjjmnjm nmnjmnjmnjjm nj mnmj nmnmnj

19、imnimnmj innm imnminminmmnimnaaaaaaaaaa ararr rrr rrrrrrrrrr rrr （c） injmiimjinmnjmnjaaaa顯然： )()(jj例16：證明：0kijg證： jiijarrannkijkijmjikimjkaaaa mmkijkijmjikimjkgggg又 ,()()()ij kkijkijk ijikjikjjkigg r rrrrr由（5.3-7）式：jkiimmjkikjmjmikgg 0jkiikjjkiikjijkg例17：第四章例19中給出了標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系中小位移梯度的應(yīng)變位移表達(dá)式（幾何關(guān)系）： 1()2uu

20、 試求柱坐標(biāo)系中的 ij表達(dá)式。 解：12312312123123121231233(cos )(sin )(sin )( cos )rzxxxrrrxxxrrxxxzzz riiiiiriiiiiriiii1|;|;1|zrrrrr32121)(cos)(sin)(sin)(cosiriiriirz12(sin )(cos )rrrrz roriirro12(cos )(sin )rrz roriirro;zzzrzrrrooo由（5.4-6）式：rzrrzrrr zzrruuurrru rzrrzzrrrzzrrzzrrzzrrzuuuuuurrrrrruuuuuur ruuuurrrrr

21、rrrrrrrrrrr 11 1 rrzzzrrzzrzr rrr zrrrrzrzzz rzz zuuuuuuzzzzzzuuurrruuuurrrruuuurzzzu rrrrrrrr rr rr rr rr rr rr rr rr rr rr r 111 rzr rrr zrzrrzrzz rzz zuurrruuuuurrruuuzzz r rr rr rr rr rr rr rr rr r同理得： 111 rzr rrz rrzrrrzrzr zzz zuuurrruuuuuurrruuuzzz ur rr rr rr rr rr rr rr rr r 1111 ()222111 21 11 221 12rzrr rrr zrrrzzrzz rzuuuuuurrrrrzuuuuurrrrruuuurzrzur uur rr rr rr rr rr rr r zzz zuurzr rr r最后得：1;1111222111222111 1222rrzrrzzrrrrrzrrzzrzrrzzzzzzuuuurrrzuuurrruurzuurz這一組方程是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)小位移梯度條件的幾何方程的柱坐標(biāo)形式。例18：