1、第七章空間問題的基本理論例題例題第五節第五節 軸對稱問題的基本方程軸對稱問題的基本方程第四節第四節 幾何方程及物理方程幾何方程及物理方程第三節第三節 主應力主應力 最大與最小的應力最大與最小的應力 第二節第二節 物體內任一點的應力狀態物體內任一點的應力狀態第一節第一節 平衡微分方程平衡微分方程第七章空間問題的基本理論第七章 空間問題的基本理論 在空間問題中，應力、形變和位移等基本知函數共有15個，且均為x,y,z的函數。 空間問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。第七章空間問題的基本理論取出微小的平行六面體， ，

2、zyxvdddd 考慮其平衡條件平衡條件:, 0 xF,0yF; 0zF, 0 xM, 0yM. 0zM(a) (b)平衡條件7-1 7-1 平衡微分方程平衡微分方程第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論 由x 軸向投影的平衡微分方程平衡微分方程 , 0 , ( , ). (c)yxxzxxfx y zxyz平衡微分方程0 xF得 因為 x , y , z 軸互相垂直，均為定向，量綱均為L，所以 x , y , z 坐標具有對等性，其方程也必然具有對等性對等性。因此，式(a)的其余兩式可通過式(c)的坐標輪換得到。第七章空間問題的基本理論 由3個力矩方程得到3個切應力互等定理切應力互

3、等定理， 0 xMzyyz，(x, y , z) 。 (d) 空間問題的平衡微分方程精確到三階微量。)dd(dzyx平衡微分方程第七章空間問題的基本理論思考題 在圖中，若點o的x向正應力分量為 ，試表示點 A , B 的x向正應力分量。xxd zd xAd yoyBz第七章空間問題的基本理論 在空間問題中，同樣需要解決：由直在空間問題中，同樣需要解決：由直角坐標的應力分量角坐標的應力分量 ，來求出斜，來求出斜面面( (法線為法線為 ）上的應力。上的應力。xyz斜面應力n7-2 7-2 物體內任一點的應力狀態物體內任一點的應力狀態第七章空間問題的基本理論 斜面的全應力p 可表示為兩種分量形式：(

4、,).xyzppppp沿坐標向分量: p沿法向和切向分量:斜面應力(,).nnp第七章空間問題的基本理論 取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds, 則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。 由四面體的平衡條件 ，得出坐標向的應力分量,1. 求),(0zyxFx , ( , , ).(a)xxyxzxplmnx y z),(zyxppppzyxppp第七章空間問題的基本理論2. 求),(nnp將),(zyxpppp向法向 投影，即得zyxnnpmplpnn222222 . (b)xyzyzzxxyl m n mnnllm,222222nnzyxpppp22222 . (c)

5、nxyznpppn得由第七章空間問題的基本理論 從式(b)、(c )可見, 當六個坐標面上的應力分量確定之后，任一斜面上的應力也就完全確定了。nn第七章空間問題的基本理論 設在 邊界上，給定了面力分量 則可將微分四面體移動到邊界點上，并使斜面與邊界重合。斜面應力分量 應代之為面力分量 ，從而得出空間空間問題的應力邊界條件問題的應力邊界條件:3. 在 上的應力邊界條件s,zyxfffs),(zyxppp),(zyxfff() , ( , , ) . () ( )xyxzx sxlmnfx y zSd在 上應力邊界條件第七章空間問題的基本理論 式(d)只用于 邊界點上，表示邊界面上的面力與坐標面的

6、應力之間的關系，所以必須將邊界面方程代入式(d)。 式(b), (c) 用于V內任一點，表示斜面應力與坐標面應力之間的關系； 注意注意: s第七章空間問題的基本理論1.1.假設 面(l , m , n)為主面，則此斜面上n . , 0pnn斜面上沿坐標向的應力分量為： zyxppp,. , ,npmplpzyx斜面應力7-3 7-3 主應力主應力 最大與最小的應力最大與最小的應力代入 , 得到：第七章空間問題的基本理論考慮方向余弦關系式，有. 1222nml 結論：式(a) , (b)是求主應力及其方向余弦的方程。(b),(a ).xyxzxyzyxyzxzyzlmnlm nlm nlmn第七

7、章空間問題的基本理論2. 求主應力求主應力 將式(a)改寫為：。0)(, 0)(, 0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx求主應力第七章空間問題的基本理論 上式是求解上式是求解 l , m , n 的齊次代數方程。由于的齊次代數方程。由于l , m , n不全為不全為0，所以其系數行列式必須為零，得，所以其系數行列式必須為零，得, 0zyzxzzyyxyzxyxx展開，即得求主應力的方程求主應力的方程,求主應力32222()()xyzy zz xx yyzzxxy . 0)2(222xyzxyzxyzzxyyzxzyx( c )第七章空間問題的基本理論3.3.應力主向 設主應力

8、 的主向為 。代入式(a)中的前兩式，整理后得1111,nml1111111111()0, (d)()0.yxzxxyzyxymnllmnll應力主向第七章空間問題的基本理論由上兩式解出 。然后由式(b)得出1111,lnlm12211111.(e)1()()lmnll應力主向再求出 及 。1m1n4. 4. 一點至少存在著三個互相垂直的主應力一點至少存在著三個互相垂直的主應力321,（證明見書上）。第七章空間問題的基本理論5.5.應力不變量應力不變量 若從式(c) 求出三個主應力 ，則式(c)也可以用根式方程表示為，123()()()0 . (f) 因式(c) 和( f )是等價的方程，故

9、的各冪次系數應相等，從而得出：應力不變量321,第七章空間問題的基本理論1123212233122231232222.xyzyzzxxyyzzxxyxyzxyzyzxzxyyzzxxy , , (g)應力不變量第七章空間問題的基本理論 所以分別稱 為第一、二、三應力不變量。這些不變量常用于塑性力學之中。 式(g)中的各式，左邊是不隨坐標選擇而變的；而右邊各項雖與坐標的選擇有關，但其和也應與坐標選擇無關。 321,第七章空間問題的基本理論6.6.關于一點應力狀態的結論：關于一點應力狀態的結論： 6個坐標面上的應力分量完全確定一點 的應力狀態。只要6個坐標面上的應力 分量確定了，則通過此點的任何面

10、上的 應力也完全確定并可求出。(2)一點存在著3個互相垂直的應力主面及 主應力。一點應力狀態第七章空間問題的基本理論(3) 3個主應力包含了此點的最大和最小 正應力。 (4) 一點存在3個應力不變量.321,(5) 最大和最小切應力為 ，作用于通過中間 主應力、并且“平分最大和最小正應 力的夾角”的平面上。13.2321 設第七章空間問題的基本理論思考題1.試考慮：對于平面問題若 則此點所有的正應力均為 ,切應力均 為0，即存在無數多的主應力。,212. 試考慮：對于空間問題若 則此點所有的正應力均為 ,切應力均 為0，即存在無數多的主應力。,321第七章空間問題的基本理論 空間問題的幾何方程

11、，空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：,xux,yzwvyz),;,(wvuzyx(a)幾何方程7-4 7-4 幾何方程及物理方程幾何方程及物理方程),;,(wvuzyx第七章空間問題的基本理論 從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關系： 若位移確定，則形變完全確定。若位移確定，則形變完全確定。幾何方程 從數學上看，由位移函數求導數是完全確定的，故形變完全確定。第七章空間問題的基本理論-沿x , y , z 向的剛體平移； 若形變確定，則位移不完全確定。若形變確定，則位移不完全確定。 由形變求位移，要通過積分，會出現待定的函數。若 ，還存在對應的位移分量，為：0yzx),(zyx 0,

12、yzuuzy( , , ; , , ).x y z u v w(b)000,wvu幾何方程zyx,-繞x , y , z軸的剛體轉動。第七章空間問題的基本理論 若在 邊界上給定了約束位移分量 ，則空間問題的位移邊界條件為：空間問題的位移邊界條件為：uswvu,( ),suu( , , ).u v w( c )位移邊界條件第七章空間問題的基本理論zyxzyxzzyyxxzyxdddddd)d)(dd)(dd(d1)1)(1)(1 (zyx.zyx(d) 其中由于小變形假定，略去了形變的其中由于小變形假定，略去了形變的2 2、3 3次冪。次冪。體積應變體積應變體積應變定義為：dvdvvd第七章空間

13、問題的基本理論空間問題的物理方程空間問題的物理方程 應變用應力表示，用于按應力求解方法：應變用應力表示，用于按應力求解方法：),(1zyxxE2(1),yzyzE( x ,y ,z ). (e)物理方程可表示為兩種形式：第七章空間問題的基本理論 應力用應變表示，用于按位移求解方法：應力用應變表示，用于按位移求解方法：),21(1xxE,(1)yzyzE (x ,y , z). ( f )由物理方程可以導出,21E（g） 是第一應力不變量，又稱為體積應力。21 E-稱為體積模量。第七章空間問題的基本理論 空間問題的應力，形變，位移等15個未知函數，它們都是(x ,y ,z)的函數。這些函數在區域

14、V內必須滿足3個平衡微分方程，6個幾何方程及6個物理方程，并在邊界上滿足3個應力或位移的邊界條件。結論：結論第七章空間問題的基本理論思考題 若形變分量為零， 試導出對應的位移分量。, )( 0 x,y,zyzx第七章空間問題的基本理論 空間軸對稱問題空間軸對稱問題 采用柱坐標 表示。(,)z軸對稱問題 如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對稱，則應力，形變和位移也是軸對稱的。7-5 7-5 軸對稱問題的基本方程軸對稱問題的基本方程第七章空間問題的基本理論 對于對于空間軸對稱問題：空間軸對稱問題：應力中只有應力中只有,zz。0; 0; 0uzz(a)形變中只有形變中只有,zz位移中只

15、有位移中只有,zuu軸對稱問題所有物理量僅為所有物理量僅為( (,z,z) )的函數。的函數。第七章空間問題的基本理論而由, 0F得出為 。 0, 0, (b)0, 0.zzzzZzFfzFfz平衡微分方程：平衡微分方程：第七章空間問題的基本理論 幾何方程幾何方程：其中, 00zu，幾何方程為, , , (c)zzzzuuuzuuz。第七章空間問題的基本理論物理方程：物理方程：應變用應力表示：應變用應力表示：。，（zzZEzE)1 (2),)(1(d)第七章空間問題的基本理論 應力用應變表示：應力用應變表示：(), , ),112 (e).2(1)zzEzE ，（其中。zuuuzz第七章空間問

16、題的基本理論邊界條件：邊界條件： 一般用柱坐標表示時，邊界面均為坐標面。所以邊界條件也十分簡單。 在柱坐標中，坐標分量 的量綱、方向性、坐標線的性質不是完全相同的。因此，相應的方程不具有對等性。z ,第七章空間問題的基本理論思考題 試由空間軸對稱問題的基本方程，簡化導出平面軸對稱問題的基本方程。第七章空間問題的基本理論例題1例題2例題3例題例題第七章空間問題的基本理論例題 1設物體的邊界面方程為 試求出邊界面的應力邊界條件；若面力為法向的分布拉力 應力邊界條件是什么形式？, 0),(zyxF),(zyxq第七章空間問題的基本理論,/ kFnxx（x, y, z)，其中1 / 2222,.xxy

17、zFFxkFFF 解：當物體的邊界面方程為時，它的表面法線的方向余弦 為zyxnnn,0),(zyxF第七章空間問題的基本理論當面力為法向分布拉力q時，,xflq(x, y, z).因此，應力邊界條件為 , ().xxyxyzzxxsFFFF qx,y,z代入應力邊界條件，得 ,xxyyxzzxsxF F F kf(x, y, z).第七章空間問題的基本理論例題2 試求圖示空間彈性體中的應力分量。 (a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布壓力q作用，設剛性體與彈性體之間無摩擦力。 (b)半無限大空間體，其表面受均布壓力q的作用。qqooxxzz第七章空間問題的基本理論解：圖示的(a),(b

18、)兩問題是相同的應力狀態：x向與y向的應力、應變和位移都是相同的，即等。yx 0yx0yx對于(a)，有約束條件； 對于(b)，有對稱條件。qqooxxzz第七章空間問題的基本理論則可解出：, 0)(1, 0)(1zxyyzyxxEE.11qzyx而兩者的，因此，由物理方程：qzqqooxxzz第七章空間問題的基本理論例題 圖示的彈性體為一長柱形體，在頂面 z=0 上有一集中力 F 作用于角點，試寫出z=0 表面上的邊界條件。xyobbaaz圖7-5P第七章空間問題的基本理論解：本題是空間問題，z=0 的表面是小邊 界，可以應用圣維南原理列出應力的邊界條件。即在z=0的表面邊界上，使應力的主矢量和主矩，分別等于面力的主矢量和主矩，兩者數值相等，方向一致。 由于面力的主矢量和主矩是給定的， 因此，應力的主矢量和主矩的數值，