1、第六章第六章 方差分析方差分析方差分析的基本原理方差分析的基本原理單向分組資料的方差分析單向分組資料的方差分析兩向分組資料的方差分析兩向分組資料的方差分析第一節第一節 方差分析的基本原理方差分析的基本原理l前面所介紹的前面所介紹的t檢驗法和檢驗法和u檢驗法，適用于樣本檢驗法，適用于樣本平均數與總體平均數及兩樣本平均數間的差異平均數與總體平均數及兩樣本平均數間的差異顯著性檢驗，但在生產和科學研究中經常會遇顯著性檢驗，但在生產和科學研究中經常會遇到比較多個處理（到比較多個處理（k3）優劣的問題，即需進）優劣的問題，即需進行多個平均數間的差異顯著性檢驗。這時，若行多個平均數間的差異顯著性檢驗。這時，

2、若仍采用仍采用t或或u檢驗法就不適宜了。檢驗法就不適宜了。l原因如下：原因如下： l1、檢驗過程煩瑣檢驗過程煩瑣 例如，一試驗包含5個處理， 采用t檢驗法要進行=10次兩兩平均數的差異顯著性檢驗；若有k個處理，則要作k(k-1)/2次類似的檢驗。l2、無統一的試驗誤差，誤差估計的精確性和檢驗的無統一的試驗誤差，誤差估計的精確性和檢驗的靈敏性低靈敏性低 對同一試驗的多個處理進行比較時，應該有一個統一的試驗誤差的估計值。 l3、推斷的可靠性低，檢驗的推斷的可靠性低，檢驗的i型錯誤率大型錯誤率大 即使利用資料所提供的全部信息估計了試驗誤差，若用t檢驗法進行多個處理平均數間的差異顯著性檢驗，由于沒有考

3、慮相互比較的兩個平均數的秩次問題，因而會增大犯i型錯誤的概率，降低推斷的可靠性。 復習幾個常用術語復習幾個常用術語l1、試驗指標： 為衡量試驗結果的好壞或處理效應的高低，在試驗中具體測定的性狀或觀測的項目稱為試驗指標。由于試驗目的不同，選擇的試驗指標也不相同。 l2、試驗因素： 試驗中所研究的影響試驗指標的因素叫試驗因素。l3、因素水平： 試驗因素所處的某種特定狀態或數量等級稱為因素水平，簡稱水平。 復習幾個常用術語復習幾個常用術語l4、試驗處理： 事先設計好的實施在試驗單位上的具體項目叫試驗處理，簡稱處理。在單因素試驗中，實施在試驗單位上的具體項目就是試驗因素的某一水平。進行單因素試驗時，試

4、驗因素的一個水平就是一個處理。在多因素試驗中，實施在試驗單位上的具體項目是各因素的某一水平組合。 l5、試驗單位： 在試驗中能接受不同試驗處理的獨立的試驗載體叫試驗單位。 l6、重復： 在試驗中，將一個處理實施在兩個或兩個以上的試驗單位上，稱為處理有重復；一處理實施的試驗單位數稱為處理的重復數。 自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解總變異是nk個觀察值的變異，所以其自由度為nk-1總變異的平方和為：nkijnkijtcyyyss1221)(自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解組間（處理）變異由k個yi變異所引起，故其自由度為k-1，組間（處理）平方和為：組內（誤差）變異為各觀察值與組平

5、均數的變異，所以組內（誤差變異自由度為k(n-1)，組內平方和為：ttkniijessssyyss 112)(kityynss12)(自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解總自由度dft組間自由度dft組內自由度dfe總平方和sst組間平方和sst+組內平方和sse總的均方：組間的均方：組內的均方：1)(22nkyysmsijtt1)(22kyynsmsitt)1()(22nkyysmsiijee自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解以、四種藥劑處理水稻種子，其中為對照，每處理各得個苗高觀察值(cm)，其結果列于下表，試分解其平方和與自由度藥劑 t=336 =21苗高觀察值18201028

6、212415272026172913221432總和ti729256116平均18231429iyy自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解70564433622nktc 6022cyssijt5042ntssit98504602ttessssss總變異自由度：dft=(nk-1)=(44)-1=15藥劑間自由度： dft=(k-1)=4-1=3藥劑內自由度： dfe=k(n-1)=4(4-1)=12矯正數總的平方和：組間平方和：組內平方和：二、二、f分布與分布與f測驗測驗222121),(ssf變異來源處理間處理內（誤差）總df31215ss50498602ms1688.17f20.56*f

7、臨界值f0.05(3,12)=3.49f0.01(3,12)=5.95從例題如手，理解方差分析的基本原理：從例題如手，理解方差分析的基本原理：l一小麥品種對比試驗，6個品種，4次重復，單因素完全隨機設計，得產量結果如下表（單位：kg/小區）處理品種觀察值（重復）處理和（ti）處理平均1234a15854504921152.75a24238413615739.25a33236293513233.00a44645434618045.00a53531343413433.50a64442363816040.00從表中的結果可以看出：從表中的結果可以看出：l24個小區的產量有高有低，存在差異，這種差異稱

8、為變異。l各處理平均產量之間也有差異，可以直觀地看作是小麥不同品種間生產能力的差異。l同一品種不同重復之間的產量也不相同，顯然這種差異主要不是小麥品種引起的，而是某些不易控制的隨機因素的影響，是由隨機誤差造成的。l由于試驗誤差的存在，不同品種產量之間的差異是純屬隨機隨機誤差誤差的影響還是反映了不同品種不同品種的影響？這就需要對品種效應作進一步考察，分析造差異的原因是什么，以判斷試驗結果的可靠性和品種產量間差異的顯著性。由此看出：由此看出：l無論試驗條件控制多么嚴格，在其試驗結果中無論試驗條件控制多么嚴格，在其試驗結果中總是摻雜著隨機誤差等非處理因素的影響，說總是摻雜著隨機誤差等非處理因素的影響

9、，說明試驗結果的總變異是由兩類原因引起的：明試驗結果的總變異是由兩類原因引起的：l由于人為施加試驗條件的影響引起試驗指標的變異，由于人為施加試驗條件的影響引起試驗指標的變異，稱處理間（組間）變異。其效應稱處理效應。稱處理間（組間）變異。其效應稱處理效應。l由隨機因素的影響引起的變異，稱處理內（組內）由隨機因素的影響引起的變異，稱處理內（組內）變異。其效應稱非處理效應。變異。其效應稱非處理效應。l即：即：試驗結果總變異處理間變異處理內變異試驗結果總變異處理間變異處理內變異基本思路：基本思路：l方差分析就是從試驗結果的變異性出發，用方方差分析就是從試驗結果的變異性出發，用方差作為衡量各種變異量的尺

10、度，如用總方差表差作為衡量各種變異量的尺度，如用總方差表示總變異，處理間方差表示處理間變異，處理示總變異，處理間方差表示處理間變異，處理內方差表示處理內變異（可以看作為誤差），內方差表示處理內變異（可以看作為誤差），則哪項方差大，那項因子對試驗指標的影響就則哪項方差大，那項因子對試驗指標的影響就大，把處理方差和誤差方差在一定意義下進行大，把處理方差和誤差方差在一定意義下進行比較，當處理間方差顯著地大于誤差方差時，比較，當處理間方差顯著地大于誤差方差時，表明處理因素對試驗指標有顯著影響。表明處理因素對試驗指標有顯著影響。概念概念l方差分析：就是將試驗數據的總變異分解為來方差分析：就是將試驗數據的

11、總變異分解為來源不同因素的相應變異，并做出數量估計，從源不同因素的相應變異，并做出數量估計，從而發現各個因素在總變異中所占的重要程度。而發現各個因素在總變異中所占的重要程度。即將試驗的總變異方差分解成各變因方差，并即將試驗的總變異方差分解成各變因方差，并以其中誤差方差作為和其他變因方差比較的標以其中誤差方差作為和其他變因方差比較的標準，以推斷其他變因所引起的變異量是否真實準，以推斷其他變因所引起的變異量是否真實的一種統計分析方法。的一種統計分析方法。方差分析的基本步驟方差分析的基本步驟l（一）平方和與自由度的分解l（二）f檢驗l（三）多重比較詳細內容見教材p89！第二節第二節 單向分組資料方差

12、分析單向分組資料方差分析l單向分組資料是指觀察值按一個方向分組的資單向分組資料是指觀察值按一個方向分組的資料。料。l組內觀察值數目相等的單向分組資料組內觀察值數目相等的單向分組資料l組內觀察值數目不等的單向分組資料組內觀察值數目不等的單向分組資料組內觀察值數目相等的單向分組組內觀察值數目相等的單向分組資料的方差分析資料的方差分析品種品種abcde樣點樣點141333837312393735393434035353834處理和處理和12010510811499t=546處理平均處理平均403536383336.4l例：在栽培條件一致的情況下，比較例：在栽培條件一致的情況下，比較5個梨品種產量，每

13、品種隨機抽取個梨品種產量，每品種隨機抽取3個樣個樣點（每樣點株數相同），結果如下表，進行方差分析。（單位：點（每樣點株數相同），結果如下表，進行方差分析。（單位：kg/樣點）樣點）x組內觀察值數目不等的單向分組組內觀察值數目不等的單向分組資料的方差分析資料的方差分析類型類型短枝型短枝型1號號短枝型短枝型2號號普通型普通型小老樹小老樹觀察數觀察數11.71.92.21.421.81.72.31.531.81.62.41.441.61.82.51.351.71.82.41.661.81.82.41.771.91.82.481.81.72.391.81.92.2101.82.2112.2處理處理和和

14、17.716.025.58.968.1處理處理平均平均1.771.782.321.481.89l例：調查了元帥短枝型例：調查了元帥短枝型1號樹和號樹和2號樹，及普通型與小老樹的枝條節間平均長度，各組號樹，及普通型與小老樹的枝條節間平均長度，各組觀察值數目不等，見下表，進行方差分析。觀察值數目不等，見下表，進行方差分析。表表2 元帥不同類型樹枝條節間長度（單位：元帥不同類型樹枝條節間長度（單位：cm）作業：作業：1 假設有4個小麥新品系，進行完全隨機盆栽試驗，其結果如下表，試作方差分析。 品系1234觀察值128141610101618141213201614161612121014181615

15、161414181218182 對對a、b、c、d、e等等5個雜交水稻品種的干物質積累過程進行個雜交水稻品種的干物質積累過程進行測定，每次每品種隨機取測定，每次每品種隨機取2個樣點，每點個樣點，每點5株，其中一次的結果如株，其中一次的結果如下表，試作方差分析。下表，試作方差分析。品種abcde樣點1212121212干物質重量（g/株）7.812.17.46.212.615.25.86.413.811.78.910.68.86.610.215.14.76.815.117.29.28.78.95.311.412.36.68.113.415.611.49.97.87.511.812.57.47.2

16、12.615.110.510.19.88.112.112.97.97.916.615.8練習練習1：測定：測定4種種植密度下金皇后玉米的千粒重（種種植密度下金皇后玉米的千粒重（g）各各4次，得結果如下表。試作方差分析。次，得結果如下表。試作方差分析。密度（株667m2）a（2000）b（4000）c（6000）d（8000）千粒重（g）247238214210258244227204256246221200251236218210練習練習2：以稻草（：以稻草（a1）、麥草（）、麥草（a2）、和花生秸（）、和花生秸（a3）三種培養基，）三種培養基，在在28（b1）、）、32 （b2）、）、36

17、（b3）三種溫度下，培養草）三種溫度下，培養草菇菌種，研究其菌絲生長速度。完全隨機設計，每個處理組合培菇菌種，研究其菌絲生長速度。完全隨機設計，每個處理組合培養養3瓶。記載從接種到菌發滿全瓶的天數。結果如下表，試作方差瓶。記載從接種到菌發滿全瓶的天數。結果如下表，試作方差分析。分析。培養基a1a2a3瓶號n123123123溫度b15.04.24.56.56.25.86.46.87.0b24.04.64.15.25.65.47.47.87.2b35.54.85.26.05.86.27.88.07.4兩向分組資料的方差分析兩向分組資料的方差分析l兩向分組資料兩向分組資料是指試驗指標同時受兩個因素的作用而得到的觀測值，又叫交叉分組。l按完全隨機設計的兩因素試驗數據，都是兩向分組資料，其方差分析按各組合內有無重復觀測值分為兩種不同情況。兩向分組資料的方差分析兩向分組資料的方差分析l組合內只有單個觀察值的兩向分組資料的方差分析：l完全隨機設計的二因素試驗每處理組合只有一個觀察值的資料：注意方差分析中，不考慮兩因素之間的互作（若互作存在，則與誤差混淆，無法分析互作，也不能取得合理的試驗誤差估計。）兩向分組資料的方差分析兩向分組資料的方差分析l例：將某經濟樹種苗木栽在例：將某經濟樹種苗木栽在4塊不同的苗床上，每塊苗床上的苗木又塊不同的苗床上