1、1.3空間向量及其運算的坐標表示13.1空間直角坐標系學習目標1.了解空間直角坐標系.2.能在空間直角坐標系中寫出所給定點、向量的坐標知識點一空間直角坐標系1空間直角坐標系及相關概念(1)空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底，以O為原點，分別以i，j，k 的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.(2)相關概念：O叫做原點，i，j，k 都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分2右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手

2、拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系思考空間直角坐標系有什么作用？答案可以通過空間直角坐標系將空間點、直線、平面數量化，將空間位置關系解析化知識點二空間一點的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使xiyjzk.在單位正交基底 i，j，k下與向量 對應的有序實數組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標思考空

3、間直角坐標系中，坐標軸上的點的坐標有何特征？答案x軸上的點的縱坐標、豎坐標都為0，即(x，0,0)y軸上的點的橫坐標、豎坐標都為0，即(0，y，0)z軸上的點的橫坐標、縱坐標都為0，即(0,0，z)知識點三空間向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使axiyjzk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，上式可簡記作a(x，y，z)思考空間向量的坐標和點的坐標有什么關系？答案點A在空間直角坐標系中的坐標為(x，y，z)，那么向量 的坐標也為(x，y，z)1空間直角坐標系中，在x軸上的點的坐標一定是

4、(0，b，c)的形式()2空間直角坐標系中，在xOz平面內的點的坐標一定是(a，0，c)的形式()3關于坐標平面yOz對稱的點其縱坐標、豎坐標保持不變，橫坐標相反()一、求空間點的坐標例1(1)畫一個正方體ABCDA1B1C1D1，若以A為坐標原點，以棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標系，則頂點A，C的坐標分別為_；棱C1C中點的坐標為_；正方形AA1B1B對角線的交點的坐標為_答案(0,0,0)，(1,1,0)(2)已知正四棱錐PABCD的底面邊長為4，側棱長為10，試建立適當的空間直角坐標系，寫出各頂點的坐標解正四棱錐PABCD

5、的底面邊長為4，側棱長為10，正四棱錐的高為2.以正四棱錐的底面中心為原點，平行于BC，AB所在的直線分別為x軸、y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則正四棱錐各頂點的坐標分別為A(2，2,0)，B(2,2,0)，C(2,2,0)，D(2，2,0)，P(0,0,2)答案不唯一反思感悟(1)建立空間直角坐標系的原則讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面充分利用幾何圖形的對稱性(2)求某點M的坐標的方法作MM垂直平面xOy，垂足M，求M的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)

6、跟蹤訓練1在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CGCD，H為C1G的中點，試建立適當的坐標系，寫出E，F，G，H的坐標解建立如圖所示的空間直角坐標系點E在z軸上，它的橫坐標、縱坐標均為0，而E為DD1的中點，故其坐標為.由F作FMAD，FNCD，垂足分別為M，N，由平面幾何知識知FM，FN，故F點坐標為.因為CGCD，G，C均在y軸上，故G點坐標為.由H作HKCG，可得DK，HK，故H點坐標為.(答案不唯一)二、空間點的對稱問題例2在空間直角坐標系中，已知點P(2,1,4)(1)求點P關于x軸對稱的點的坐標；(2)求點P關于xOy平面對

7、稱的點的坐標；(3)求點P關于點M(2，1，4)對稱的點的坐標解(1)由于點P關于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸，z軸的分量變為原來的相反數，所以對稱點坐標為P1(2，1，4)(2)由點P關于xOy平面對稱后，它在x軸，y軸的分量不變，在z軸的分量變為原來的相反數，所以對稱點坐標為P2(2,1，4)(3)設對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3的坐標為(6，3，12)反思感悟空間點對稱問題的解題策略(1)空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規律，才能準確求解(

8、2)對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論跟蹤訓練2已知點P(2,3，1)關于坐標平面xOy的對稱點為P1，點P1關于坐標平面yOz的對稱點為P2，點P2關于z軸的對稱點為P3，則點P3的坐標為_答案(2，3,1)解析點P(2,3，1)關于坐標平面xOy的對稱點P1的坐標為(2,3,1)，點P1關于坐標平面yOz的對稱點P2的坐標為(2,3,1)，點P2關于z軸的對稱點P3的坐標是(2，3,1)三、空間向量的坐標例3已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA14，M為BC1的中點，N為A1B1的中點，建立適當的空間直角坐標系，求向量，的坐標解建立如

9、圖所示的空間直角坐標系，設i，j，k，4i0j0k(4,0,0)，0i4j4k(0,4,4)，4i4j4k(4,4,4)反思感悟向量坐標的求法(1)點A的坐標和向量 的坐標形式完全相同；(2)起點不是原點的向量的坐標可以通過向量的運算求得跟蹤訓練3已知A(3,5，7)，B(2,4,3)，設點A，B在yOz平面上的射影分別為A1，B1 ，則向量的坐標為_答案(0，1,10)解析點A(3,5，7)，B(2,4,3)在yOz平面上的射影分別為 A1 (0,5，7), B1 (0,4,3)，向量的坐標為(0，1,10)1點P(2,0,3)在空間直角坐標系中的位置是在()Ay軸上 BxOy面上CxOz面

10、上 DyOz面上答案C2在空間直角坐標系中，點P(1,3，5)關于平面xOy對稱的點的坐標是()A(1,3，5) B(1,3,5)C(1，3,5) D(1，3,5)答案B3在空間直角坐標系中，點P(1，2，3)到平面yOz的距離是()A1 B2 C3 D.答案A4點P(1,1,1)關于xOy平面的對稱點P1的坐標為_；點P關于z軸的對稱點P2的坐標為_答案(1,1，1)(1，1,1)解析點P(1,1,1)關于xOy平面的對稱點P1的坐標為(1,1，1)，點P關于z軸的對稱點P2的坐標為(1，1,1)5在長方體ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A

11、1(4,0,3)，則向量的坐標為_答案 (4,2,3) 解析4i2j3k(4,2,3)1知識清單：(1)空間直角坐標系的概念(2)點的坐標(3)向量的坐標2方法歸納：數形結合、類比聯想3常見誤區：混淆空間點的坐標和向量坐標的概念，只有起點在原點的向量的坐標才和終點的坐標相同 1.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則點B1的坐標是()A(1,0,0)B(1,0,1)C(1,1,1)D(1,1,0)答案C解析點B1到三個坐標平面的距離都為1，易知其坐標為(1,1,1)，故選C.2點A(0，2,3)在空間直角坐標系中的位置是()A在x軸上 B在xOy平面內C在yOz平面內 D在xO

12、z平面內答案C解析點A的橫坐標為0，點A(0，2,3)在yOz平面內3在空間直角坐標系中，P(2,3,4)，Q(2，3，4)兩點的位置關系是()A關于x軸對稱 B關于yOz平面對稱C關于坐標原點對稱 D以上都不對答案C解析當三個坐標均相反時，兩點關于原點對稱4在空間直角坐標系中，已知點P(1，)，過點P作平面yOz的垂線PQ，則垂足Q的坐標為()A(0，0) B(0，)C(1,0，) D(1，0)答案B解析由于垂足在平面yOz上，所以縱坐標，豎坐標不變，橫坐標為0.5如圖，在空間直角坐標系中，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，B1EA1B1，則等于()A.B.C.D.答案C解析kj.6

13、點P(1,2，1)在xOz平面內的射影為B(x，y，z)，則xyz_.答案0解析點P(1,2，1)在xOz平面內的射影為B(1,0，1)，x1，y0，z1，xyz1010.7已知A(3,2，4)，B(5，2,2)，則線段AB中點的坐標為_答案(4,0，1)解析設中點坐標為(x0，y0，z0)，則x04，y00，z01，中點坐標為(4,0，1)8已知空間直角坐標系中三點A，B，M，點A與點B關于點M對稱，且已知A點的坐標為(3,2,1)，M點的坐標為(4,3,1)，則B點的坐標為_答案(5,4,1)解析設B點的坐標為(x，y，z)，則有4，3，1，解得x5，y4，z1，故B點的坐標為(5,4,1

14、)9.建立空間直角坐標系如圖所示，正方體DABCDABC的棱長為a，E，F，G，H，I，J分別是棱CD，DA，AA，AB，BC，CC的中點，寫出正六邊形EFGHIJ各頂點的坐標解正方體DABCDABC的棱長為a，且E，F，G，H，I，J分別是棱CD，DA，AA，AB，BC，CC的中點，正六邊形EFGHIJ各頂點的坐標為E，F，G，H，I，J.10.如圖所示，過正方形ABCD的中心O作OP平面ABCD，已知正方形的邊長為2，OP2，連接AP，BP，CP，DP，M，N分別是AB，BC的中點，以O為原點，為單位正交基底建立空間直角坐標系若E，F分別為PA，PB的中點，求點A，B，C，D，E，F的坐標

15、解由題意知，點B的坐標為(1,1,0)由點A與點B關于x軸對稱，得A(1，1,0)，由點C與點B關于y軸對稱，得C(1,1,0)，由點D與點C關于x軸對稱，得D(1，1,0)又P(0,0,2)，E為AP的中點，F為PB的中點，所以由中點坐標公式可得E，F.11已知空間中點A(1,3,5)，點A與點B關于x軸對稱，則向量點B的坐標為_答案(1，3，5)12在空間直角坐標系中，點M(2,4，3)在xOz平面上的射影為點M1，則點M1關于原點對稱的點的坐標是_答案(2,0,3)解析由題意，知點M1的坐標為(2,0, 3)，所以點M1關于原點對稱的點的坐標是(2,0,3)13如圖，正方體ABCDABCD的棱長為2，則圖中的點M關于y軸的對稱點的坐標為_答案(1，2，1)解析因為D(2，2,0)，C(0，2,2)，所以線段DC的中點M的坐標為(1，2,1)，所以點M關于y軸的對稱點的坐標為(1，2，1)14.如圖是一個正方體截下的一角PABC，其中PAa，PBb，PCc.建立如圖所示的空間直角坐標系，則ABC的重心G的坐標是_答案解析由題意知A(a，0,0)，B(0，b，0)，C(0,0，c)由重心坐標公式得點G的坐標為.15已知向量p在基底a，b，c下的坐標為(2,1，1)，則p在基底2a，b，c下的坐標為_；在基底ab，ab，c下的坐標為_答案(1,1,1)