1、第七章第七章 彎曲變形彎曲變形 1 梁變形的基本概念 撓度和轉角2 撓曲線近似微分方程3 積分法計算梁的變形4 疊加法計算梁的變形5 簡單超靜定梁梁的撓度，橫截面的轉角。梁的撓度，橫截面的轉角。度量梁變形的參數度量梁變形的參數-二、撓度：二、撓度：橫截面形心沿垂直于橫截面形心沿垂直于 軸線方向的位移軸線方向的位移。 一、撓曲線：梁變形后的軸線。一、撓曲線：梁變形后的軸線。 性質：性質：連續連續、光滑、彈性、 極其平坦的平面曲線。三、轉角：三、轉角：橫截面繞中性軸轉過橫截面繞中性軸轉過的角度。用的角度。用“ ” ” 表示。表示。 用用“y y” 表示表示。fcyx 7-17-1 梁變形的基本概念

2、梁變形的基本概念 撓度和轉角撓度和轉角y = = y（x） 撓曲線方程。 撓度向下為正；向上為負。撓度向下為正；向上為負。= =( (x) ) 轉角方程。 由變形前的橫截面轉到變形后，由變形前的橫截面轉到變形后， 順時針為正；逆時針為負。順時針為正；逆時針為負。 四、撓度和轉角的關系四、撓度和轉角的關系撓度：撓度：橫截面形心沿垂直于橫截面形心沿垂直于 軸線方向的位移軸線方向的位移。 轉角：轉角：橫截面繞中性軸轉過橫截面繞中性軸轉過的角度。的角度。用用“ ” ” 表示。表示。用用“y y” 表示表示。yxydxdytg)(ytg fcyxx 撓曲線為一條平坦的曲線撓曲線為一條平坦的曲線一、曲率與

3、彎矩的關系：一、曲率與彎矩的關系：eimr1二、曲率與撓曲線的關系（數學表達式二、曲率與撓曲線的關系（數學表達式) )232)(1)(1yyx ryx )(1r（2）三、撓曲線與彎矩的關系三、撓曲線與彎矩的關系： 聯立（1）、（2）兩式得yx eim)()(xym ei（1）zeixmx)()(1r7-2 7-2 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程, 1ym00)( xy撓曲線近似微分方程的近似性撓曲線近似微分方程的近似性忽略了忽略了“fs”以及以及 對變形的影對變形的影響響 2)(y使用條件：使用條件：彈性范圍內工作的細長梁。m xy)(xmy ei結論：撓曲線近似微分方程結論：撓曲線近似

4、微分方程xyxy)(22xmdxydei)()(xmxyei 1)()(cdxxmxyei21)()(cxcdxdxxmxeiy 7-37-3 積分法計算梁的變形積分法計算梁的變形步驟步驟：（ei為常量）1 1、根據荷載分段列出彎矩方程、根據荷載分段列出彎矩方程 m m（x x）。）。2 2、根據彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進行積分、根據彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進行積分3 3、根據彎曲梁變形的邊界條件和連續條件確定積分常數。、根據彎曲梁變形的邊界條件和連續條件確定積分常數。0ay0by0dy0 d 右右左左cc 連續條件：連續條件：右右左左ccyy 邊界條件：邊界條件：dppa

5、bcf（1 1）、固定支座處：撓度等于零、轉角等于零。）、固定支座處：撓度等于零、轉角等于零。（2 2）、固定鉸支座處；可動鉸支座處：撓度等于零。）、固定鉸支座處；可動鉸支座處：撓度等于零。（3 3）、在彎矩方程分段處：）、在彎矩方程分段處： 一般情況下左、右的兩個截面撓度相等、轉角相等。一般情況下左、右的兩個截面撓度相等、轉角相等。4 4、確定撓曲線方程和轉角方程、確定撓曲線方程和轉角方程 。5 5、計算任意截面的撓度、轉角；撓度的最大值、轉角的最大值。、計算任意截面的撓度、轉角；撓度的最大值、轉角的最大值。eiflly3)(3例：例：求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉角求圖示懸臂梁自由端的撓度及

6、轉角( ( ei= =常數）。常數）。解：解：a) a) 建立坐標系并寫出彎矩方程建立坐標系并寫出彎矩方程)()(xlfxmb) b) 寫出寫出微分方程并積分微分方程并積分c) c) 應用位移邊界條件應用位移邊界條件求積分常數求積分常數)()(xlfxmyei 12)(21cxlfyei213)(61cxcxlfeiyfx322161 ; 21flcflcd) d) 確定撓曲線、轉角方程確定撓曲線、轉角方程3236)(xlxeifxylxxeify222eifll2)(2e) 自由端的自由端的撓度及轉角撓度及轉角x=0, y = 0 ; =0yl222323222222222226)(62)(

7、2)(dxcaxfxlfbeiycaxfxlfbyeiaxfxlfbyei 11)(xlfbxmfc解：解：a)建立坐標系并寫出彎矩方程建立坐標系并寫出彎矩方程b)寫出寫出微分方程并積分微分方程并積分例：例：求圖示梁的跨中的撓度和轉角 （ei=常數）左側段（0 x1a）：右側段（ax2l）：11131112111162dxcxlfbeiycxlfbyeixlfbyei 1xabab2xlba)()(222axfxlfbxmlfblfae) 跨中點跨中點撓度及兩端端截面的轉角撓度及兩端端截面的轉角d) 確定撓曲線和轉角方程確定撓曲線和轉角方程c) 應用位移邊界條件和連續條件應用位移邊界條件和連續

8、條件求積分常數求積分常數x = 0 , y = 0 ; x = l , y = 0 . x1 = x2 = a ，y1 = y2 ；y 1 = y20);(6212221ddbllfbcc2122112122113)(66xblleifbyxblleifbxy)(31)(2)()(62222222222232322blxaxblleifbyxblxaxblleifby2222424);43(4822blleifbybleifbyllxxleialfableiblfabba6)(;6)(兩端支座處的轉角兩端支座處的轉角討論：討論：1、此梁的最大撓度和最大轉角。、此梁的最大撓度和最大轉角。 lei

9、blfabxya6)(00max111max1 左左側側段：段： 右右 側側 段：段：leialfablxyb6)(0max222max2 leialfabb6)(max3221max1221max)(393)2(301blleifbyyaxbaablxyyxx最大撓度一定在左側段最大撓度一定在左側段fc1xabab2xlfblfa當當 ab 時時當當 ab 時時最大撓度發生在最大撓度發生在ac段段 2、a=b 時此梁的最大撓度和最大轉角。時此梁的最大撓度和最大轉角。eiflyyeifllxcba48;163max2max2fcababqlabxc解：解：a) 建立坐標系并寫出彎矩方程b)寫出

10、微分方程并積分c)應用位移邊界條件求積分常數d)確定撓曲線和轉角方程e)最大撓度及最大轉角ql/2ql/2)(222)(22xlxqqxxqlxm21431322)126(2)32(2)(2cxcxlxqeiycxlxqyeixlxqyei x=0 , y=0 ; x=l , y=0 . )46(24)2(24323323xlxleiqyxlxleiqxy0,24231cqlceiqleiqlybalx2438453max42max例：例：求分布載荷簡支的最大撓度 和最大轉角 ( ei = 常數 ）fablxem22qxfxmmeqsfmfaqemx 梁上有分布載荷，集中力與梁上有分布載荷，集

11、中力與集中力偶。集中力偶。彎矩：彎矩：彎矩的疊加原理彎矩的疊加原理- - 梁在幾個載荷共同作用下梁在幾個載荷共同作用下的彎矩值，等于各載荷單獨的彎矩值，等于各載荷單獨作用下的彎矩的代數和。作用下的彎矩的代數和。321mmmm)( xmyeiii )()()(332211xmyeixmyeixmyei 7-4 7-4 疊加法疊加法計算梁的變形計算梁的變形1 1、梁在簡單載荷作用下撓度、轉角應為已知或有變形表可查；、梁在簡單載荷作用下撓度、轉角應為已知或有變形表可查；2 2、疊加法適用于求梁個別截面的撓度或轉角值。、疊加法適用于求梁個別截面的撓度或轉角值。)()()(),(221121nbnbbn

12、bffffff )()()(),(221121nbnbbnbfyfyfyfffy 一、一、前提條件：前提條件：彈性、小變形。彈性、小變形。二、二、疊加原理：疊加原理：各荷載同時作用下，梁任一截面的撓度或轉角，等各荷載同時作用下，梁任一截面的撓度或轉角，等于各荷載分別單獨作用下同一梁同一截面撓度或轉角的代數和。于各荷載分別單獨作用下同一梁同一截面撓度或轉角的代數和。三、三、疊加法的特征：疊加法的特征：)(xmyei 321321)(mmmxmyyyy 疊加法計算梁的變形疊加法計算梁的變形aaf=+例例：疊加法求疊加法求a a截面的轉角和截面的轉角和c c截面截面 的撓度的撓度. .解解、a)載荷

13、分解如圖b)由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。eifaeiflyfc64833eifaeiflfa41622eiqaeiqlyqc245384544eiqaeiqlqa32433aaqfa ac caaaqeifaeiqayyyqafac624534qafaa)43(122qafeiac)疊加l/2l/2qa ac ca=+例例：求圖示梁c截面的撓度。解解：1、載荷分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表eiqleilqyyyycacbcac7685384)2(50443、疊加0;384)2(54cbcayeilqyl/2a ac caq/2l/2(a)l/2l/2a ac caq/2q/

14、2(b)=+a ab bl la ac cq qqaqaa ab bl l c cm=qa/2（b）例例：求圖示梁b截面的撓度（ei 已知）。已知）。解解：1) 結構分解如圖2) 查梁的簡單載荷變形表3) 疊加b b c cq q（a）eilqaaeilqaayeiqaycbbbba63)21(;8324eilaqaeilqaeiqayyybbbab24)43(68334一、梁的剛度條件一、梁的剛度條件其中稱為許用轉角；/l稱為許用撓跨比。、校核剛度：、設計截面尺寸；（對于土建工程，強度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構件例外）二、剛度計算二、剛度計算、確定外載荷。7 75 5 梁的剛

15、度計算梁的剛度計算 在土建工程中，通常對梁的在土建工程中，通常對梁的撓度撓度加以控制，例如：加以控制，例如：100012501lw梁的梁的剛度條件剛度條件為：為： maxmax,lwlw由梁在簡單荷載作用下的變形表和前面的變形計算可看：由梁在簡單荷載作用下的變形表和前面的變形計算可看：梁的撓度和轉角除了與梁的撓度和轉角除了與梁的支座和荷載梁的支座和荷載有關外還取決于有關外還取決于下面三個因素下面三個因素：材料材料梁的位移與材料的彈性模量 e 成反比成反比；截面截面梁的位移與截面的慣性矩 i 成反比成反比；跨長跨長梁的位移與跨長 l 的的 n 次冪成正比次冪成正比。 （轉角為（轉角為 l 的的

16、2 次冪，撓度為次冪，撓度為 l的的 3 次冪）次冪）1、增大梁的抗彎剛度（、增大梁的抗彎剛度（ei）2、調整跨長和改變結構、調整跨長和改變結構方法方法同提高梁的強度的措施相同同提高梁的強度的措施相同三、提高梁的剛度的措施三、提高梁的剛度的措施3、預加反彎度（預變形與受力時梁的變形方向相反，目的起到、預加反彎度（預變形與受力時梁的變形方向相反，目的起到一定的抵消作用）一定的抵消作用）注意：注意： 同類的同類的材料材料，“e”e”值相差不多值相差不多，“ j xj x”相差較大相差較大，故換用故換用同類材料只能提高強度，同類材料只能提高強度，不能提高剛度不能提高剛度。 不同類的材料不同類的材料，

17、“e”e”和和“g”g”都相差很多（鋼都相差很多（鋼e=200gpa , e=200gpa , 銅銅e=100gpae=100gpa），故可選用不同類的材料以達到），故可選用不同類的材料以達到提高剛度提高剛度的目的。的目的。但是，改換材料，其但是，改換材料，其原料費用也會隨之發生很大的改變原料費用也會隨之發生很大的改變！ 例例 一簡支梁荷載如圖示已知材料的許用應力一簡支梁荷載如圖示已知材料的許用應力160 mpa160 mpa，許用，許用撓度撓度w=l/500w=l/500，彈性模量，彈性模量e=200gpae=200gpa，試選擇工字鋼的型號。，試選擇工字鋼的型號。 解：解： 1 1、作出梁的彎矩圖、作出梁的彎矩圖2 2、根據彎曲正應力強度條件，要求、根據彎曲正應力強度條件，要求3 3、梁的剛度條件為：、梁的剛度條件為：解得解得 由型鋼表中查得，由型鋼表中查得，22a22a工字鋼的彎曲截面系