1、三角函數三角函數目錄同角三角函數間的基本關系式：三角函數的角度換算正余弦定理部分高等內容特殊三角函數值三角函數的計算三角函數定義域和值域初等三角函數導數三角函數是數學中屬于初等函數中的超越函數的一類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全。現代 數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復數系。由于三角函數的周期性，它并不具有單值函數意義上的反函數。三角函數在復數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數也是常用的工具。基本初等內容它有六種基本函數（初等

2、基本表示）：函數名 正弦余弦正切 余切 正割余割在平面直角坐標系xOy中，從點0引出一條射線OP，設旋轉角為0,設OP=r ,P點的坐標為（x, y）有正弦函數 sin 0 =y/r余弦函數 cos 0 =x/r正切函數 tan 0 =y/x余切函數 cot 0 =x/y正割函數 sec 0 =r/x余割函數 csc 0 =r/y（斜邊為r，對邊為y，鄰邊為X。）以及兩個不常用，已趨于被淘汰的函數：正矢函數 versin 0 =1- cos 0余矢函數 covers 0 =1-sin 0編輯本段同角三角函數間的基本關系式：平方關系：sinA2( a )+cosA2( a )=1 cosA2a=

3、(1+cos2a)/2tan2( a )+ 仁secA2( a ) s inA2a=(1-cos2a)/2cotA2( a )+1=cscA2( a)積的關系：sin a =tan a *cos acos a =cot a *Sin atan a =sin a *sec acot a =cos a *CSC asec a =tan a *csc acsc a =sec a *COt a倒數關系：tan a cot a =1sin a csc a =1cos a sec a =1直角三角形 ABC中，角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊，余弦等于角 A的鄰邊比斜邊正切等于對邊比鄰邊 ，三角函數恒等

4、變形公式兩角和與差的三角函數：cos( a + 3 )=cos a cos-sin a sin 3cos( a- 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3sin( a3 )=sin a cos 3 土 cos a sin 3tan( a + 3 )=(tan a +tan 3 )/(1an a tan 3)tan( a- 3 )=(tan atan 3 )/(1+tan a tan 3)三角和的三角函數：sin( a + 3 + y )=sin a cos 3，cos 丫 +cos a sin 3，cos 丫 +cos a-coisssin sin 丫cos( a + 3 +

5、y )=cos a cos 3 cosoy a sin 3，sininy a cos 3 siisiry a sin 3，cos 丫tan( a + 3 + y )=(tan a +tan 3 +tdjanYa tan 3，tan -ta/(1a tan-tan 3，tan-tyn 丫 tan a)輔助角公式：As in a +Bcosa =(AA2+BA2)A(1/2)s in( a +t)，其中si nt=B/(AA2+BA2)A(1/2)cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)tant=B/AAs in a +Bcosa =(AA2+BA2)A(1/2)cos( a -t) , ta

6、n t=A/B倍角公式：si n(2 a )=2s in a cos a =2/(ta n a +cot a)cos(2a )=cosA2( a)-sinA2( a )=2cosA2( a)-1=1- 2sinA2( a) tan(2 a )=2tan a /1-tanA2( a )三倍角公式：sin(3 a )=3sin a-4sinA3( a)cos(3 a )=4cosA3( a) -3cosa半角公式：sin( a /2)= V(cos a )/2)cos( a /2)= V (1+cos a )/2)tan( a /2)= V (cos a )/(1+cos a )=sin a /(

7、1+cos a )=(1cos a )/sin a降幕公式sinA2( a )=(1-cos(2 a )/2=versin(2 a )/2 cosA2( a )=(1+cos(2 a )/2=covers(2 a )/2 tanA2( a )=(1-cos(2a )/(1+cos(2 a )萬能公式：sin a =2tan( a /2)/1+tanA2( a /2) cosa =1-tanA2( a /2)/1+tanA2( a /2)tan a =2tan( a /2)/1 -tanA2( a /2)積化和差公式：sin acos3 =(1/2)si n(+3 )+sin-(3a)cosas

8、in3 =(1/2)sin(-+s3in)( a-3 )cosacos3 =(1/2)cos(+3 )+cos(-3a )sin a3-(=1/2)cos(和差化積公式：sin+3-)cos( a-3 )sin a +sin 3 =2sin( a +3 )/2cos( - 3a)/2 sin a-sin 3 =2cos( a +3 )/2sin( -3a)/2 cosa +cos3 =2cos( a +3 )/2cos(a-3 )/2cosa-cos3=-2sin( a +3 )/2sin( -3a)/2 推導公式tan a +cot a =2/sin2 atan a-cot a =-2cot

9、2 a1+cos2a =2cosA2a1-cos2a =2sinA2 a1+sin a =(sin a /2+cos a /2)A2其他：sin a +sin( a +2 n /n)+sin( a +2 n *2/n)+sin( a +2 n *3/n)+ +sin a +2 n *(i)/n=0cos a +cos( a +2 n /n)+cos( a +2 n *2/n)+cos( a +2 n *3/n)+ +cos a +2 n *(n -1)/n=0以及sinA2( a )+sin2( a2 n /3)+sinA2( a +2n /3)=3/2ta nAta nBta n(A+B)+

10、ta nA+ta nB-ta n(A+B)=0cosx+cos2x+.+cos nx= sin(n +1)x+s inn x-s in x/2s inx證明：左邊=2s in x(cosx+cos2x+.+cos nx)/2s inx=s in 2x-0+s in 3x-s in x+s in4 x-s in 2x+.+sinn x-si n(n-2)x+si n(n+1)x-s in(n-1)x/2si nx(積化和差)=si n(n +1)x+si nn x-si nx/2si nx=右邊等式得證sin x+s in 2x+.+s innx= - cos( n+1)x+cos nx-cos

11、x-1/2s inx證明：左邊 =-2s in xs in x+si n2x+.+si nn x/(-2s inx)=cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cos nx-cos (n-2)x+cos (n+1)x-cos (n-1)x/(-2s inx)=-cos (n+1)x+cos nx-cosx-1/2s inx=右邊等式得證編輯本段三角函數的角度換算公式一：設a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等:sin(2k n+a)=sinacos(2k n+a):=cos atan(2k n+a)=tanacot(2k n+a)=cota公式:a的三角函數值之間的關系:設a為任

12、意角，n + a的三角函數值與 sin ( n+ a) = sin acos ( n + a)= cos atan ( n+ a) = tan acot ( n+ a) = cot a公式三:任意角a與-a的三角函數值之間的關系:sin(a)=sin acos(a)=cos atan(a)=tan acot(a)=cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到sin(n a)=sin acos(n -a)=cos atan(n -a)=tan acot(n a)=cot an- a與a的三角函數值之間的關系:公式五：利用公式一和公式三可以得到2n- a與a的三角函數值之間的關系:sin ( 2

13、n a)= sin aCOS ( 2 n a) = COS atan ( 2 n a) = tan aCOt ( 2 n a) = COt a公式六：n /2:及 3 n /2 : o與a的三角函數值之間的關系sin(n /2+a)=cos acos(n /2+a):=sin atan(n /2 +a)=cot acot(n /2 +a)=tan asin(n /2a)=cos acos(n /2a):=sin atan(n /2 a)=cot acot(n /2 a)=tan asin(3n /2 +a)=cos acos(3 n /2 + a)=sin atan(3n /2 +-a)=co

14、t acot(3n /2 +-a)=tan asin(3n /2 a)=cos acos(3n /2-a)=sin atan(3 n /2 a)=cot acot(3n /2 -a)=tan a（以上k Z)編輯本段正余弦定理正弦定理是指在一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即a/si nA=b/si nB=c/si nC=2R余弦定理是指三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它 們夾角的余弦的積的2倍，即aA2=bA2+cA2-2bc cosA編輯本段部分高等內容高等代數中三角函數的指數表示（由泰勒級數易得）：si nx=eA(ix)-eA(-ix)/(2i)cos

15、x=eA(ix)+eA(-ix)/2ta nx=eA(ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)泰勒展開有無窮級數，eAz=exp(z) = 1 + z/1 ! + zA2/2 ! + zA3/3 ! + zA4/4 ! + + zAn/n ! + 此時三角函數定義域已推廣至整個復數集。三角函數作為微分方程的解：對于微分方程組y=-y”;y=y”，有通解Q,可證明Q=As in x+Bcosx，因此也可以從此出發定義三角函數。補充：由相應的指數表示我們可以定義一種類似的函數一一雙曲函數，其擁有很多與三角函數的類似的性質，二者相映成趣。編輯本段特殊三角函數值a O 30 45 60

16、 90sina 0 1/2 V2/2 V3/2 1cosa 1 V3/2 Vl2 1/2 0tana 0 V3/3 1 V3 Nonecota None V3 1 V3/3 0編輯本段三角函數的計算幕級數c0+c1x+c2x2+.+cnxn +.=刀cnxn (n=0. g)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+c n(x-a)n+.=刀 cn( x-a )n (n=0. g)它們的各項都是正整數幕的幕函數，其中c0,c1,c2,. 及a都是常數，這種級數稱為幕級數.泰勒展開式(幕級數展開法):f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.f( n)(a

17、)/n!*(x-a )n+.實用幕級數：ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+.+x n/n!+.In(1+x)= x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+. (|x|1)sin x = x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+. (-g xg)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-g xg)arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . (|x|1)arccos x = n - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . ) (

18、|x|1)arctan x = x - xA3/3 + xA5/5 -. (x 1)sinh x = x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+. (-g xg)cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-g xg)arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - . (|x|1)arctanh x = x + xA3/3 + xA5/5 + . (|x|1)在解初等三角函數時，只需記住公式便可輕松作答，在競賽中，往往會用到與圖 像結合的方法求三角函數值、三角函數不等式、面積等等。傅立葉級數(三角級數)f(x)=a0/2+ 刀(n=0. g) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/ n/ ( n-.n ) (f(x)dxan=1/ n/ ( n-.n ) (f(x)cosnx)dxbn=1/ n/ ( n-.n ) (f(x)sinnx)dx三角函數的數值符號第三，四象限為負第二，三象限為負第二，四象限為負正弦 第一，二象限為正， 余