1、會計學1理解傅里葉級數理解傅里葉級數10.5.6 小結10.5.1 三角級數與三角函數系的正交性 10.5.2 以 為周期的函數的傅里葉級數 10.5.3 區間 上函數的傅里葉級數 2, 10.5.4 正弦級數和余弦級數 10.5.5 以 為周期的函數的傅里葉級數 l 2第1頁/共27頁10.5.1 三角級數與三角函數系的正交性 函數項級數 )sincos(210nxbnxaannn稱為三角級數， 其中 ), 2 , 1(,0nbaann是常數 稱函數族 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx為三角函數系 第2頁/共27頁三角函數系的正交性是指： 三角函數系

2、中 任何兩個不同的函數的乘積在區間 , 上 的積分等于零 即 0cosnxdx1,2,n 0sinnxdx1,2,n 0cossinnxdxkx,1,2,k n 0sinsinnxdxkx,1,2,k n kn0coscosnxdxkx,1,2,k n kn第3頁/共27頁,212dxnxdx2cos1,2,n nxdx2sin1,2,.n 10.5.2 以 為周期的函數的傅里葉級數 2通常，由下述公式確定的 ), 2 , 1(,0nbaann稱為函數 )(xf的傅里葉系數 ,)(10dxxfa第4頁/共27頁,cos)(1nxdxxfan1,2,n ,sin)(1nxdxxfbn1,2,.n

3、 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf將傅里葉系數值代入 展開式的右端 )(xf得到的三角級數 10)sincos(2nnnnxbnxaa稱為函數 )(xf的傅里葉級數 第5頁/共27頁定理1（收斂定理，狄利克雷充分條件）設 )(xf是周期為 2的周期函數 如果它滿足 在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷 點 在一個周期內至多只有有限個極值點 則 )(xf的傅里葉級數收斂 并且： (1) 當 x是 )(xf的連續點時 級數收斂于 ; )(xf(2) 當 x是 )(xf的間斷點時 級數收斂于 .)0()0(21xfxf第6頁/共27頁例1 設 )(xf是周期為 2的周期函數 它在

4、 , ) 上的表達式為 ,0 1 0 1)(xxxf將 )(xf展開成傅里葉級數 解 所給函數 )(xf滿足收斂定理的條件，函數在點 xk(0, 1,2,)k 處不連續 在其它點處連續， 從而由收斂定理知道 )(xf的傅里葉級數收斂，并且當 xk時收斂于 第7頁/共27頁0) 11(21)0()0(21xfxf當 xk時級數收斂于 . )(xf傅里葉系數計算如下 1( )cosnaf xnxdx0011( 1)cos1 cos0nxdxnxdx(0,1,2,)n nxdxxfbnsin)(100sin11sin) 1(1nxdxnxdx第8頁/共27頁00cos1cos1nnxnnx 1cos

5、cos1 1nnn2(1 ( 1) )nn 6, 4, 2, 0 , 5 , 3 , 1 4nnn于是 )(xf的傅里葉級數展開式為 ) 12sin(121 3sin31sin4)( xkkxxxf第9頁/共27頁10.5.3 區間 上函數的傅里葉級數 , 例2 將函數 0, 0,)(xxxxxf展開成 傅里葉級數 解 將函數 )(xf延拓成以 2為周期的函數 , )(xF易知，函數 )(xF滿足收斂定理的條 件，傅里葉系數為 00d2d)(1d)(1xxxxfxxFa2022x第10頁/共27頁dcos)(1dcos)(1xnxxfxnxxFan020cossin2dcos2nnxnnxxx

6、nxx224212(21)(cos 1)02nkknnnk),2,1(k0dsin)(1dsin)(1xnxxfxnxxFbn所以，函數 )(xf的傅里葉級數展開式為 22411( )(coscos3cos5)235f xxxx).(x第11頁/共27頁10.5.4 正弦級數和余弦級數 一、正弦級數和余弦級數 定理2 對于周期為 2的奇函數 , )(xf其傅里葉 級數為正弦級數，即傅里葉系數為 0 (0,1, 2,),nan,sin)(20nxdxxfbn(1, 2,)n 周期為 2的偶函數 , )(xf其傅里葉級數為 余弦級數，即傅里葉系數為 第12頁/共27頁,cos)(20nxdxxfa

7、n(1, 2,)n 0nb (1, 2,).n 例3 將周期函數 tEtusin)(展開成傅里葉級數，其中 E為正常數 解 不妨將 )(tu看成是 2為周期的函數， 滿足 收斂定理，先計算傅里葉系數 0(1, 2 ,)nbn4dsin2d)(2000EttEttua第13頁/共27頁0d2sin01ttEa00dcossin2dcos)(2tnttEttntuan0d) 1sin() 1sin(ttntnE242(41)021Enkknk),2,1(k從而函數 )(tu的傅里葉級數是一個余弦級數 122cos14142)(kkxkEEtu第14頁/共27頁)6cos3514cos1512cos

8、3121(4tttE. )(t二、區間 上的函數的傅里葉級數0, 0, 將一個定義在 上的函數)(xf進行拓展)0 ,(),(0, 0, 0(),()(xxfxxxfxF這樣構造的函數 )(xF在 ),(上是一個奇 函數，按這種方式拓展函數定義域的過程稱為奇延拓。第15頁/共27頁同理，構造函數 為 )(xF)0 ,(),(, 0),()(xxfxxfxF按這種方式拓展函數定義域的過程稱為偶延拓 例4 將函數 )0(1)(xxxf分別展開成 正弦級數和余弦級數 解 先展開成正弦級數 對函數 )(xf作奇延拓， 再作周期延拓，滿足收斂定理的條件 按公式計算傅里葉系數 第16頁/共27頁00dsi

9、n) 1(2dsin)(2xnxxxnxxfbn02cossincos2nnxnnxnnxx)coscos1 (2nnn22212112nkknkk),2, 1(k從而可得正弦級數 第17頁/共27頁221(2)sinsin2sin3sin4)234xxxxx )0( x其中在端點 , 0 x處，級數的和為0 再把函數展開成余弦級數 對函數 )(xf作奇 延拓，再作周期延拓，滿足收斂定理的條件 按公式計算傅里葉系數2)2(2d) 1(20200 xxxxa0dcos) 1(2xnxxan第18頁/共27頁02sincossin2nnxnnxnnxx) 1(cos22nn2421(21)02nk

10、knk),2, 1(k從而可得余弦級數 2241111coscos3cos5235xxxx (0)x第19頁/共27頁10.5.5 以 為周期的函數的傅里葉級數 l 2定理3 設周期為 l 2的周期函數 )(xf滿足收斂 定理條件，則它的傅里葉級數當 x是 )(xf的連 續點時，有 01( )(cossin)2nnnanxnxf xabll其中 ),2, 1(,dsin)(1),2, 1,0(,dcos)(1nxlxnxflbnxlxnxflallnlln第20頁/共27頁例5 設 )(xf是周期為4的周期函數 它在 2,2)上的表達式為 20 02 0)(x k x xf將 )(xf展開成傅

11、里葉級數，其中 k為非零 常數 解 這里 2l 02sin2cos212020 xnnkdxxnkankkdxdxa2002021021第21頁/共27頁22001sincos222nn xkn xbkdxn 2 1, 3, 5, (1 cos)0 2, 4, 6, knknnnn 于是 ) 25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf(,0, 2, 4,)xx 且在點 0, 2, 4,x 處 )(xf的傅里葉級數 收斂于 .2k第22頁/共27頁例6 將函數 )20()(xxxf展開成 （1）正弦級數； （2）余弦級數 解 （1）將 )(xf先作奇延拓，再作周期延拓，計算傅里葉系數得 ),2, 1,0(0nanxxnxbnd2sin222022022cossin22nxnxxnn第23頁/共27頁),2, 1() 1(4cos41nnnnn從而可得正弦級數 ,2sin) 1(4)(11xnnxfnn)20( x（2）將 )(xf先作偶延拓，再作周期延拓， 計算傅里葉系數得 2d22200 xxaxxnxand2cos2220第24頁/共27頁22022sincos22nxnxxnn 1) 1(422nn