1、第六章旋轉(zhuǎn)流體動力學 前面討論的流體運動，是在慣性坐標系下進行的；并沒有考慮地球的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。 地球自身以一定速度自轉(zhuǎn)，而地球的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，將會對地球大氣、海洋等流體的運動產(chǎn)生很顯著的影響。 假設(shè)考慮流體運動的參考系，本身是以一定的角速度繞軸轉(zhuǎn)動的；那么，這種參考系稱為旋轉(zhuǎn)參考系，而相對于旋轉(zhuǎn)參考系的流體運動則稱之為旋轉(zhuǎn)流體運動。大多數(shù)的地球物體流體力學所關(guān)心的大量問題均屬于旋轉(zhuǎn)流體動力學問題。高低高低 主要內(nèi)容： 第一節(jié) 旋轉(zhuǎn)參考系中的流體運動方程第二節(jié) 旋轉(zhuǎn)流體的無量綱方程和 Rossby 數(shù)第三節(jié) 普魯?shù)侣├斩ɡ淼谒墓?jié) 地轉(zhuǎn)流動 本章將主要介紹考慮地球旋轉(zhuǎn)效應(yīng)下的流體運動，討論旋轉(zhuǎn)流體運動

2、的控制方程，了解旋轉(zhuǎn)效應(yīng)所引起的流體流動特性變化，并通過方程的分析揭示在地球旋轉(zhuǎn)效應(yīng)影響下所出現(xiàn)的特殊的流體運動、現(xiàn)象及其物理描述。第一節(jié) 旋轉(zhuǎn)參考系中的流體運動方程 eaVVV rVe 慣性坐標系與旋轉(zhuǎn)坐標系中的運動速度之間滿足： 絕對速度相對速度牽連速度牽連速度：由于引進旋轉(zhuǎn)坐標系而產(chǎn)生的。由于旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動角速度rdtrddtrda 速度-矢徑隨時間的變化 eaVVV dtddtda通常，引進微分算子： 絕對變化項相對變化項牽連變化項AdtAddtAda 該算子是聯(lián)系慣性坐標系與旋轉(zhuǎn)坐標系的普遍關(guān)系。對于任意矢量 ，滿足：AkAjAiAAzyx （慣性）靜止坐標系絕對坐標系單位坐標矢量為

3、常矢量旋轉(zhuǎn)坐標系相對坐標系kAjAiAAzyx單位坐標矢量可變kdtAdjdtAdidtAddtAdzayaxaakdtAdjdtAdidtAddtAddtAdzyxrdtkAjAiAddtAdzyxaadtkdAdtjdAdtidAkdtAdjdtAdidtAddtAdazayaxzayaxaa 展開kdtAdjdtAdidtAddtAdzyx標量在絕對坐標系和相對坐標系中的時間微商相同。AdtAddtAdrakAjAiAdtAddtAdzyxraidtidakdtkdajdtjdaii dtddtdardtrddtrda eaVVV 關(guān)于標量的說明：上述算子只適用于矢量的情形，而標 量的絕

4、對變化與相對變化沒有差別。牛頓第二定理：流體運動方程，反映了流體運動狀態(tài)的變化與所受合力的關(guān)系，必須指出：牛頓第二定理是建立在慣性坐標系的基礎(chǔ)上的，即：iiaaFdtVd考慮地球的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，引進的旋轉(zhuǎn)坐標系；前面給出旋轉(zhuǎn)坐標系與慣性坐標系之間的基本關(guān)系，以下通過分析，得出適用于描述旋轉(zhuǎn)流體的運動方程。rVdtrVddtVdaa)(2rVdtVddtVdaaaaaaVdtVddtVdaadddddtdtdtdt 0)(2rVdtVddtVdaaRRr2)()(RrRVdtVddtVdaa22aaad VFpVdt 21()()()()aVVrrxiyjzkrxiyjzkxyz 222222222

5、20RVVpFdtVd2221 aad VFpVdt 21RVdtVddtVdaa22慣性力項地轉(zhuǎn)偏向力rrrgmF2 VVpgdtVd212 萬有引力（地心引力）與慣性力項合成重力項，于是： R2gF旋轉(zhuǎn)流體力學運動方程上述方程中，如果考慮旋轉(zhuǎn)坐標系的自轉(zhuǎn)角速度為0，方程中的科氏力（地轉(zhuǎn)偏向力）與慣性離心力不存在，方程退化為NS方程。地轉(zhuǎn)偏向力的討論：引進了旋轉(zhuǎn)坐標系之后或者說考慮了地球的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)之后，出現(xiàn)了地轉(zhuǎn)偏向力（或稱柯氏力）。從它的表達式不難看出，偏向力與流速相垂直，且它只改變流速的方向；并且沿著流向觀測。對于地球流體運動而言，偏向力使流體向右偏轉(zhuǎn)（北半球）。V2Vk2V2地轉(zhuǎn)偏向力

6、偏向力的出現(xiàn)，完全是由于旋轉(zhuǎn)參考系下觀測流體運動所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，在流體的運動方程中，增加了偏向力項，從而成為旋轉(zhuǎn)流體方程。 在地球物理流體力學或大氣動力學中，流體運動方程大多數(shù)是采用旋轉(zhuǎn)流體運動方程的（除小尺度運動外）。但必須注意：旋轉(zhuǎn)效應(yīng)與流體運動的尺度密切相關(guān)。旋轉(zhuǎn)系中觀察直線運動旋轉(zhuǎn)系中觀察直線運動第二節(jié) 旋轉(zhuǎn)流體的無量綱方程和Rossby數(shù) 為了進一步研究旋轉(zhuǎn)流體運動的需要，通常需要對旋轉(zhuǎn)流體運動方程進行分析和簡化。本節(jié)將導出旋轉(zhuǎn)流體運動的無量綱方程，為旋轉(zhuǎn)流體運動方程的分析和簡化提供依據(jù)，并介紹旋轉(zhuǎn)流體力學中常用到的幾個特征無量綱數(shù)。一、選取特征尺度 首先選取進行尺度分析所需的各物

7、理量的特征尺度：特征長度尺度： L特征速度尺度： U特征時間尺度： T重力加速度特征量： g密度特征量：旋轉(zhuǎn)參考系的自轉(zhuǎn)角速度特征量：0 22020LU 、考慮到討論 1的極限情形，通常選取最大有效尺度 作為壓力差的尺度。 LU /220L 特征壓力差可以取兩種不同的尺度：二、旋轉(zhuǎn)流體運動的無量綱方程 dVgpVl Vdt 212() VVVpgVl Vt 212TULU2LL0220 2LU U g T1LUUL2L 1Ug() krLVRVVpgEVlVUTtRF 2001112 ()() () VULgVVpgVlVTtLUULULVgVVpgVlVUL UTtLLL 222221121

8、12 RO1/FrEk旋轉(zhuǎn)流體運動的無量綱方程三、幾個常用的無量綱數(shù) 1、羅斯貝數(shù)：本質(zhì)上與前面的定義： 一致，是衡量旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的一個重要量。 LUULUR/20特征偏向力特征慣性力/sinRUfLUL 02由Rossby數(shù)的定義可知： RO 1 ，偏向力的作用大，旋轉(zhuǎn)效應(yīng)重要； RO 1，偏向力的作用小，可不考慮地球的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。另外的角度來考慮：大尺度運動（L大），流速緩慢（U小）偏差大 RO 1，旋轉(zhuǎn)效應(yīng)重要，采用旋轉(zhuǎn)流體運動方程； 中小尺度運動，流速快偏差小 RO 1，可以不考慮地球的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，采用一般的流體運動方程。2、埃克曼數(shù)2LEk 特征偏向力特征粘性力/eULULRUL 22特特征

9、征慣慣性性力力特特征征粘粘性性力力主要反映粘性的重要程度（與流體邊界層、Ekman層有關(guān)）。/keRULELULR 02特特征征粘粘性性力力特特征征偏偏向向力力4、旋轉(zhuǎn)流體的特征壓力 222LUP 1100RR3、旋轉(zhuǎn)流體的弗雷德數(shù)gLLgLFr/)(22重力旋轉(zhuǎn)慣性力gLUFr2重力慣性力衡量旋轉(zhuǎn)作用與重力的相對重要性。反映了流體運動與壓力之間的相互制約關(guān)系，通常分如下兩種情況：第三節(jié) 泰勒普魯?shù)侣ɡ硇D(zhuǎn)與非旋轉(zhuǎn)流體動力學的本質(zhì)差別在于地轉(zhuǎn)偏向力的作用。旋轉(zhuǎn)流體運動的無量綱方程為：VkVEgFpRVVtVUTLRkr2111)(200 為了突出旋轉(zhuǎn)流體的主要特征，下面著重討論以偏向力有重要

10、作用的流體運動，此時，在運動方程中，偏向力項遠遠大于運動的慣性項和粘性項。假定流體運動滿足： RO 1 或者RO 0（即 Rossby 數(shù)很小）；ekRRE00同時要求： RO L/UT 0 （即要求T很大，1/T 0，即 對應(yīng)緩慢運動或者準定常流動）。() krLVRVVpgEVlVUTtRF 2001112 此時，無量綱方程變?yōu)椋簂VpgRFr 01112 () krLVRVVpgEVlVUTtRF 2001112 方程進一步處理： 考慮壓力梯度力項：假設(shè)流體不可壓：)(1 ppconst可見：上述情況下可將流體的壓力梯度項表示為其函數(shù)的梯度。重力項：gFr11,ggggFrzkFrgFr

11、)(11考慮（有勢力）lVpgRFr 01112 ()zlVF pRFr 012 方程變?yōu)椋簾o量綱方程流體不可壓有勢力()zlVF pRFr 012 )()()()()(abbabaabba(l V )(V)l(l)Vl (V ) V (l ) 根據(jù)矢量運算法則()lV 0 對上式取旋度由于是 常矢量， 而由不可壓連續(xù)方程可知，于是：l 0 V()()lVlV 0 (l V )(V)l(l)Vl (V ) V (l ) 、00通常取于是有：kwjviuV0/zwzvzu流體運動不隨高度變化。最后有：0/0)(zVVk在笛卡爾坐標系中，取 z 為與旋轉(zhuǎn)軸平行的坐標，則考慮下邊界平坦時，邊界條件為

12、：00, 0wwz 0w00/wzvzu此時，流體無垂直運動，運動為水平的，且水平運動不隨高度變化，即為水平的二維運動。任何高度上恒有：zw/普魯?shù)侣?泰勒定理：不可壓流體，在有勢力作用下的準定常緩慢運動，由于強旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，其速度將與垂直坐標無關(guān)，流動趨于兩維化（流動是水平、二維的）。 普魯?shù)侣?泰勒定理的檢驗： 泰勒流體柱實驗（P105)。 泰勒流體柱實驗第四節(jié) 地轉(zhuǎn)流動 普魯?shù)侣├斩ɡ淼臈l件下，旋轉(zhuǎn)流體運動中的偏向力作用為主要作用項，相對加速度項和粘性項可忽略不計。（理論分析）本節(jié)介紹滿足普魯?shù)侣├斩ɡ淼牡湫土黧w運動地轉(zhuǎn)流動。0/, 0Re/, 0000UTLRREkR滿足普魯?shù)侣├斩?/p>

13、理的條件下，旋轉(zhuǎn)流體運動中的偏向力作用為主要作用項，相對加速度項和粘性項可忽略不計：() LVRVVpgEkVlVUTtRFr 2001112 pglVRFr 011120 無量綱式簡化的無量綱方程gpV 102Vgp21 有量綱方程可以簡化為：由它所控制的流體運動稱之為地轉(zhuǎn)運動。式中 為地球自轉(zhuǎn)角速度矢。Vgp21 為了更好的說明地轉(zhuǎn)流動現(xiàn)象，對方程進行必要的分析：分析方程在局地直角坐標中的形式：xyzkwj viuV地球表面上的局地直角坐標系 sincos0kjikgg在局地直角坐標中的分量形式為：而重力項則具有如下形式： cos sin ukujwviwvukjiV cos2sin2cos2sin2sincos022 sincos0kjiguzpuypwvxp cos2sin2cos2sin2于是，可以得到地轉(zhuǎn)運動方程的分量形式： sin2fpfvxpfuypgz 以上就是動力氣象學中常用的地轉(zhuǎn)運動方程和靜力平衡方程。可以將其寫成如下的近似式：地轉(zhuǎn)運動方程靜力平衡hhVkpf 1hhpfk V 10水平壓力梯度力與水平柯氏力平衡的運動地轉(zhuǎn)流動。地轉(zhuǎn)流動是相對加速度柯氏加速度的流體運動，柯氏力與流速相垂直，且指向流動方向的右側(cè)；流速垂直于氣壓梯度力，平行于等壓線。水平運動滿足：P0 P1 P2 氣壓梯度力 柯氏力氣旋與反氣旋的簡單介紹高壓低壓地轉(zhuǎn)流動