1、會計學1振動振動第1頁/共62頁2.特點特點:(1)平衡位置平衡位置振動停止時物體所在的位置振動停止時物體所在的位置.-“對稱性對稱性”(2)往復運動往復運動 -“周期性周期性”嘗試再舉一些例子？嘗試再舉一些例子？第2頁/共62頁小鳥飛離后顫動的小鳥飛離后顫動的樹枝樹枝第3頁/共62頁第4頁/共62頁第5頁/共62頁一、簡諧振動的特征一、簡諧振動的特征任何一個任何一個稍微偏離平衡稍微偏離平衡狀態的穩定系統狀態的穩定系統，都可，都可看成簡諧振子。對于物看成簡諧振子。對于物理學中的許多問題，諧理學中的許多問題，諧振子都可以作為一個近振子都可以作為一個近似的或相當精確的模型似的或相當精確的模型晶格點

2、陣晶格點陣第6頁/共62頁簡諧振動的動力學方程簡諧振動的動力學方程221)(kxxU質點所受的力（回復力）與對平衡位置的位移質點所受的力（回復力）與對平衡位置的位移成正成正比且比且反向反向，或質點的勢能與位移（角位移）的平方成正比的，或質點的勢能與位移（角位移）的平方成正比的運動，就是運動，就是簡諧振動簡諧振動。這種振動系統稱為諧振子。這種振動系統稱為諧振子。20/km令kxxm 020 xx )cos()(00tAtx其解：其解：彈性力彈性力kmoxxFkx 第7頁/共62頁簡諧振動簡諧振動凡是以時間的正弦或余弦函數表凡是以時間的正弦或余弦函數表 示的運動都是簡諧振動示的運動都是簡諧振動)c

3、os()(0otAtx 簡諧振動的運動學描述簡諧振動的運動學描述結論結論：kmoxx以彈簧振子為例以彈簧振子為例系統位移的運動規律系統位移的運動規律其中其中 由系統自身決定由系統自身決定0第8頁/共62頁簡諧振動的速度簡諧振動的速度00dsin()cos()d2xAtAtt v簡諧振動的加速度簡諧振動的加速度2200dcos()cos()daAtAtt v簡諧振動的加速度為變加速度簡諧振動的加速度為變加速度2ax 位移與加速度反相位移與加速度反相)cos()(0otAtx第9頁/共62頁xvaOOOtttAA2Ax-tv-ta-t第10頁/共62頁)(sin21210022022tmAmVEk

4、 簡諧振動的勢能：簡諧振動的勢能： );(cos212100222tkAkxEp簡諧振動的能量簡諧振動的能量以水平的彈簧振子為例以水平的彈簧振子為例)(sin210022tkAkmoxX 簡諧振動的動能：簡諧振動的動能：)cos()(00tAtxmk /0ddpEfkxx 第11頁/共62頁2002002221)(cos)(sin21kAttkApkEEE 簡諧振動的總能量簡諧振動的總能量彈性力是保守力總機械能守恒，彈性力是保守力總機械能守恒，即總能量不隨時間變化即總能量不隨時間變化AkEpE221kAEAo第12頁/共62頁222020041cos2kAdxxTkA勢能的時間平均值勢能的時間

5、平均值: :TPdttkATE00022)(cos211動能的時間平均值動能的時間平均值: :TkdttkATE00022)(sin211222020041sin2kAdxxTkA第13頁/共62頁 * * 振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，而且振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，而且還還 反映了振動系統總能量的大小及振動的反映了振動系統總能量的大小及振動的強度。強度。* * 任一簡諧振動總能量與振幅的平方成正比任一簡諧振動總能量與振幅的平方成正比* * 即彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且即彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且 等于總機械能的一半等于總機械能的一半結論：第14頁/共62頁簡諧振動

6、的周期和頻率、角頻率簡諧振動的周期和頻率、角頻率)(cos00nTtA)2cos()cos(0000ntAtA)2(cos000ntA02T210TmkTo2叫做叫做周期周期，每隔，每隔T 時間運動完全重復時間運動完全重復稱為稱為振動頻率振動頻率，單位時間內振動的次數，單位時間內振動的次數稱為角頻率（或圓頻率）稱為角頻率（或圓頻率）即單位時間內相位的變化值即單位時間內相位的變化值20km第15頁/共62頁)cos()(00tAtx0 初相位初相位A-振幅振幅 振動中最大位移量振動中最大位移量簡諧振動的振幅、相位、初相位簡諧振動的振幅、相位、初相位簡諧振動除用余弦函數形式表達外還可以用正弦函數簡

7、諧振動除用余弦函數形式表達外還可以用正弦函數)cos()(00tAtx) sin() 2/sin(0000tAtA00)(tt相位相位0角頻率角頻率相同的運動狀態對應相位差為相同的運動狀態對應相位差為 的整數倍的整數倍2第16頁/共62頁由初始狀態確定由初始狀態確定0,A00cosxA 00sinA v2200Ax2v000tanx v要由要由 的方向唯一確定的方向唯一確定00v)cos()(00tAtx例題11.1-1 P78第17頁/共62頁1020100200)()(tt兩個同頻率簡諧振動的相位差兩個同頻率簡諧振動的相位差1020 0 20超前超前 100 20落后落后 102n 同相同

8、相（2n 1） 反相反相)cos()(00tAtx第18頁/共62頁二、簡諧振動的旋轉矢量表示法二、簡諧振動的旋轉矢量表示法Aox0to以以O O點起始點作一矢量點起始點作一矢量長度等于簡諧振動的振幅長度等于簡諧振動的振幅矢量在矢量在Oxy平面內繞平面內繞O點逆時針勻速旋轉點逆時針勻速旋轉其角速度與簡諧振動的角頻率其角速度與簡諧振動的角頻率旋轉矢量，或振幅矢量旋轉矢量，或振幅矢量 AxyPOxM0M0tt時刻，旋轉矢量在時刻，旋轉矢量在x軸上的投影為軸上的投影為0cos()xAt對應：對應：旋轉矢量端點旋轉矢量端點MM在在x軸上的投影軸上的投影 P P在在x軸上以軸上以O為原點簡諧振動為原點簡

9、諧振動 第19頁/共62頁M M點的速率為點的速率為MAv=P P點的速率為點的速率為P0sin()At v = -M M點的加速度為向心加速度點的加速度為向心加速度2MaA=2P0cos()aAt = -P P點的加速度為點的加速度為xyPOxM0M0t例題11.1-2 P81第20頁/共62頁1）力矩）力矩 : 力臂力臂d 力力 在轉動平面內在轉動平面內. 對對轉軸轉軸 Z 的力矩的力矩 FFMrFsinMFrFdPz*OMFrdM第21頁/共62頁irPov2iirmJ稱為剛體對轉軸的稱為剛體對轉軸的轉動慣量轉動慣量2）轉動慣量：組成剛體的各質元的質量與各自到轉軸的距離的平方的乘積MJ3

10、）轉動定律）轉動定律 剛體在總外力矩剛體在總外力矩Mz作用下，作用下，所獲得的角加速度與所獲得的角加速度與總外力矩成正比，與轉動慣量成反比總外力矩成正比，與轉動慣量成反比 . .Fma22200/3LLmJx dmxdx mLL第22頁/共62頁三、簡諧振動的典型問題三、簡諧振動的典型問題剛體繞過剛體繞過O O的水平軸小角度擺動的水平軸小角度擺動剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律22dsindCJmglt COOClmg負號表示：力矩總是使轉動回到平衡位置負號表示：力矩總是使轉動回到平衡位置角度很小角度很小22d0dCJmgltsin 復復擺擺MJsinMFr第23頁/共62頁22d0dCJmg

11、lt令2CmglJ 222d0dt 解得00cos()t可見復擺的定軸小角度轉動為簡諧振動2cJTmgL第24頁/共62頁12cll213Jml32gl第25頁/共62頁 單擺單擺0lg 在角位移很小的時候，單擺的振動是簡諧振動在角位移很小的時候，單擺的振動是簡諧振動角頻率角頻率,振動的周期分別為：振動的周期分別為：glTlg2200gmfsin當當 時時222sindMlFmlmgldt 垂直轉動定律轉動定律22dFldt垂直第26頁/共62頁振動的角頻率、周期完全由振動振動的角頻率、周期完全由振動系統本身來決定。系統本身來決定。 第27頁/共62頁簡諧振動的合成簡諧振動的合成一、同方向、同

12、頻率簡諧振動的合成一、同方向、同頻率簡諧振動的合成代數方法：代數方法：設兩個振動具有相同頻率，設兩個振動具有相同頻率，同一直線上運動，有不同的振幅和初相位同一直線上運動，有不同的振幅和初相位)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtxtAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAsinsincoscos)cos(tA 結論：合振幅合振幅仍然是同頻率的簡諧振動仍然是同頻率的簡諧振動第28頁/共62頁)cos(212212221AAAAA式中：式中：22112211coscossinsinAAAAarctg可見，當可見，當,

13、 2, 1, 0212kk21AAA合振幅最大合振幅最大2AA1A第29頁/共62頁2AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA幾何方法：幾何方法：)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg第30頁/共62頁)cos(212212221AAAAA上面得到：22112211coscossinsinAAAAarctg討論一討論一, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅最大合振幅最大2AA1A當當 稱為干涉相長稱為干涉相長21AA 12AA 第31頁/共62頁討論二討論二|21AAA當當 時，時， 稱為干稱為干涉相消涉相

14、消21AA 0A2AA1A討論三討論三1A2AA, 2, 1, 0) 12(12kk|2121AAAAAk12一般情況：一般情況：第32頁/共62頁 附附 同方向的同方向的N N個同頻率簡諧振動的合成個同頻率簡諧振動的合成 （用矢量合成法）（用矢量合成法）設它們的振幅相等，初相位依次差一個恒量設它們的振幅相等，初相位依次差一個恒量其表達式為：其表達式為：1aA3aNaROPMCNtatxcos)(1)cos()(2tatx)2cos()(3tatx)cos()(NtatxN第33頁/共62頁2/sin)2/sin(NaA 2/ )(NCOM2/ )(COP21NCOMCOP1aA3aNaROP

15、MCN上兩式相除得上兩式相除得)2/sin(2NRA )2/sin(2Ra 在在 OCPOCP中：中： 第34頁/共62頁合振動的表達式合振動的表達式即各分振動同相位時，合振動的振幅最大即各分振動同相位時，合振動的振幅最大討論討論1 1：)21cos() 2/sin() 2/sin(NtNa)cos()(tAtx當當, 2, 1, 02kkNaNaA) 2/sin() 2/sin(lim第35頁/共62頁討論討論2 2：即：即： 這時各分振動矢量依次相接，構成閉合的正多這時各分振動矢量依次相接，構成閉合的正多邊形，合振動的振幅為零邊形，合振動的振幅為零, 2, 1, 02kkN以上討論的多個分

16、振動的合成在說明光的干涉以上討論的多個分振動的合成在說明光的干涉和衍射規律時有重要的應用和衍射規律時有重要的應用)21cos() 2/sin() 2/sin()(NtNatxNk/2kNk 當當 且且0)/sin()sin(NkkaA第36頁/共62頁二、同方向、不同頻率簡諧振動的合成二、同方向、不同頻率簡諧振動的合成)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx利用三角函數關系式：利用三角函數關系式：2cos2cos2coscos)cos()cos()(21tAtAtx合成振動表達式：合成振動表達式：為了簡單起見，先討論兩個振幅相同，為了簡單起見，先討論兩個振幅相同，初相位也相同，在同

17、方向上以不同頻初相位也相同，在同方向上以不同頻率振動的合成。其振動表達式分別為：率振動的合成。其振動表達式分別為：第37頁/共62頁coscos)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (2124)2sin2sin2cos2(cos24)2sin2sin2cos2)(cos2sin2sin2cos2(cos242cos2cos242222附錄：附錄：三角函數關系式的證明三角函數關系式的證明第38頁/共62頁合成振動表達式：合成振動表達式：2)(cos2)(cos21212ttA)cos()cos()(21tAtAtx21與當當 都很大，且相差甚微時，可將都很大，且相差甚

18、微時，可將 視為振幅變化部分，視為振幅變化部分，合成振動是以合成振動是以 為角頻率的諧振動為角頻率的諧振動2/ )(12| 2/)cos(2|12tA其振幅變化的周期是由振幅絕對值變化來決定，其振幅變化的周期是由振幅絕對值變化來決定，即振動忽強忽弱，所以它是近似的諧振動這種即振動忽強忽弱，所以它是近似的諧振動這種合振動忽強忽弱的現象稱為合振動忽強忽弱的現象稱為拍拍。第39頁/共62頁1212)2(212單位時間內振動加強或減弱的次數單位時間內振動加強或減弱的次數叫拍頻叫拍頻顯然，拍頻是振動顯然，拍頻是振動 的頻率的兩倍的頻率的兩倍即拍頻為：即拍頻為：)2cos(12t)(txt第40頁/共62

19、頁三、振動方向垂直的同頻率簡諧振動的合成三、振動方向垂直的同頻率簡諧振動的合成設一個質點同時參與了兩個振動方向相互設一個質點同時參與了兩個振動方向相互垂直的同頻率簡諧振動，即垂直的同頻率簡諧振動，即);cos(101tAx)cos(202tAy10101sinsincoscosttAx20202sinsincoscosttAy)sin(sincoscos1020102201tAyAx第41頁/共62頁)sin(sincoscos1020102201tAyAx)sin(cossinsin1020102201tAyAx221222212sincos2AAxyAyAx)(1020具體形狀由相位差具體

20、形狀由相位差 決定決定質點的運動方向與質點的運動方向與 有關。當有關。當 時，時，質點沿順時針方向運動；當質點沿順時針方向運動；當 時，時，質點沿逆時針方向運動質點沿逆時針方向運動2021AA 當當 時，時，正橢圓退化為圓正橢圓退化為圓橢圓方程橢圓方程第42頁/共62頁討論討論1 1 0)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12在在 直線上的運動直線上的運動yx221222212sincos2AAxyAyAx第43頁/共62頁討論討論2 2)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直線上的振動。直線上的振動。討論討論3 32)(102012

21、22212AyAx所以是在所以是在X X軸半軸長為軸半軸長為 ， Y Y軸半軸長軸半軸長為為 的的橢圓方程，且橢圓方程，且順順時針旋轉時針旋轉。1A2Ayx第44頁/共62頁質點的軌道是圓。質點的軌道是圓。X X和和Y Y方向的相位差決定旋轉方向。方向的相位差決定旋轉方向。21AA 討論討論5 5討論討論4 4所以是在所以是在X X 軸半軸長為軸半軸長為 ， Y Y軸半軸長為軸半軸長為 的的橢圓方程，且橢圓方程，且逆逆時針旋轉時針旋轉。1A2A1222212AyAx23)(1020第45頁/共62頁討論討論6 6k21020為任意橢圓方程為任意橢圓方程32102121020，kk綜上所述綜上所

22、述：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動合成后，合成后，合振動在一直線上或者在橢圓上進行合振動在一直線上或者在橢圓上進行（直線是退化了的橢圓）當兩個分振動的振幅相等直線是退化了的橢圓）當兩個分振動的振幅相等時，橢圓軌道就成為圓時，橢圓軌道就成為圓第46頁/共62頁四、振動方向垂直、頻率不同的簡諧振動的合成四、振動方向垂直、頻率不同的簡諧振動的合成一般是復雜的運動軌道不是封閉曲線，即合成運一般是復雜的運動軌道不是封閉曲線，即合成運動不是周期性的運動動不是周期性的運動下面就兩種情況討論下面就兩種情況討論 視為同頻率的合成，不過兩個振視為同頻率的合成，不過兩個振動的相位

23、差在緩慢地變化，所以質點運動的軌動的相位差在緩慢地變化，所以質點運動的軌道將不斷地從下圖所示圖形依次的循環變化道將不斷地從下圖所示圖形依次的循環變化012120212當當 時是順時針轉時是順時針轉 時是逆時針轉時是逆時針轉第47頁/共62頁0124124312474521223第48頁/共62頁2 2、如果兩個互相垂直的振動頻率成整數比，、如果兩個互相垂直的振動頻率成整數比，合成運動的軌道是封閉曲線，運動也具有合成運動的軌道是封閉曲線，運動也具有周期周期-運動軌跡的圖形稱為李薩如圖形運動軌跡的圖形稱為李薩如圖形用李薩如圖形在用李薩如圖形在無線電技術中可無線電技術中可以測量頻率：以測量頻率：在示

24、波器上，垂直方向與水平方向同時輸入兩在示波器上，垂直方向與水平方向同時輸入兩個振動，已知其中一個頻率，則可根據所成圖個振動，已知其中一個頻率，則可根據所成圖形與已知標準的李薩如圖形去比較，就可得知形與已知標準的李薩如圖形去比較，就可得知另一個未知的頻率另一個未知的頻率2:1:yxTT第49頁/共62頁2 2 阻尼振動阻尼振動第50頁/共62頁KmT220 諧振子的阻尼振動諧振子的阻尼振動dtdxvfr 無阻尼的自由振動無阻尼的自由振動振動系統受介質的粘滯阻力與速度大小成正比，振動系統受介質的粘滯阻力與速度大小成正比，與其方向相反與其方向相反彈性力或準彈性力和上述阻力作用下的動力學方程彈性力或準

25、彈性力和上述阻力作用下的動力學方程xkxxm 第51頁/共62頁022022xdtdxdtxd稱稱 為振動系統的固有角頻率，稱為振動系統的固有角頻率，稱 為阻尼系數為阻尼系數0m2;20mkxkxxm 令令（1）阻尼較小時阻尼較小時， 此方程的解此方程的解：202220)cos()(0tAetxt這種情況稱為這種情況稱為欠阻尼欠阻尼阻力使周期增阻力使周期增大大第52頁/共62頁由初始條件決定A和初相位 ,設0000,)0(,0Vdtdxxxtt即有： 00000cossincosAAVAx,)(220020 xVxA0000 xxVtgt欠阻尼)(tx第53頁/共62頁tteCeCtx)(2)

26、(1202202)(202（2）阻尼較大時， 方程的解：21CC ， 是積分常數，由初始條件來決定，這種情況稱為過阻尼t過阻尼)(tx無振動發生第54頁/共62頁t臨界阻尼)(tx202稱之為臨界阻尼情況。它是振動系統剛剛不能作準周期振動，而很快回到平衡位置的情況，應用在天平調衡中21,CC是由初始條件決定的積分常數tetCCtx)()(21（3）如果 方程的解：202220是從有周期性因子 到無周期性的臨界點第55頁/共62頁3 3 受迫振動和共振受迫振動和共振第56頁/共62頁mHhmmk；令2;20 諧振子的受迫振動諧振子的受迫振動設強迫力設強迫力ptHfcosxvfr阻尼力：阻尼力：pthxdtdxdtxdcos22022是典型的常系數、二階、線性、非齊次微分方程是典型的常系數、二階、線性、非齊次微分方程由微分方程理論：由微分方程理論：非齊次微分方程的通解非齊次微分方程的通解= =齊次微分方程的解齊次微分方程的解+ +非齊次的一個特解非齊次的一個特解第57頁/共62頁202其解為：其解為：)cos