1、數的發展史數的發展史從小學到大學我們學習數的過程為：自然數分數小數有理數實數復數自然數概念的形成自然數概念的形成 數數，作為人類對物體結合的一種性質的認識，是以長期經驗為依據的歷史發展結果。此過程分為4個階段：（1）“多少”概念的形成。（2）對應關系的建立與集合間等數性的發現。（3）對自然數“后繼性”的認識。（4）科學技術法的確立。零的認識零的認識“0”產生于其它整數之后，它的產生不是表示“無”，而是為了填補十進制計數法的空位，使十進制計數法得到完善?？v觀所有的國家，都沒有產生表示“無”的數來，是因為人們并不把“無”作為一個數量特征來對待。零的作用零的作用（1）是一個概念，表示一無所有。（2）

2、在位值計數法中是空位。（3）是一個數，可以參與計算。（4）是標度的起點或分界，如數軸上的零，氣溫的零度。零的歷史零的歷史 零零從占位符到一個數的認識這種觀念引發了全球很多思想家的想象。（1）首先是巴比倫人設計出表示某個位數不存在的符號，但巴比倫人沒有發明零，頂多留出空位，不表示一個數。（2）印度人對零的最大貢獻是承認它不僅是一個數，而且還是空位或一無所有，該思想在公元前3世紀出現。（3）歐洲人對零的認識較晚，是由航海家們將婆羅摩及多及其同行的著作帶到歐洲而得到傳播的。（4）公元879年，零的寫法幾乎與我們現在的寫法相同，是一個橢圓。分數分數 分數分數是在自然數之后產生的，最初出現的是單分數。古

3、埃及早在公元前1700多年前，已經對單分數有了完整的認識。完整的分數概念是建立在整數之比基礎上的，它產生于整數的除法之中。在12世紀出現分數線，后來由斐波那契著算盤書介紹阿拉伯數學，把分數線一起介紹到歐洲。小數小數 小數小數，即不帶分母的十進分數，完整稱呼是十進小數。小數的出現標志著十進制計數法從整數擴展到了分數，使分數與整數在形式上獲得了統一。小數的產生有兩個前提：（1）十進計數法的使用。（2）分數概念的完善。我國對分數的認識我國對分數的認識 中國很早就有合理的分數表示法。在籌算中，除法本身就包含了分數的表示法。在九章算術的“方田章”中，就有約分、通分、合分（分數的加法）、減分（分數的減法）

4、、乘分（分數的乘法）、經分（分數的除法）、課分（分數大小的比較）、平分（求分數的平均數）等分數的運算法則。九章算術是世界上最早系統敘述分數的著作，比歐洲早1400余年。我國對小數的認識我國對小數的認識 在公元3世紀，劉徽在給九章算術作注時，處理平方根的問題時提出了十進分數，是世界上最早的?！胺查_積為方，求其徽數，徽數無名者，以為分子，其一退十為母，其在退以百為母，退之彌下，其分彌細，”。此話含十進分數的三層意思：（1）在求一個數的平方根時，如開不盡可繼續開方，求其“徽數”，及整數以下小數部分的統稱。（2）“徽數”的表示法有兩種，一是署名，用比整數單位更小的單位名稱表示，二是以十進分數表示。（3

5、）十進分數的表示法具有無限性。 我國十進小數的表示法直接影響了印度。歐洲關于十進小數的最大貢獻者是荷蘭荷蘭工程師斯臺文斯臺文，是在制造利息表時體會到十進小數的優越性，竭立主張把十進小數引到算術中。小數的現代記法由德國德國的克拉克拉維斯維斯在1608年的著作代數學代數學中公諸于世。負數負數 人們在生活和生產實踐中經常會遇到相相反意義反意義的量量，比如，在記帳記帳時有盈虧，在計算糧倉存米時，有時要記進糧食，有時要記出糧食。為了方便人們就考慮了用相反意義的數來表示，于是就引入了正負數的概念。人們習慣上把“贏利、買進、收贏利、買進、收入、上升、零上溫度入、上升、零上溫度”等規定為正正，而把“虧損、賣出

6、、支出、下降、零下溫度虧損、賣出、支出、下降、零下溫度”等規定為負負。我國對負數的認識我國對負數的認識 正數和負數正數和負數這一對概念在我國沿用至今已有兩千多年，它是我國數學家對人類數學發展的重要貢獻之一。在公元100年時，我國的九章算九章算術術中明確提出了負數的概念，以及正負數的運算，并在算籌中用紅色紅色表示正數正數，用黑色黑色表示負負數數。用不同顏色表示正負數的習慣，一直保留到現在。負數的產生，是中算算法思維的產物。在九章算術“方程術方程術”中，使用遍乘直除法，會遇到減數大于被減數的情形，自然引入了負數。國外對負數的認識國外對負數的認識 負數負數在國外得到認識和承認，比中國要晚得多。在印度

7、印度，數學家婆羅摩及多婆羅摩及多于公元628年才認識負數可以是二次方程的根，而歐洲歐洲在14世紀最有成就的法國法國數學家丘丘凱凱把負數說成是荒謬的數。直到17世紀荷荷蘭蘭人日拉爾日拉爾才首先認識和解決幾何問題。與中國古代數學家不同，西方數學家更多研究負數存在的合理性負數存在的合理性。 負數負數的產生是解方程的需要，是中算中算算法算法思維的產物。如果說中國、印度數學家為負數的引出作出了貢獻的話，那在數學上給負數應有的地位是歐洲數學家歐洲數學家，主要的有德國數學家魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯、戴德金戴德金、皮亞諾皮亞諾。無理數的產生無理數的產生 公元前500年，畢達哥拉斯的弟子希帕希帕蘇斯蘇斯發現了一

8、個驚人的事實，一個正方形的邊與對角線的長度是不可公度不可公度的。這一發現與畢氏學派“萬物皆數”的哲理大相徑庭，這就使該學派首腦惶恐，認為這將動搖他們在學術界的統治地位。希帕蘇斯因此被囚禁，最后甚至遭到沉舟身亡的懲罰。 不可公度不可公度的本質是什么？長期以來眾說紛紜，兩個不可公度量的比值也一直被認為是不可理喻的數。15世紀意大利藝術家達芬奇達芬奇稱之為“無理的數無理的數”。17世紀德國天文學家開普勒開普勒稱之為“不可名狀的數不可名狀的數”。人類對無理數的認識在數學史上具有特別重要的意義，它在希臘數學史上引起了一場大風波，史稱“第一次數學危機第一次數學危機”。 大約在公元前370年，希臘數學家歐多

9、克斯歐多克斯建立起一套完整的比例理論比例理論，可以避開無理數無理數這一邏輯上的陷阱陷阱，并保留住以往幾何中的一些結論，從而暫時解決了由無理數的出現引起的數學危機。但他借助于幾何方法避免直接出現無理數而實現的，這就生硬地把數與形肢解開來。無理數只以幾何量的形式在幾何中是允許的、合法的，在代數中就是非法的、不合邏輯的，即無理數只被當作是附在幾何量上的單純符號，而不被當作真正的數。直到18世紀，當數學家證明了一些基本的數如圓周率是無理數時，承認無理數的學者才多起來。直到19世紀下半葉實數理論建立實數理論建立以后，無理數的本質才徹底搞清無理數的本質才徹底搞清，從而圓滿解決了第一圓滿解決了第一次數學危機

10、次數學危機。第一次數學危機的沖擊第一次數學危機的沖擊 第一次數學危機對古希臘的數學觀點有極大沖擊，也引起了古希臘人數學觀念的更新，造成兩方面的沖擊：（1）直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的。從此希臘人由重視計算轉向重視邏輯和推理，并在亞里士多德手中完成了古典邏輯學。（2）由于有理數不能包括一切幾何量，但幾何量可以表示一切數，從而希臘人認為幾何比算術有著更重要的地位。整數的權威地位開始動搖，而幾何學的身份提高了，并由此建立了幾何公理體系。復數復數 復數復數起源于求解方程求解方程。中學教科書中以在實數集中無解為例引入虛數虛數，這讓學生產生誤解，認為虛數是這樣產生的。實際上，16世紀的二次方

11、程如果沒有實根就說它無解，根本不存在研究這種沒有意義的實際解答。但當討論三次方程時，遇到了不可回避的問題，實根必須通過這種虛數來表示。16世紀意大利意大利學者卡當卡當在重要的藝術重要的藝術一書中，公布了三次方程三次方程的一般解法即卡當公式，是第一個第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家把負數的平方根寫到公式中的數學家。21x 人們對虛數的認識虛數的認識在數學界引起一片困惑。德國數學家萊布尼茲萊布尼茲曾說：“虛數虛數是神靈遁跡的精微而奇異的避難所，它大是神靈遁跡的精微而奇異的避難所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物。概是存在和虛妄兩界中的兩棲物。”瑞士數學家歐拉歐拉曾說：“對于這類數，我們只對于

12、這類數，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻。少些什么，它們純屬虛幻?！比欢胬硇缘臇|西一定可以經得起時間和空間的考驗，經過許多數學家的努力，深刻探討并發展了復數理論，才使得在數學領域游蕩了200年的幽靈虛數揭去了神秘面紗。 在復數發展過程中，作出重要貢獻的數學家有：（1）法國法國數學家笛卡爾笛卡爾在幾何學中使“虛的數”與“實的數”相對應，提出虛數這一名稱，從此虛數才流傳開來。（2）法國法國數學家棣莫佛棣莫佛在1730年發現著名的棣莫佛定理：（3）瑞士瑞士的

13、歐拉歐拉在1748年發現著名的歐拉公式，第一次用i表示1的平方根，首創了用符號i作為虛數的單位。（4）德國德國數學家阿甘得阿甘得在1806年公布了虛數的圖象表示法，即所有實數能用一條數軸表示，虛數能用復平面上的點來表示，建立了復平面，后來又稱“阿甘得平面”。（5）德國國數學家高斯高斯在1831年用實數組（a,b)代表復數a+bi，并建立了復數的運算，第一次提出復數這個名詞。高斯不僅把復數看作平面上的點，而且還看作一個向量，并利用復數與向量間的一一對應關系闡明了復數的幾何加法與乘法，至此復數理論才比較完整和系統地建立起來了。復數理論才比較完整和系統地建立起來了。(cossin )cossinninin四元數四元數 由于復數能用來表示和研究平面上的向量，而向量在物理學中很重要，如力，速度等。但數學家不久就發現，復數的利用是受限制的。如幾個不在同一面上的力作用于同一物體時，就需要復數的一個三維類似物。對復數的類似推廣作出重要貢獻的是英國數學家哈密頓英國數學家哈密頓，提出四元數四元數的概念，形如abcdijk 它具有實數和復數的基本性質它具有實數和復數