1、1.3 1.3 二次函數的性質二次函數的性質函數 y=ax2+bx+c基本性質回顧二次函數二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象是一條的圖象是一條拋物線拋物線，回顧舊知回顧舊知xy02-2-22-4yx0246-22-44y=2x24x6y=0.75x2+3xy=0.5x22x1.5觀察下列二次函數圖像：觀察下列二次函數圖像：頂點在圖像的位置有什么特點？頂點是拋物線上的最高點（或最低點）頂點是拋物線上的最高點（或最低點）探索探索1：增減性：增減性yx0246-22-44y=2x24x6y=0.5x22x1.5問：當自變量增大時，函數的值將怎樣變化？問：當自變量增大時，函數的值將怎樣變化？你

2、還能發現：你還能發現： 這些函數是否存在最大值這些函數是否存在最大值或最小值，它是由解析式或最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c（a0）中的那一中的那一個系數決定的嗎？個系數決定的嗎？由由a決定決定探索探索1：增減性：增減性例已知拋物線已知拋物線y ya(xa(x1)1)2 2k(ak(a，k k是常數是常數，且且a a0)0)上三點上三點P P1 1( (2 2，y y1 1) )，P P2 2( (1 1，y y2 2) )，P P3 3(1(1，y y3 3) )，則則( () )A Ay y1 1y y2 2y y3 3 B By y3 3y y2 2y y1 1C Cy y3 3

3、y y1 1y y2 2 D Dy y2 2y y1 1y y3 3解析：拋物線開口向上解析：拋物線開口向上，對稱軸為直線對稱軸為直線x x1.1.當當x x1 1時，時，y y隨隨x x的增大而減小，的增大而減小，2 21 11 1，yy1 1y y2 2y y3 3. .答案：答案：A A反思：二次函數的增減性反思：二次函數的增減性，首先考慮開口方向首先考慮開口方向，然后對稱軸為分界線然后對稱軸為分界線探索探索1：增減性：增減性二次函數二次函數y y2(x2(x2)2)2 23 3，當當x xm m時總有時總有y y隨隨x x的的增大而增大，增大而增大，則則m m的取值范圍是的取值范圍是(

4、 () )A Am m2 2 B Bmm2 2C Cm m2 2 D D不能確定不能確定錯解：錯解：D D或或B B正解：正解：A A錯因：拋物線開口向下錯因：拋物線開口向下，當當xx2 2時，時，y y隨隨x x增大而增增大而增大，大，現在要保證現在要保證x xm m時都有時都有y y隨隨x x的增大而增大，的增大而增大，說明說明x xm m在對稱軸的左邊或與對稱軸重合，在對稱軸的左邊或與對稱軸重合，所以答案所以答案A A正正確確，而答案而答案D D則是理解錯則是理解錯x xm m的意義的意義. .探索探索1：增減性：增減性(1)每每個圖象與個圖象與x軸有幾個交點？軸有幾個交點？w二次函數二

5、次函數y=x2+2x, ,y=x2-2x+1, ,y=x2-2x+2的圖象如圖所示的圖象如圖所示. .y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2(3) 你你能求出圖象與能求出圖象與x軸交點的坐標軸交點的坐標? ?(2)一元二次方程一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有幾個根有幾個根? ? 驗證一下一元二次方程驗證一下一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎？有根嗎？探索探索2：二次函數與：二次函數與x軸交點軸交點2、已知函數、已知函數y=x23x4.求函數圖像的頂點坐標、與坐標軸交點的坐標和求函數圖像的頂點坐標、與坐標軸交點的坐標和對稱軸，并畫出函數的對稱軸，并畫出函數的大致大致

6、圖像；圖像；解：解： y=x23x4 (x1.5)26.25,圖象頂點坐標為圖象頂點坐標為(1.5, 6.25);又當又當y=0時，時，得得x23x40的解為：的解為： x11，x24。則與則與x軸的交點為軸的交點為(1,0)和和(4,0) 與與y軸的交點為軸的交點為(0, 4)(1,0)(1.5, 6.25)(0, 4)(4,0)x=1.5Oyx記當記當x1=3.5,x2= ,x3= 時對應的函數值分別時對應的函數值分別為為y1,y2,y3,試比較試比較y1,y2,y3的大小的大小?如右圖可知如右圖可知: y2 y1 y3( ,y2)( ,y3)(3.5,y1)鞏固練習鞏固練習二次函數二次函

7、數y=ax2+bx+c的的圖象和圖象和x x軸交點軸交點一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式根的判別式=b=b2 2-4ac-4ac有有兩個兩個交點交點有兩個有兩個不等不等的的實數根實數根b2-4ac 0有有一個一個交點交點有兩個有兩個相等相等的實數根的實數根b2-4ac = 0沒有沒有交點交點沒有沒有實數根實數根b2-4ac 0ax2+bx+c=0方程解的個數方程解的個數y=ax2+bx+c圖象與圖象與x軸交點的個數軸交點的個數探索探索2：二次函數與：二次函數與x軸交點軸交點二二次函數次函數y=ax2+bx+c的圖象和的圖

8、象和x軸交點的橫坐標就是對軸交點的橫坐標就是對應的一元應的一元二次方程二次方程ax2+bx+c=0的根的根. .ax2+bx+c=0方程的解方程的解y=ax2+bx+c圖象與圖象與x軸交點的橫坐標軸交點的橫坐標探索探索2：二次函數與：二次函數與x軸交點軸交點 y=2X-X-1 y=4X2+4X+1 y=3X2+2X+51、拋物線與、拋物線與x軸軸的交點的個數：的交點的個數：2個個1個個0個個b2- 4ac0b2- 4ac=0b2- 4ac02、拋物線、拋物線y=x2-5x+4與坐標軸的交點個數為（與坐標軸的交點個數為（ ）（A）0個個 （B）1個個 （C）2個個 （D）3個個D探索探索2：二次

9、函數與：二次函數與x軸交點軸交點例：已知函數已知函數(1)求函數的頂點坐標、對稱軸，以及圖象與坐求函數的頂點坐標、對稱軸，以及圖象與坐標軸的交點標軸的交點 坐標，并畫出函數的大致圖象；坐標，并畫出函數的大致圖象；解解：（：（1）a=0.5,b=7,c=7.5;例題講解例題講解2157212xyxx=720 xy10O10103051020 155(7，32)(0，7.5)(15，0)(1，0)自變量自變量x在什么范圍內時，在什么范圍內時，y隨隨x 的的增大而增大？何時增大而增大？何時y 隨隨x的增大而減的增大而減小？并求出函數的最大值或最小值。??？并求出函數的最大值或最小值。解：解： 由右圖可

10、知，由右圖可知，當當x7時，時， y隨隨x 的增大而增大；的增大而增大；當當x7 時，時，y 隨隨x的增大而減??；的增大而減小；當當x7時，函數有最大值時，函數有最大值32。（3）根據圖象，說）根據圖象，說 出出 x 取哪些值時，取哪些值時， y=0; y0.當當-15x1時時當當x=-15或或x=1時時當當x-15或或x 1時時例題講解例題講解1、求下列函數的最大值（或最小值）和對應的、求下列函數的最大值（或最小值）和對應的自變量的值：自變量的值： y=2x28x1； y=3x25x1鞏固練習鞏固練習7)2(22 xy1237)65(32 xy2、已知函數、已知函數y=x23x4.求函數圖像

11、的頂點坐標、與坐標軸交點的坐標和求函數圖像的頂點坐標、與坐標軸交點的坐標和對稱軸，并畫出函數的對稱軸，并畫出函數的大致大致圖像；圖像；解：解： y=x23x4 (x1.5)26.25,圖象頂點坐標為圖象頂點坐標為(1.5, 6.25);又當又當y=0時，時，得得x23x40的解為：的解為： x11，x24。則與則與x軸的交點為軸的交點為(1,0)和和(4,0) 與與y軸的交點為軸的交點為(0, 4)(1,0)(1.5, 6.25)(0, 4)(4,0)x=1.5Oyx記當記當x1=3.5,x2= ,x3= 時對應的函數值分別時對應的函數值分別為為y1,y2,y3,試比較試比較y1,y2,y3的

12、大小的大小?如右圖可知如右圖可知: y2 y1 y3( ,y2)( ,y3)(3.5,y1)鞏固練習鞏固練習3.05米米4米米?2.25米米oxy球運動路線的函數解析式和自變量的取值范圍；球運動路線的函數解析式和自變量的取值范圍；球在運動中離地面的最大高度球在運動中離地面的最大高度。解解: 設函數解析式為設函數解析式為:y=a(x2.5)2+k,根據題意，得：根據題意，得：2.52a+k=2.25(42.5)2a+k=3.05則：則：a=0.2,k=3.5解析式為解析式為:y=0.2x2+x+2.25,自變量自變量x的取值范圍為：的取值范圍為：0 x4.球在運動中離地面的最大高度球在運動中離地

13、面的最大高度 為為3.5米米。3、籃球運動員投籃時，球運動的路線為拋物線的、籃球運動員投籃時，球運動的路線為拋物線的一部分（如圖），拋物線的對稱軸為一部分（如圖），拋物線的對稱軸為x=2.5。求：。求：鞏固練習鞏固練習4、拋物線yx2m1與y軸交于點(0，3)(1)求出m的值并畫出這條拋物線；(2)求它與x軸的交點和拋物線頂點的坐標；(3)當x取什么值時，拋物線在x軸上方？(4)當x取什么值時，y隨x的增大而減小？鞏固練習鞏固練習解析：解析：(1)(1)根據二次函數求解析式的方法可知根據二次函數求解析式的方法可知m m1 13 3，所以求得所以求得m m4.4.拋物線的解析式為拋物線的解析式為

14、y yx x2 23 3；(2)(2)求拋物線與求拋物線與x x軸的交點實際就是求當軸的交點實際就是求當y y0 0時時x x的值，的值，當當y y0 0時，時，x x2 23 30 0，此時此時x x ，與與x x軸的交點為軸的交點為( ( ，0)0)，( ( ，0)0)；(3)(3)此時拋物線的頂點為此時拋物線的頂點為(0(0，3)3)，且開口向下且開口向下，當當 x x 時時，拋物線在拋物線在x x軸上方；軸上方； (4)(4)因為因為a a1 10 0，所以在對稱軸所以在對稱軸y y軸的右側，軸的右側，y y隨隨x x的增大而減小的增大而減小33333答案：答案：(1)m(1)m4 4

15、，圖象如圖所示；圖象如圖所示；(2)(2)與與x x軸的軸的交點為交點為( ( ，0)0)，( ( ，0)0)，頂點坐標為頂點坐標為(0(0，3)3)；(3)(3)當當 x x 時時，拋物線在拋物線在x x軸上方；軸上方；(4)(4)當當x x0 0時，時，y y隨隨x x的增大而減小的增大而減小反思：二次函數的圖象決定因素是反思：二次函數的圖象決定因素是“四點一線一四點一線一開口開口”，四點指與坐標軸交點和頂點四點指與坐標軸交點和頂點，一線指對一線指對稱軸稱軸，性質主要包括增減性和函數值對應的自變性質主要包括增減性和函數值對應的自變量取值范圍量取值范圍33335 5、已知拋物線已知拋物線y

16、yx x2 22x2xm m1.1.(1)(1)若拋物線與若拋物線與x x軸只有一個交點，軸只有一個交點，求求m m的值；的值；(2)(2)若拋物線與直線若拋物線與直線y yx x2m2m只有一個交點，只有一個交點，求求m m的值的值解析：解析：(1)(1)拋物線與拋物線與x x軸只有一個交點，軸只有一個交點，b b2 24ac4ac4 44(m4(m1)1)0 0，mm2 2；(2)(2)拋物線與直線只有一個交點拋物線與直線只有一個交點， xx2 22x2xm m1 1x x2m2m，xx2 2x xm m1 10.0.1 14(4(m m1)1)4m4m5 50 0m m 221,2 ,yxxmyzm5.4答案：答案：(1)m(1)m2 2；(2)m(2)m反思：求拋物線與反思：求拋物線與x x軸的交點及直線的交點問題軸的交點及直