1、誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 1第2章 測量誤差分布 誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 2 通過本章內容的學習，可以讓讀者熟悉誤差分布的基本概念、常見誤差分布特征與處理方法。為學好本課程內容打下重要理論基礎。 教學目標誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 3v直方圖的繪制v概率密度分布圖v誤差分布的特征值v常見的誤差分布v常用的統計量分布v誤差分布的統計檢驗 教學重點和難點誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 4第一節測量誤差的統計特性測量誤差的統計特性誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 5一、一、某鋼球工件直徑重復測量150次的測量點列圖測量點列圖

2、單峰性：數據集中在7.335附近，如不存在系統誤差，其約定真值即為7.335有界性：數據分布在7.085至7.585之間，即可確定誤差分布的大致范圍對稱性：正負誤差的數目大致相同；抵償性：誤差的總和大致趨于零，它是判定隨機誤差最本質的一個統計特征。7.0857.3357.585iix誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 6（1）分組數=11，組距=0.05mm；（2）依次定各組的頻數、頻率和頻率密度；（3）以數據為橫坐標，頻率密度為縱坐標，在橫坐標上劃出等分的子區間，劃出各子區間的直方柱，即為所求統計直方圖。77.17.27.37.47.57.60510152025誤差理論與數據處理 第

3、二章測量誤差分布2- 7 繪制統計直方圖注意事項繪制統計直方圖注意事項（1）樣本大小： 確定誤差的分布范圍時，取 n=50200 確定誤差分布規律時，最好取n=2001000()子區間個數、間距：當n=50100時， 個數=610當n=100200時，個數=912當n=200500時，個數=1217當n = 500以上時，個數=20252mn251.871mnmaxmin1 3.3logxxxn 可用下列兩個公式之一來計算分組數 或間距 或mx誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 8 把各直方柱頂部中點用直線連接起來，便得到一條由許多折線連接起來的曲線。當測量樣本數n無限增加，分組間隔趨

4、于零，圖中直方圖折線變成一條光滑的曲線，即測量總體的概率（分布）密度曲線，記為。這就是用實驗方法由樣本得到的概率密度分布曲線。 ( )f x( )f x77.17.27.37.47.57.60510152025誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 9 概率密度曲線完好的描述了隨機誤差的統計規律。( )f x 1f x dx 1baP axbf x dx 概率密度函數的幾何意義概率密度的性質有兩個性質f x ( )p=1_abx誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 10誤差分布的統計方法小結誤差分布的統計方法小結 測量樣本 點列圖 ,1,2,ixin測量樣本 統計直方圖 測量總體 概

5、率密度函數圖,1,2,ixin( )f x誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 11四、統計分布特征值四、統計分布特征值盡管誤差分布反映了該誤差的全貌，但在實際使用中更關心代表該誤差分布的若干數字特征量。誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 12數學期望數學期望()( )E Xxfx dx定義一階原點矩，它表示隨機變量分布的位置特征。它與真值之差即為系統誤差，如果系統誤差可以忽略，則 就是被測量的真值 123三條測量值分布曲線的精密度相同，但正確度不同。數學期望代表了測量的最佳估計值，或相對真值的系統誤差大小誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 13標準偏差 二階中心矩，稱為

6、X的標準（偏）差， ，的大小表征了隨機誤差的分散程度，即大部分分布在 范圍內，可作為隨機誤差的評定尺度 定義22()()( )D Xxf x dx()D X123123三條誤差分布曲線的正確度相同，但精密度不同 標準差代表了該測量條件下的測量結果分散性的大小，或是該測量分布的隨機誤差大小 誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 14偏態系數120 xf x ( )3030定義33()( )xf x dx333三階中心矩， 將 無量綱化，稱為偏態系數， 描述了測量總體及其誤差分布的非對稱程度 33曲線具有正(右)偏態，曲線具有負(左)偏態3誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 15峰態

7、系數f x ( )0 x444344()( )xf x dx定義 表征了測量總體及其誤差分布的峰凸程度。 是將 無量綱化，也稱峰度，而 是按標準正態分布歸零，即對于正態分布超越系數 視為零 4444, 44444434341.2 較尖峭的分布有 ，較平坦的分布有 4040誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 16協方差定義( , )()() ( , )xyCov x yxyf x y dxdy ( , )xxf x y dxdy ( , )yyf x y dxdy 式中協方差 表示了兩變量間的相關程度 ( , )Cov x y誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 17相關系數=10

8、.5=0.5=_=0( , )xyCov x y 定義表示了兩個變量間線性相關的程度 越小，X，Y之間線性相關程度越小， 取值越大，X，Y之間線性相關程度越大 |11 當 ，X與Y正相關，當 ，X與Y負相關 0110 線性相關正相關負相關線性不相關誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 18數學期望名稱定義方差幾何意義誤差意義偏態系數峰態系數協方差()( )E Xxfx dx位置特征實際值正確度22()()( )D Xxf x dx彌散分散性，精密度33()( )xf x dx333不對稱誤差分布不對稱性444344()( )xf x dx尖峭誤差分布尖峭程度( , )()() ( , )

9、xyCov x yxyf x y dxdy 兩誤差關聯程度統計分布常用的特征值統計分布常用的特征值誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 19第二節第二節 常見測量誤差分布常見測量誤差分布本節介紹幾種常見的誤差分布，包括正態分布、均勻分布、三角分布、瑞利分布、反正弦分布、投影分布、分布。誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 20一、正態分布一、正態分布誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 21服從正態分布的條件服從正態分布的條件 誤差因素多而小，無一個占優，彼此相互獨立（中心極限定理）。一般認為，當影響測量的因素在15個以上，且相互獨立，其影響程度相當，可以認為測量值服從正態分

10、布；若要求不高，影響因素則應在5個（至少3個）以上，也可視為正態分布。 誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 22概率密度函數概率密度函數 221exp22xfx正態分布的密度函數 為測量總體的數學期望，如不計系統誤差，則 即為隨機誤差 x 為測量總體的標準差，也是 隨機誤差的標準差 x誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 23（1）單峰性：小誤差出現的概率比大誤差出現的概率大。（2）對稱性：正誤差出現的概率與負誤差出現的概率相等。（3）抵償性：隨測量次數增加，算術平均值趨于零。分布的誤差特性分布的誤差特性正態分布的這三個特點與誤差大樣本下的統計特性相符。但在理論上，正態分布無界，

11、這也是正態分布與實際誤差有界性不相符之處。 誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 24正態分布的置信概率 誤差在分布區間 的置信概率 ,kk 221exp( )22kkpdk 2202( )2zkkedz式中368.26% 95.45% 99.73% 322( )f x置信概率 正態積分函數，已制成正態積分表( )k 置信因子k誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 25正態分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.96 1.6451.00.67450.9990.99730.990.954 0.950.900.6830.5k0.001 0.0027 0.010.046 0

12、.050.100.3170.5p誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 26 (1) 經典誤差理論都是建立在正態分布的基礎上。凡是有3、5個以上的、差不多微小的、獨立影響的合成分布都趨近正態分布。這是被前人早已證明了的中心極限定理告訴我們的一個事實。正態分布在誤差理論和實踐中的地位正態分布在誤差理論和實踐中的地位(2) 許多非正態分布可以用正態分布來表示。(3) 正態分布的概率密度函數具有簡單的數學形式和優良的性質。(4) 也有不少的誤差分布并不能簡單地用正態分布來描述。因而，現代誤差理論及其實踐需要進一步研究非正態分布的問題。誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 27二、均勻分布若

13、誤差在某一范圍中出現的概率相等，稱其服從均勻分布，也稱為等概率分布。 概率密度函數概率密度函數 12( )0aafa數學期望數學期望0方差方差223a標準方差標準方差3a置信因子置信因子 3ako -a a ()f xx誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 28服從均勻分布的可能情形服從均勻分布的可能情形 (1) 數據切尾引起的舍入誤差;(2) 數字顯示末位的截斷誤差(3) 瞄準誤差;(4) 數字儀器的量化誤差;(5) 齒輪回程所產生的誤差以及基線尺滑輪摩擦引起的誤差；(6) 多中心值不同的正態誤差總和服從均勻分布。 誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 29三、三角分布概率密度函

14、數概率密度函數 數學期望數學期望0標準方差標準方差6a220( )0axaxaf xaxxaa 當兩個分布范圍相等的均勻分布，其合成誤差就是三角分布。 f (x)_aax_0誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 30四、反正弦分布概率密度函數概率密度函數 數學期望數學期望0E 標準方差標準方差2a()f xx221( )0axaf xax其他a -a o 服從反正弦分布的可能情形服從反正弦分布的可能情形 度盤偏心引起的測角誤差；正弦（或余弦）振動引起的位移誤差；無線電中失配引起的誤差。誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 31五、瑞利分布概率密度函數概率密度函數 數學期望數學期望標

15、準方差標準方差服從瑞利分布的可能情形服從瑞利分布的可能情形 偏心值在非負值的單向誤差中，由于偏心因素所引起的軸的徑向跳動 刻度盤、圓光柵盤的最大分度誤差 2222( ),0 xaxf xexa 2a42a()f xx齒輪和分度盤的最大齒距累積誤差 誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 32六、貝塔分布概率密度函數概率密度函數 數學期望數學期望標準方差標準方差111( )1() ( , )ghxaxaf xba B g hbababgahgh()()1baghghgh誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 33()f xx(4,4)(0.5,0.5)(2.5,2.5)在給定分布界限下通

16、過參數取不同值，貝塔分布可呈對稱分布、非對稱分布、單峰分布、遞增或遞減分布等，可逼近常見的正態、三角、均勻、反正弦、瑞利等各種典型分布。貝塔分布具有可逼近各種實際誤差分布的多態性。 , a b,g h 貝塔分布在理論上就是有界的。不像正態、瑞利等呈拖尾型分布，完全符合誤差的基本特性即有界性。 貝塔分布的性質與密度函數圖誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 34常見分布的數字特征量名稱正態分布區間半寬度標準差期望等價( , )g h均勻分布三角分布反正弦分布瑞利分布3(0.9973)p 9(4,4)(1,1)(2.5,2.5)(0.5,0.5)(4,4)aaa3a6a2a0004222/2

17、A誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 35第三節常見的統計量分布本節介紹常用的統計量分布，包括t分布 F分布，分布。2誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 36一、分布定義定義若為獨立服從同分布 的隨機誤差，則(0,1)N稱服從為自由度為的分布。 概率密度函數概率密度函數 數學期望數學期望標準方差標準方差212, 22221222( ) 12221( )022xf xxex12(1)( )f xx201014誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 37二、t分布定義定義若隨機誤差，隨機誤差，且和相互獨立，則(0,1)N2( ) t 服從的分布稱為自由度為的t分布。 概率密度函

18、數概率密度函數 數學期望數學期望標準方差標準方差12212( )12xf x0(2)2o 521( )f xx誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 38 當自由度足夠大時，t分布趨近于正態分布。t t 分布在誤差理論和實踐中的應用分布在誤差理論和實踐中的應用t分布在研究正態小子樣（測量次數較少時），是一個嚴密而有效的理論分布。 正態樣本的算術平均值構成的如下統計量服從自由度為的t分布。/xtsn1n其測量算術平均值滿足 /2( )/)1P xtsnp t分布的臨界值 ，滿足/2( )1Pttp 誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 39三、F分布定義定義若，則稱服從為自由度為的F分

19、布。 12, 概率密度函數概率密度函數 數學期望數學期望標準方差標準方差21 11() 2222() 12F12( ,)F 11121221212122122( )221xf xx222222212221222(2)4(2) (4) ( )f xx1210, 1210,101210,4誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 40第四節誤差分布的分析與檢驗 本節介紹確定誤差分布規律的幾種方法，包括物理來源法，函數關系法以及圖形判斷法。最后介紹有關分布檢驗的知識，包括正態分布統計檢驗（夏皮羅-威爾克檢驗、偏態系數和峰態系數檢驗）和一般分布檢驗（皮爾遜檢驗）。2誤差理論與數據處理 第二章測量誤差

20、分布2- 41一、誤差分布的分析與判斷誤差分布的分析與判斷誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 42物理來源判斷法物理來源判斷法 根據測量誤差產生的來源，可以判斷其屬于何種類型 如其測量受到至少有三個以上獨立的、微小而大小相近的因素的影響，則可認為它服從或接近正態分布。測量值在某范圍內各處出現的機會相等，則可認為它服從均勻分布。誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 43函數關系法函數關系法 利用隨機變量的函數關系，來判斷誤差屬于何種分布。 ()/2若與都在-a，a內服從均勻分布，則服從三角分布 (0,)N22若與都服從正態分布 ，則 服從偏心分布(瑞利分布) 0sin()m若服從均

21、勻分布，則 服從反正弦分布誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 44圖形判斷法圖形判斷法對重復測量獲得的樣本數據繪出頻率密度直方圖，并與各種常見的概率密度分布曲線相比較，判斷它與何種分布相接近。 誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 45二、誤差分布的統計檢驗誤差分布的統計檢驗誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 46什么是統計檢驗？什么是統計檢驗？ 1、概念事先對分布形式作出某種假設然后利用樣本信息來判斷原假設是否成立2、類型正態分布統計檢驗一般分布檢驗v夏皮羅-威爾克檢驗v偏態系數檢驗v峰態系數檢驗v皮爾遜檢驗 誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 47皮爾遜 檢驗

22、( )2 1、提出原假設00:( )( )HF xF x總體 的分布函數 未知 X( )F x 某個已知的分布函數 0( )F x2、計算統計量221()miiiifnpnp總體中抽取出一個容量為 的樣本 12,.nx xxn把整個數軸分成 個區間 m1121(,(,(,)maa aa 頻數，樣本的觀察值落在第 個區間的個數 ifi由 計算出總體 在各區間內取值的概率 X10100101()( )()1()iiimmpF apF aF apF a 2,3,4,1im0( )F x50n誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 48檢驗(續)2 3、在給定顯著性水平 下，由分布表查得臨界值 。

23、4、作出決策。2(1)m若 ，拒絕，則認為 。反之， 0H22(1)m0( )( )F xF x0( )( )F xF x誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 49 皮爾遜檢驗(分布中含有參數)1、提出原假設0012:( )( ,)kHF xF x 總體 的分布函數 未知 X( )F x 某個已知形式的分布函數， 未知參數 012( ,)kF x 12,k 2、計算統計量221()miiiifnpnp總體中抽取出一個容量為 的樣本 12,.nx xxn誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 50在 下利用樣本給出 的極大似然估計 0Hi(1)jjk把整個數軸分成 個區間 m1121(

24、,(,(,)maa aa 頻數，樣本的觀察值落在第 個區間的個數 ifi由 計算出總體 在各區間內取值的概率 X1011201201120112 ( ,) ( ,)(,) 1(,)kiikikmmkpF apF aF apF a 2,3,4,1im 3、在給定顯著性水平 下，由分布表查得臨界值4、作出決策。2(1)mk若 ，拒絕 0H22(1)mk012 ( ,)kF x 皮爾遜檢驗(續)誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 51【例【例2-12-1】 用阿貝比較儀測量某軸承直徑 100次，依次測得 ， 的數據見下所列， 的單位0.1 。檢驗 是否服從正態分布。 l299950iilli

25、lilml0 -5 11 -10 17 -3 -13 6 4 7 1 -5 -6 -3 13 -1 -1 5 9 7 -3 9 -8 3 -2 -24 -30 -2 1 -2 4 2 -5 -13 1 -7 -1 0 -4 -7 0 7 17 5 10 0 -2 6 3 8 6 -3 -3 -10 0 5 2 -8 0 4 2 2 6 -11 5 2 7 -1 12 0 -19 10 -1 7 9 2 -5 14 -6 -5 8 3 8 -9 4 -5 -8 8 -8 4 -13 -9 -10 -10 2 13 2 -4 6 -7 誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 52計算步驟【解】

26、【解】檢驗 20: ( ,)HlN 由于 中含有未知參數，故需先進行參數估計。在正態分布下， 和 的極大似然估計為 0H2299950100ill2221()8.061illn將 取值分成8組，然后計算概率 lip110299950(10299950)pP l 11()2,7iiiiixxpP xlxi 810299950(10299950)1pPl 誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 53計算結果10l 510l 25l 02l 20l 52l 105l 10l 頻數ifipinpiifnp2()iiifnpnpil70.10710.75-3.751.31150.16016.01-1

27、.010.06130.13313.37-0.370.0890.0989.87-0.870.08100.0989.870.130160.13313.372.630.52210.16016.014.991.5690.10710.75-1.750.281003.82誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 54結論 給定顯著性水平 ，自由度8-2-1=5,由 分布表查得臨界值 0.0520.05(5)11.12因為20.05(5)11.13.82所以，接受 ，故可認為這些測量服從正態分布 0H誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 55夏皮羅威爾克檢驗夏皮羅-威爾克檢驗又稱W檢驗 時檢驗效果最

28、佳，并且計算簡便。350n只能用于正態性檢驗誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 56W檢驗的實施步驟從總體中抽取出一個容量為 的樣本 12,.nx xxn(1) 將樣本的觀測值按由小到大排列成為其次序統計量 (1)(2)( )nxxx(2) 計算檢驗統計量 22(1)( )121()ninn iiiniixxWxx (3) 查表。由夏皮羅-威爾克值表查出 ， 為給定的顯著性水平； ( ,)W n(4) 判斷。若 ，則拒絕正態性假設( ,)WW n誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 57【例【例2-22-2】用夏皮羅-威爾克法檢驗該組數據是否來自正態分布。 將某量獨立測得結果按從

29、小到大排列成（n=10）108，109，110，110，110，112，112，116，119，124 【解】【解】查夏皮羅-威爾克系數 表得出 in1,100.57392,100.32913,100.21414,100.12245,100.0399誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 58計算結果計算 5(1)( )1(10)(1)(9)(2)(8)(3)(7)(4)(6)(5)()0.5379()0.3291()0.2141()0.1224()0.0399()14.0826inn iiixxxxxxxxxxxx 1021()236iixx214.08260.840236W 給定顯著性

30、水平 ，查表得0.05(10,0.05)0.842W因為， ，故拒絕正態性假設 0.840(10,0.05)WW誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 59偏態系數檢驗(1) 給出備擇假設 （正偏）或 （負偏） 1:0sH1:0sH(2) 計算檢驗統計量 332smbm2211()niimxxn3311()niimxxn(3) 查表。 根據顯著性水平 和樣本容量 ，由偏態統計量的分位數表查出 (4) 判斷。當備擇假設為 時，若 ，則拒絕正態性假設；當備擇假設為 時，若 ，則拒絕正態性假設n1Z1:0sH1sbZ1:0sH1sbZ 誤差理論與數據處理 第二章測量誤差分布2- 60【例【例2-32-3】 有下列一組測量數據，確定這批數據是否來自正態分布 -0.40 -1.80 -2.14 0.40 -1.40 0.67 -1.40 -1.51 1.40 -1.40 -1.38 -1.40 1.20 -2.14 -0.60 -2.33 1.24 -0.40 -0.32 -0.22 -1.60 -1.40 -0.51 -0.20 -1.40 -1.72 -1.60 -1.20 -1.80 1.20 -1.40 -0.80 -1.72 -0.71 -1.40 -1