1、第七章 灰色系統統及灰色關聯關聯分析 一、灰色系統分析的基本概念一、灰色系統分析的基本概念二、灰色關聯度分析二、灰色關聯度分析三、灰色三、灰色GMGM（1,11,1）模型）模型四、灰色四、灰色GMGM（2 2，1 1）模型）模型五、灰色五、灰色GMGM（1 1，N N）模型）模型主要內容32021年9月26日系統系統：由客觀世界中相同或相似的事物和因素：由客觀世界中相同或相似的事物和因素按一定的秩序相互關聯、相互制約而構成一個整體按一定的秩序相互關聯、相互制約而構成一個整體. . 白色系統白色系統: :具有充足的信息量，其發展變化的具有充足的信息量，其發展變化的規律明顯、定量描述方便、結構與參

2、數具體規律明顯、定量描述方便、結構與參數具體. .黑色系統黑色系統: :一個系統的內部特性全部是未知的一個系統的內部特性全部是未知的. .灰色系統灰色系統: :介于白色系統和黑色系統之間的介于白色系統和黑色系統之間的. .即即系統內部信息和特性是部分已知的，另一部分是未系統內部信息和特性是部分已知的，另一部分是未知的知的. . 灰色系統分析建模方法灰色系統分析建模方法: :根據具體灰色系統的行根據具體灰色系統的行為特征數據，利用數量不多的數據信息尋求相關各為特征數據，利用數量不多的數據信息尋求相關各因素之間的數學關系，即建立相應的數學模型因素之間的數學關系，即建立相應的數學模型. . 4202

3、1年9月26日52021年9月26日 灰色關聯分析方法是根據因素之間發展灰色關聯分析方法是根據因素之間發展態勢的相似態勢的相似或相異程度或相異程度來衡量因素間來衡量因素間關聯程度關聯程度的方法。的方法。 進行灰關聯分析，首先要找準數據序列，當有了系進行灰關聯分析，首先要找準數據序列，當有了系統行為的數據序列后，根據關聯度計算公式便可算出關統行為的數據序列后，根據關聯度計算公式便可算出關聯程度。聯程度。 關聯度反映各評價對象對理想對象的接近次序，即關聯度反映各評價對象對理想對象的接近次序，即評價對象的優劣次序，其中灰色關聯度最大的評價對象評價對象的優劣次序，其中灰色關聯度最大的評價對象為最優。為

4、最優。 由于灰色關聯分析是按發展趨勢作分析，因此對樣由于灰色關聯分析是按發展趨勢作分析，因此對樣本量的多少沒有要求，也不需要有典型的分布規律，計本量的多少沒有要求，也不需要有典型的分布規律，計算量小。算量小。二、灰色關聯度分析 關聯度是對兩個系統或兩個因素之間關聯性大小的度量。灰色關聯度分析法是建立在灰色系統理論基礎上的一種對系統發展變化態勢的定量描述。它根據評價因素間發展態勢的相似和相異程度來確定評價因素的關聯程度。 關聯度分析的核心是計算關聯系數和關聯度關聯系數和關聯度。二、灰色關聯度分析Nxxx,21 MttxtxtxN, 2 , 1,21jx設 為N個因素，反應各因素變化特性的數據列分

5、別為因素 對 的關聯系數定義為ix kxkxkxkxkxkxkxkxkikiiikiikii0000maxmaxmaxmaxminmin)(式中， 為第k個時刻比較曲線 與參考曲線 的相對差值，稱為 對 在k時刻的關聯系數；)(kiix0 xix0 x kxkxiki0minmin kxkxiki0maxmax 為兩級最小差； 為兩級最大差； 為分辨系數，一般在0與1之間選取,一般取0.5。1)(5 . 0ki關系數的個數很多，信息過于分散，不便于比較，為此有必要將各個時刻的關聯數集中為一個值，這個值便是關聯度，其表達式為NkiikNr1)(1irir ix式中， 為曲線 對參考曲線 的關聯度

6、。根據關聯度 可計算出參評因素的權重 0 xnirrniiii，21100/1根據關聯度的計算可以看出，它的大小主要取決于各時刻的關聯系數，而關聯系數的值又取決于各時刻xi與x0之差。顯然，xi與x0的量綱不同，就會影響關聯度ri的計算結果。為消除量綱的影響，就需要在進行關聯度計算之前，灰色關聯度分析的具體方法 對各要素的原始數據作初等變換初等變換或均值變換均值變換等，然后利用變換后所得到的數據作關聯度關聯度計算。原始數據變換方法如下：（1）均值化變換均值化變換：先分邊求出各個序列的平均值，再用平均值去除對應序列中的各個原始數據，所得到新的數據列即為均質化序列。（2）初值化變換初值化變換：分別

7、用同一序列的第一個數據去除后面的各個原始數據得到新的倍數數列，即為初值化數列。（3）標準化變換標準化變換：先分別求出各個序列的平均值和標準差，然后將各個原始數據漸趨平均值再除以標準差，得到的數據即為標準化序列。 變換目的：消除量綱和數據絕對大小的影響。變換目的：消除量綱和數據絕對大小的影響。實例分析實例分析沙漠化土地面積及其影響因素沙漠化土地/x1年平均降水量/x2年平均大風日數/x3農牧業總人口/x4耕地面積/x5牲畜總數/x6129535294.8744.648355165191288030168462298.5642.369345487961456793187856325.3536.68

8、2134536791879653205678309.8447.594567563462098764224595295.8950.3108031591992200625一、灰色關聯度分析關聯度關聯度取灰數的白化值為0.5（ =0.5）完整的計算步驟是完全根據前面介紹的得來完整的計算步驟是完全根據前面介紹的得來關聯矩陣 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X1 0.99550.59740.62100.74490.60740.8248X2 0.69310.98190.75810.61740.60440.6562X3 0.72290.75990.97800.62840.59910.6574X4 0.7

9、7250.54990.54061.00210.64530.7984X5 0.72330.62860.61070.72600.99210.7321X6 0.83970.57200.54320.78130.64240.9983 灰色關聯分析方法在數據少的情況下完全可以在Excel中實現。但是如果數據量龐大的話，ExExcelcel就顯得笨拙了。那么，我們就得另找軟件：SASAS S、MatlabMatlab、GMGM、DPSDPS。 DPS數據處理系統。DPS是一套通用多功能數據處理、數值計算、統計分析和模型建立軟件，與目前流行的同類軟件比較，具有較強的統計分析和數學模型模擬分析功能。是目前國產的

10、功能目前國產的功能最完整的統計軟件包。最完整的統計軟件包。DPS一、概述一、概述DPS數據處理系統，英文名為數據處理系統，英文名為Data Processing System，是，是浙江大學唐啟義浙江大學唐啟義教授設計研制的通用多功教授設計研制的通用多功能數理統計和數學模型處理軟件系統。有能數理統計和數學模型處理軟件系統。有300 多種統多種統計分析方法，可以滿足各種水平的統計分析需要。計分析方法，可以滿足各種水平的統計分析需要。DPS系統采用多級下拉式菜單，用戶使用時整個屏幕猶系統采用多級下拉式菜單，用戶使用時整個屏幕猶如一張工作平臺，隨意調整，操作自如，故形象地稱其如一張工作平臺，隨意調整

11、，操作自如，故形象地稱其為為DPS 數據處理工作平臺，簡稱數據處理工作平臺，簡稱DPS 平臺。平臺。DPS平臺將數值計算、統計分析、模型模擬以及畫線制平臺將數值計算、統計分析、模型模擬以及畫線制表等功能融為一體。表等功能融為一體。一、DPS基本操作標題欄標題欄 菜單欄菜單欄下拉菜下拉菜單單工具欄工具欄工作工作表表活動單活動單元格元格單元格單元格當前工當前工作表作表工作表工作表標簽標簽文本編文本編輯區輯區二、用戶工作界面二、用戶工作界面如上例在DPS中操作，完全可以用傻瓜式操作傻瓜式操作實現。第一步：將數據輸入DPS數據處理系統中并選中數據； 第二步：在“其他”菜單欄中找到“灰色系統方法”，在其

12、箭頭里找到“灰色系統分析”在數據序列轉換方式，一般為均質化。母序列個數一般為0；是否令min為0，如果要精確的話，盡量不要為0；分辨系數（白化值），一般情況設為0.5.分析結果 灰色關聯分析的目的，是在影響某參考數列x1的諸因素xi中找出主要因素，也就是按對x1的關聯程度大小對xi進行排序。若xi和x1，xj和x1的關聯度分別為ri和rj，則：（1）rirj時，稱xi優于xj；（2）ri=rj時，稱xi不劣于xj；（5）rip0.950.95和和c0.35c0.8p0.8和和c0.5c0.7p0.7和和c0.65c0.65時，模型勉強合格；當時，模型勉強合格；當p p=0.7=0.65p=0.

13、65時，模型不合格。時，模型不合格。 1006745.0|stp應用實例應用實例 利用上一節的沙漠化數據進行預測 得到上表的結果根據計算得到的預測模型是 Nxxx000,2,1 ix0一般地，如果表征系統行為特征的指標通過了某個表征系統行為特征的指標通過了某個臨界值，則稱發生了災變，臨界值，則稱發生了災變，所以災變是相對于所研究問題的表征變量表征變量而言的。設表征系統行為的原始數據列為規定一個災變臨界值 ， 中那些= 的點數被認為是具有異常值的點（災變發生點）。災變預測災變預測 qxqxix000| qip:把它們按原來的順序挑出來組成一個新的數據序列（災變數列）)(,),2(),1 (npp

14、pp作災變映射 ，則災變預測就是按災變日期形成的序列建立GM(1,1)預測模型進行災變日期預測。應用實例應用實例 如果年降水量小于或等于小于或等于350mm350mm，就認為發生了旱災。試用災變預測法對下一個災變到來的年份進行預測。年份1971197219731974197519761977197819791980降水量298.7489.9398.6345289.8478.3515.6421.5299.8432.1年份1981198219831984198519861987198819891990降水量435.9278.9483510.6398.2430.6300467.4389356.9年份

15、1991199219931994199519961997199819992000降水量420.8289.5459500.3275.6367.2453526380295.4某地區年降水量某地區年降水量(mm)(mm) 30,25, 22 ,17,12, 9 , 5 , 18,7,6,5,4,3,2,1000000000 xxxxxxxxX從根據題綱結合上表可以得知以下年份發生了旱災，為方便把年份1971-2000按數字編寫為1-30.1，5，9，12，17，22，25，30作災變映射，記為： 其中， 。為映射建立GM(1,1)模型。 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1,0iiX四、灰色GM（2,1）模型在灰色GM模型中，對于非負數的數列，累加的次數越多，隨機性弱化就越明顯，規律性就越強從而也就越容易用指數函數去逼近。灰色系統建模的初級形式GM(1,1)是基于一階單變量微分方程一階單變量微分方程建立的，其時間響應函數只有一個指數分量，因而它隨時間的發展過程是單調的，無法反應擺動情況，一般僅僅用于預測用于預測。而灰色數列GM（2,1）模型為單序列二二階線形動態模型階線形動態模型，它改進了這種局限性，