1、微分方程初值問題數值解習題課、應用向前歐拉法和改進歐拉法求由如下積分x t2 y e t dt 0所確定的函數 y 在點 x =0.5,1.0,1.5 的近似值解：該積分問題等價于常微分方程初值問題x2 y e xy(0) 0其中 h=0.5 。其向前歐拉格式為yi 1 yi he (ih)y0 0改進歐拉格式為yi 1h (ih)2yi 2(e(i 1)2h2ey0 0將兩種計算格式所得結果列于下表ixi向前歐拉法 yi改進歐拉法 yi000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.84969、應用 4 階 4 步阿達姆斯顯格式求解初值問題y

2、 x y 1y(0) 10 x 0.6取步長 h=0.1.解：4 步顯式法必須有 4 個起步值， y0已知，其他3 個 y1,y2,y3 用 4 階龍格庫塔方法求出。本題的信息有：步長 h=0.1 ；結點 xi ih 0.1i (i 0,1, ,6) ；f (x,y) x y 1,y0 y(0) 1經典的 4 階龍格庫塔公式為5hyi 1 yi h(k1 2k2 2k3 k4)6k1 f (xi,yi) xi yi 1hhk1k2f (xi,yi1)xiyi0.05k11.052 i2 i2ii 1k3 f (xi h2,yi h2k2 ) xi yi 0.05k2 1.05 k4 f (xi

3、 h,yi hk3) xi yi 0.1k3 1.1 算得 y1 1.0048375, y2 1.0187309, y3 1.04081844 階 4 步阿達姆斯顯格式yi 1 yi h (55fi 59fi 1 37 fi 2 9fi 3)241yi 214(18.5yi 5.9yi 1 3.7yi 2 0.9yi 3 0.24i 3.24)由此算出y4 1.0703231, y5 1.1065356,y6 1.1488186三、用 Euler 方法求y exy x 1,0 x 1y 0 1問步長 h 應該如何選取，才能保證算法的穩定性？ 解：本題 f x,y exy x 1fy x,y e

4、x 0,0 x 1本題的絕對穩定域為1 h 1 hex 1得 0 hex 2 ，故步長應滿足0 he 2, 0 h 0.736四、求梯形方法hyk 1 yk h f (xk,yk) f (xk 1,yk 1)2的絕對穩定域。證明：將 Euler 公式用于試驗方程 y y ，得到hyk 1 yk h2 yk yk 1整理hh1 2 yk 1 (1 2 )yk設計算 yk 時有舍入誤差 k, k 0,1,2, ，則有hh1k 1 (1 ) k據穩定性定義，要想 k 1 k ，只須1h1h2210因此方法絕對穩定域為復平面 h 的整個左半平面？ ），是 A-穩定的11五、對初值問題y yy(0) 1

5、證明：用梯形公式hyn 1 yn 2h f (xn, yn) f (xn 1,yn 1)求得的數值解為nyn2 h n2h并證明當步長 h 0 時， yn 收斂于該初值問題的精確 解 yn e x12證明：由梯形公式，有hyn yn 1yn 1 yn h2 f (xn, yn) f (xn 1,yn 1) yn整理，得yn 12h2 h yn由此遞推公式和初值條件，有13yn2hy02 h n2h14x 0,1 ，則有在區間 0,x 0,1 上有x xn nh ，步長hx由前面結果有lim yn lim n n n0 limhn2hlim 1h0由 x 的任意性，得所證15x2h h2h六、對

6、于微分方程 y f ( x, y) ，已知在等距結點 x0,x1,x2,x3處的 y 的值為 y0,y1,y2,y3，h 為步長。試建 立求 y4 的線性多步顯格式與與隱格式。解：取積分區間 x2,x4，對 y f (x,y) 兩端積分： x4x4y x4 y x2dy f (x,y)dxx2x2對右端 f (x,y) 作 x1, x2 , x3的二次插值并積分f (x, y)dxx2x l02 (x) f (x1, y1) l12 (x) f (x2, y2) l22 (x) f (x3, y3 )dx x2123h(3 f (x1, y1) 3 f (x2,y2) 7 f ( x3 , y

7、3 )337123得到線性 4 步顯格式 y4 y2 h(13 f1 32 f1 73 f3 )16若對右端在 x3,x4 兩點上作線性插值并積分，有 x44 f (x, y)dxx2l01(x) f (x3, y3) l11(x) f (x4, y4)dx x22hf (x4,y4)由此產生隱格式17y4 y2 2hf x4,y4七、證明線性多步法1 yn 1 (yn-y n-1)-y n-2 1(3 )h( fn fn 1)2存在 的一個值，使方法是 4 階的。解： 由本題的公式，有181yn 1(yn-y n-1)+yn-2 2(3)h(fn fn 1)Tn 1 y(xn h) yn 1

8、 y(xn) hy(xn) h2! y (xn)h3h4h3! y(xn) h4!y(4) (xn) O(h5) (y(xn) y(xn h) y(xn 2h) 12(3 )h(yn y(xn h)y(xn ) hy(xn)h2h3h4h2! y(xn) h3! y(xn) h4! y(4) (xn) O(h5) 2!3!4!h2h3h4y(xn) (y(xn) hy(xn) h2! y(xn) h3! y (xn ) h4! y(4) (xn) O(h5)(y(xn) 2hy(xn) (22h!) y(xn) (23h!) y (xn ) (24h!) y(4) (xn) O(h5)2! 3

9、! 4!191h2h312h(3 )(y(xn) y(xn) hy(xn) h2! y(xn) h3! y(4) (xn ) O(h5)22!3!1 2 (3 )hy ( xn ) 21 212 12(3 )h2 y(xn)1 14 1 (3) h3 y (xn )6 63 4 n1 1 2 1 2 (4) 5214 21423 112(3 )h2 y(4) (xn) O(h5)h4y(4) (xn) O(h5)1 )h3 y (xn ) 1 ( 912 n 24當 =9 時， Tn 1 O(h5) ，局部截斷誤差是 4 階的，故該多步法是 4 階方法20數值積分習題解答說明1.確定下列求積公

10、式中的參數，使其代數精度盡可能高，并指出對應的代數精度 h(1) f(x)dx A1f ( h) A0f (0) A1f(h)2h(2) 2h f (x)dx A1f( h) A0 f (0) A1f (h)211(3) f (x)dx f 1 2f(x1) 3f (x2) /3 h2(4) f (x)dx h f(0) f(h) /2 ah2 f (0) f (h) 6.若用復化梯形公式計算1xIexdx015問區間 0,1 應分成多少等份才能使截斷誤差不超過10 5 ？若用復化辛普森公式，要達2 到同樣的精度，區間 0,1 應分成多少等份？b7如果 f x 0 ，證明用梯形公式計算定積分 I a f (x)dx所得結果比準確值 I 大， 說明其幾何意義。11x10構造 Gauss 型求積公式f(x)dx A0 f (x0) A1f (x1)11.用 n=2,3的高斯 -勒讓德公式計算積分3ex sin xdx113.證明等式35nsin 2 4 n 3!n2 5!n4試依據 nsin (n 3,6,12) 的值，用外推算法求 的近似值。 n定理 6.4 設函數 F0(h) 逼近數