1、乘法公式的復習、復習 :(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b歸納小結公式的變式，準確靈活運用公式：符號變化，xyxy22x 2 y22x2y系數(shù)變化，2a b2ab224a2 b2222 2 222 2 22xy 2z m x2y2 z22zm+mx y z2zmm2222 位置變化， x y y x x2 y2 指數(shù)變化， x2 y2 x2 y2 x4 y4 換式變化， xy z m xy z m 增項變化， x y z x y z x yz x 2xy y z2 2 2 2 4 4 x y x y x y 連用公式變化，22

2、x y x y x y22 x y z x y z2x2y2z4xy 4xz例 1 已知ab2，ab1，求 a2 b2 的值。解： (ab)22a2abb2 a2b2=(ab)22ab/ ab2， ab 1 a2 b2=22212例 2已知ab8，ab2，求 (a b)2 的值。解：T (ab)22 a2abb222(a b)2 a2 2abb2-(ab)2(ab)24a2b (a b) 24ab=(a b)2 ab8，ab222 (a b)2824256 逆用公式變化，x y z x y z2例 3:計算 1999 -2000 X 1998解析此題中 2000=1999+1，1998=199

3、9-1 ，正好符合平方差公式。22解：1999 -2000 X 1998 =1999 - (1999+1)X( 1999-1 )=199 92- ( 19992-1 2) =19992-199 9 2+1 =1例 4:已知 a+b=2, ab=1，求 a2+b2和(a-b) 2的值。解析此題可用完全平方公式的變形得解。2 2 2解： a +b =(a+b) -2ab=4-2=222( a-b) 2=(a+b) 2-4ab=4-4=022例 5：已知 x-y=2 ， y-z=2 ， x+z=14 。求 x2-z 2的值。解析此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出x、y、z 的值，比較麻煩，考慮到x2-z 2是

4、由 x+z 和 x-z 的積得來的，所以只要求出 x-z 的值即可。22解：因為 x-y=2 ， y-z=2 ，將兩式相加得 x-z=4 ，所以 x2-z 2=( x+z ) (x-z)=14 X 4=56。例6:判斷(2+1) (22+1) (24+1)(22048+1) +1的個位數(shù)字是幾?1=( 2-1 )和上式可構成解析此題直接計算是不可能計算出一個數(shù)字的答案，故有一定的規(guī)律可循。觀察到循環(huán)平方差。解：(2+1) (22+1) (24+1)(22048+1 ) +124(2-1 ) ( 2+1) (2 +1)2048(2 +1) +14096=2=16 1024因為當一個數(shù)的個位數(shù)字是

5、6的時候，這個數(shù)的任意正整數(shù)幕的個位數(shù)字都是6，所以上式的個位數(shù)字必為6。例7 運用公式簡便計算2(1) 1032(2) 1982解：(1) 10310010022 10010000600106092(2) 19820022002 200 24000080039204例8 計算(1) a 4b 3c a 4b3c(2)3x2 3x y解：(1)原式 a3c4b a23c 4b a 3c4b6ac2 . 29c 16b29x2y 4y 4例9解下卜列J各式(1)已知2 ab213,ab6,求ab2,a b 2的值。(2)已知ab2乙ab24,求a2 b2,ab的值。22(3)已知aa 1a2 b

6、2,求abab的值。2(4)已知x13,求41x4-的,值。xx分析:在公式ab2a2,2 b 2ab中,如果;2把 a b, a(2)原式 3x了兩個就可以求出第三個。y 2b2和ab分別看作是一個整體,3x y 29x2 y2 4y 4則公式中有三個未知數(shù)，知道2 , 2 a b 13,ab(2)(3)2 2 2a b a b 2aba b2 7, a2 2a 2ab b得得(4)由 xx21325b2 2ab 13 22abb2b24 ababb23,12111,即即abb22ab例10.四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上112 121定是平方數(shù)嗎?A 11x為什么?119xx2分析：由于 1 2

7、 3 4 1 25 522 3 4 5 1 121 1125 6 1 361 192解：設n，n1，得猜想：任意四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上n 2，n 3 是四個連續(xù)自然數(shù)nn 3 n 1 n 222n 3n n 3n 2 11，都是平方數(shù)。22n 3n2n 3n 122 n 3n 12222tn是整數(shù)， n , 3n都是整數(shù)n 3n 1 一定是整數(shù)2n2 3n 1 是一個平方數(shù)四個連續(xù)整數(shù)的積與 1 的和必是一個完全平方數(shù)。二、乘法公式的用法（ 一 ） 、套用 : 這是最初的公式運用階段，在這個環(huán)節(jié)中，應弄清乘法公式的來龍去脈，準確地掌握其特征，為辨 認和運用公式打下基礎，同時能提高學生的觀察能

8、力。例 1. 計算： 5x2 3y2 5x2 3y22 2 2 2 4 4解：原式 5x2 3y225x4 9y4（二）、連用 : 連續(xù)使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例 2. 計算： 1 a a 1 a2 1 a4 1 解：原式 1 a2 1 a2 1 a41 a4 1 a41 a85z 1 3x 2y 5z 13x 1 2y 5z 3x 1例 3. 計算： 3x 2y解：原式 2y 5z222y 5z 3x 12 2 24y2 9x2 25z2 20yz 6x 1三、逆用 : 學習公式不能只會正向運用，有時還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運用 其解決問題。例 4.

9、 計算：5a 7b 8c5a7b 8c解：原式 5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c10a 14b 16c140ab 160ac四、變用 : 題目變形后運用公式解題。例 5. 計算： x y 2z x y 6z解：原式x y 2z4zx y 2z 4zxy222z 4z22 xy12z2 2xy4xz4yz五、活用 : 把公式本身適當變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾 個比較有用的派生公式：1.a b 2 2ab a2 b22.a b 2 2ab a2 b23.a b 2 a b 2 2a2 b2 4.a b 2 a b

10、2 4ab靈活運用這些公式，往往可以處理一些特殊的計算問題，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。例 6.已知 ab4，ab5，求a2 b2的值。解：22 abab22ab422526例 7.計算：abcd2bcd2 a解：原式2bcadbcad222bcad2a2 2b22c22d24bc4ad三、學習乘法公式應注意的問題(一) 、注意掌握公式的特征，認清公式中的“兩數(shù)”22例1 計算(-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本題兩個因式中“ -5 ”相同，“ 2x2”符號相反，因而“ -5 ”是公式(a+b)( a- b)= a2- b2中的a,而“ 2x2”則是公式中的 b2 2 2 2 2 4解：原式

11、 =(-5-2 x2)(-5+2 x2)=(-5) 2-(2 x2) 2=25-4x4例 2 計算(- a2+4b)2分析：運用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若將題目變形為(4Aa2)2時，則“ 4b”是公式中的a，而“ a2”就是公式中的b.(解略)(二) 、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計算(2x+y-z+5)(2 x- y+z+5).分析：粗看不能運用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“2x”、“ 5”兩項同號，“ y”、“ z”兩項異號，因而，可運用添括號的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式2 2 2 2解：原式 =(2x+

12、5)+( y-z)(2x+5)-( y-z)=(2x+5)2-( y-z)2=4x2+20x+25-y+2yz-z2248例 5 計算(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(2-1 )，則可運用公式，使問題化繁為簡2 482248448解：原式 =(2-1)(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=(28-1 )(28+1)=216-1(三) 、注意公式的推廣計算多項式的平方，由(a+b) 2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a

13、+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的2 倍例 6 計算 (2x+y-3) 22 2 2 2 2解：原式=(2 x) +y +(-3) +2 2x y+2 2x(-3)+2 y(-3)=4 x +y +9+4xy-12 x-6 y.(四) 、注意公式的變換，靈活運用變形公式例 7(2) 已知：x+2y=7, xy=6，求(x-2 y)2 的值.分析：粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式的下列變形：x2+y2=(x+y)2-2xy， x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-( x-y)2=4xy，問題

14、則十分簡單.解：(2)( x-2 y)2=(x+2y)2-8 xy=72-8 X 6=1.2 2 2例 8 計算(a+b+c) +( a+b-c) +(a- b+c)+( b-a+c).分析：直接展開，運算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而問題容易解決.2 2 2 2 2 2 2 2解：原式=(a+b)+ c +( a+b)- c + c+(a- b) +c-( a- b) =2 ( a+b) +c +2 c +(a-b)=2(a+b)2+(a-b)2+4c2222=4a +4b +4c(五) 、注意乘法公式的逆運用例 9 計算 (a

15、-2b+3c)2-( a+2b-3 c)2. 分析：若按完全平方公式展開，再相減，運算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運算簡便得多.解：原式 =( a-2b+3c)+( a+2b-3c)( a-2b+3c)-( a+2b-3c)=2 a(-4 b+6c)=-8 ab+12ac.22例 10 計算(2 a+3b) -2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5b) 分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算，但逆用完全平方公式，則運算更為簡便.2 2 2 2 2 2解：原式 =(2a+3b)2+2(2a+3b)(4 a-5b)+(4 a-5b)2=(2 a+3b)+(4 a-5b)

16、2=(6 a-2 b) 2=36a2-24 ab+4b2.四、怎樣熟練運用公式：(一) 、明確公式的結構特征這是正確運用公式的前提， 如平方差公式的結構特征是： 符號左邊是兩個二項式相乘， 且在這四項中有兩項完全 相同，另兩項是互為相反數(shù)；等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相反項的平方.明確了公式的 結構特征就能在各種情況下正確運用公式.(二) 、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母 a、b 可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式.理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛 的范圍內(nèi)正確運用公式.如計算(x+2y 3z) 2，若視x+2y為公式中的 a, 3z為b,則就可用(a- b)

17、 2=a2 2ab+b2來解了。(三) 、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計算,此時要根據(jù)公式特征, 合理調整變化, 使其滿 足公式特點.常見的幾種變化是：1位置變化女口( 3x+5y) (5y 3x)交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計算了.2、符號變化女如( 2m 7n)(2m 7n)變?yōu)?2m+7n)(2n7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不變或不這樣變，可以嗎？)3、 數(shù)字變化女口 98X 102, 992, 912等分別變?yōu)?100-2) (100+2), (1001) 2, (90+1) 2后就能夠用乘法公式加以 解答了.4、系數(shù)變化如

18、(4mn ) (2n n )變?yōu)? (2n+ ) (2n t)后即可用平方差公式進行計算了.24445、項數(shù)變化如口( x+3y+2z) (x 3y+6z)變?yōu)?x+3y+4z 2z)(x 3y+4z+2z)后再適當分組就可以用乘法公式來解了(四) 、注意公式的靈活運用有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當?shù)墓揭允褂嬎愀啽闳缬嬎?a2+1) 2 ( a2 1) 2,若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進一步計算，則非常簡便.即原式=(a2+1) (a2 1) 2=(a4 1) 2=a8 2a4+1.對數(shù)學公式只會順向(從左到右)運用是遠遠不夠的，還要注意逆向(從

19、右到左)運用如計算(1-j ) (1丄)(1丄)( 1 -) (1 丄)，若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難，而且容易出錯.若注32429210意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題.即原式=(1 丄)(1 + - ) (1 1) (1 + 1) x-x (1丄)(1 +丄)=丄 x 3 x 2 x 4 x-x .1 x H = 1 x 11 =1!.223310102233101021020有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2= (a+b) 22ab，a2+b2= (a b) 2+2ab 等.用這些變式解有關

20、問題常能收到事半功倍之效.2 2 2 2女口已知 m+n=7，mn= 18，求 m+n，m mr+ n 的值.面對這樣的問題就可用上述變式來解，2 2 2 2即 m+n= (mm) 2mn=7 2X( 18) =49+36=85，2 2 2 2m mr+ n= (mm) 3m=7 3X( 18) =103.下列各題，難不倒你吧？！1、若 a+ 1 =5,求(1) a2+$，(2) (a - ) 2的值.aaa2、求(2+1) (22+1) ( 24+1) ( 28+1 ) ( 216+1 ) ( 232+1 ) ( 264+1 ) +1 的末位數(shù)字.(答案：1. ( 1) 23; (2) 21

21、. 2. 6 )五、乘法公式應用的五個層次乘法公式：(a + b)(a b)=a2 b2， (a b)=a 2土 2ab+ b2，2233(a b)(a ab + b )=a b .第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用.例1計算-2x y)(2x - y).21 W4(2)(解原式312丿278 原式=(-y) - 2x( - y) + 2x=y 2 - 4x2.第二層次一 用，即將這些公式反過來進行逆向使用.例2計算2 2(1)1998 - 1998 3994 + 1997;2 2 2解 原式=1998 - 2 1998 1997 + 1997 =(1998 - 19

22、97) =1(2)原式機胡(胡(胡胡(1+銖-訓+勁1 3242-1 V W911 _” li2 239910io=20第三層次一一活用：根據(jù)待求式的結構特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應用公式.248例 3 化簡：(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) + 1 .分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有規(guī)律，如果再增添一個因式“2- 1”便可連續(xù)應用平方差公式，從而問題迎刃而解.解原式=(2 - 1)(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4 + 1)(2 8+ 1) + 1224816=(2 - 1)(2+ 1)(2+ 1)(2 + 1) +

23、 仁2 .例 4 計算：(2x - 3y - 1)( - 2x - 3y + 5)分析仔細觀察，易見兩個因式的字母部分與平方差公式相近，但常數(shù)不符.于是可創(chuàng)造條件一“拆”數(shù)：-仁2-3, 5=2 + 3，使用公式巧解.解原式=(2x - 3y- 3+ 2)( - 2x - 3y + 3 + 2)2 2 2 2=(2 - 3y) + (2x - 3)(2- 3y) - (2x - 3)=(2 - 3y) - (2x - 3) =9y - 4x + 12x - 12y - 5.2,223a + b =(a + b) 2ab, a第四層次變用：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如

24、+ b3=(a + b)3 3ab(a + b)等，則求解十分簡單、明快.2233例 5 已知 a+ b=9, ab=14,求 2a + 2b 和 a + b 的值.f2222解：/ a + b=9, ab=14,. 2a + 2b =2(a + b) 2ab=2(9 2 14)=106 ,3333a + b =(a + b) 3ab(a + b)=9 3 14 9=351第五層次綜合后用：將(a + b)2=a2+ 2ab + b2和(a b) 2=a2 2ab+ b2綜合，2 2 2 2 2 2可得(a + b) + (a b) =2(a + b ); (a + b) (a b) =4ab

25、;品Th丿 上丿等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷.例 6 計算：(2x + y z + 5)(2x y+ z + 5).1 2 1解：原式=(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)-(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)442 2 2 2 2=(2x + 5) (y z) =4x + 20x + 25 y + 2yz z六、正確認識和使用乘法公式1、數(shù)形結合的數(shù)學思想認識乘法公式：對于學習的兩種(三個)乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2、完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2;(a-b) 2=a2-2ab+b2,可以運用數(shù)形結合的數(shù)學思想

26、方法來區(qū)分它們。假設a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認識乘法公式。如圖1,兩個矩形的面積之和(即陰影部分的面積)為 (a+b)(a-b)，通過左右兩圖的對照，即可得到平方差公式 (a+b)(a-b)=a 2-b2；圖2中的兩個圖陰影部分面積分別為(a+b) 2與(a-b) 2，通過面積的計算方法，即可得到兩個完全., 2 2 2 2 2 2平方公式：(a+b) =a +2ab+b 與(a-b) =a -2ab+b。提出負號：對于含負號較多的因式，通常先提出負號，以避免負號多帶來的麻煩。例1、運用乘法公式計算：2(1)(-1+3x)(-1-3x)；( 2)(-2m-1)2 2 2

27、解：(1)(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=1-(3x)=1-9x .(2) (-2m-1) 2=-(2m+1) 2=(2m+1)2=4m2+4m+1.改變順序：運用交換律、結合律,例2、運用乘法公式計算:(1)1 1(3a-4b)(-1 a4b - 3)；(2) (x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)解：(1)(-a-b )(-1 a4b 一 a)=(-11 114b+ 3a )(- 4b - 3a )(2) (x-1/2)(x逆用公式=(；b- 3a )(11123“ 4b 盲)=(4b)-(2+ 1/4)(x+1/2)= (x-1

28、/2) )(x+1/2)(x1 2 1 2 1 21a) = H6b- 1a2+ 1/4)=(x2-1/4) (x 2+1/4)= x 2-1/16.將幕的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b 2 = (a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得anbn=(ab) n,等等，在解題時常會收到事半功倍的效果。例3、 計算:2(1)(x/2+5) -(x/2-5)2解：(1)(x/2+5) -(x/2-5)2 2 2 2(2)(a-1/2) (a +1/4) (a+1/2)2=(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5

29、-x/2+5)=x10=10x.“ 、 2 2 2(2)(a-1/2) (a +1/4)2 2 2 2=(a-1/2)(a+1/4) (a+1/2)=(a-1/2) (a+1/2) (a +1/4)2(a+1/2)2224284=(a -1/4 ) (a +1/4)=(a -1/16 ) =a -a /8+1/256.合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完全相同的項調到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進行計算。調整因式或因式中各項的排列順序，可以使公式的特征更加明顯分組，則可應用公式展開。解：(1)(x+y+1)(1-x

30、-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=12-(x+y)2 2=1-(x +2xy+y )= 1-x2-2xy-y(2) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)2 2 2 2 2=(2x+5) -(y-z)=(4x +20x+25)-(y -2yz+z )2 2 2 2 2 2=4x +20x+25-y +2yz-z = 4x -y -z +2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，是今后學習的基礎，應用極為廣泛。尤其多項式乘多項式，運

31、算過程復雜， 在解答中，要仔細觀察，認真分析題目中各多項式的結構特征，將其適當變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運 算就顯得簡便易行。一.先分組，再用公式例 1.計算：（a b c d）（ a b cd）簡析：本題若以多項式乘多項式的方法展開，則顯得非常繁雜。通過觀察，將整式（a b c d）運用加法交換律和結合律變形為（b d） （a c）；將另一個整式（a b c d）變形為（b d） （a c），則從其中找出了 特點，從而利用平方差公式即可將其展開。解：原式（bd)(ac)b d a c(bd)2(ac)2b22bdd22 a2ac c2先提公因式，再用公式例2.計算：8x 4x 24

32、簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關系，若將第一個多項式中各項提公因數(shù)2出來，變?yōu)? 4x 乂 ，則可利用乘法公式。4解：原式 2 4xy44xy42 4x22y432x22 y_8三.先分項，再用公式x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互例 3.計算：2x 3y 2 2x 3y 6簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn),為相反數(shù)，符合乘法公式。進而分析如何將常數(shù)進行變化。若將2分解成4與2的和，將6分解成4與2的和，再解：原式=(2x 4)(2 3y) 2x 42 3y2 2(2x 4)22 3y2 24x1

33、6x 12 12y 9y四先整體展開，再用公式例 4.計算：(a 2b)(a 2b 1)簡析：乍看兩個多項式無聯(lián)系，但把第二個整式分成兩部分，即(a 2 b) 1，再將第一個整式與之相乘，利解：原式(a 2b) (a 2b)1(a2b)(a2b)(a 2b)2 a4b2 a2b用平方差公式即可展開。五.先補項，再用公式例 5.計算：3 (38 1)(341)(32 1)(3 1)簡析：由觀察整式(3 1)，不難發(fā)現(xiàn)，若先補上一項(3 1)，則可滿足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展開，使運算變得簡便易行。解：原式(381)(34 1)(321)(3 1)(3 1)2(381)(341)(32

34、1)(322(381)(341)(341)2(381)(381)2(316 1)23161)六.先用公式，再展開例6.計算:1 2232421021 2簡析：第一個整式1 可表示為12221-，由簡單的變化，可看出整式符合平方差公式，其它因式類2似變化，進一步變換成分數(shù)的積，化簡即可。1111丄-1-1 -1：原式 1111111223314253.119112233441020七.乘法公式交替用例 7.計算：(x z)(x2 2xz z2)(x z)(x2 2xz z2)簡析：利用乘法交換律，把第一個整式和第四個整式結合在一起，把第二個整式與第三個整式結合，則可利用乘