1、會計學1等比數列等比數列一個細胞進行有絲分裂，每分裂一次個數就加一個細胞進行有絲分裂，每分裂一次個數就加倍，問：分裂倍，問：分裂5次后有多少個細胞？（如圖）次后有多少個細胞？（如圖）觀察發現細胞分裂個數組成了下面的數列：觀察發現細胞分裂個數組成了下面的數列：細胞分裂次數與個數情況：細胞分裂次數與個數情況：分裂次數分裂次數細胞個數細胞個數n42n832212 , 4 , 8 , 2 n一、舉例一、舉例432516第1頁/共17頁莊子曰：莊子曰：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”.”意思：意思：“一尺長的木棒，每日取其一半，永遠也一尺長的木棒，每日取其一半，永遠也取不完

2、取不完.” .” 如果將如果將“一尺之棰一尺之棰”視為一份，則視為一份，則每每 日剩下的部分依次為：日剩下的部分依次為：11111 , , , , , 24816這兩數列的特點：從第這兩數列的特點：從第2項起，每一項與前一項的比項起，每一項與前一項的比都等于都等于同一常數同一常數. .結合例結合例1得到的數列觀察：得到的數列觀察：我們把這樣的數列稱為等比數列我們把這樣的數列稱為等比數列.2 , 4 , 8 , 2n第2頁/共17頁1nnaqa 10na 21nnaqa 若存在若存在 ，根據定義，根據定義 ，則分母，則分母出現出現0 0，無意義，故一切項都不能為，無意義，故一切項都不能為0.0.

3、50a 65aqa 注注: :等比數列的公比和任意一項都不能為等比數列的公比和任意一項都不能為0.0. 用符號語言表示：在數列用符號語言表示：在數列 中，若中，若 則則 是等比數列是等比數列 na na 1nnaq nNa 第3頁/共17頁 na32nna 2 ,13 2 ,2nnnan 23322123 23 26,223 2aaaa 這個數列不是等比數列這個數列不是等比數列11322,2.32nnnnana 解：這個數列是等比數列，以下證明：解：這個數列是等比數列，以下證明：所以，這個數列不是等比數列所以，這個數列不是等比數列.所以，數列是以公比為所以，數列是以公比為2的等比數列的等比數列

4、.是常數是常數第4頁/共17頁注：證明一個數列是等比數列應從定義入手注：證明一個數列是等比數列應從定義入手 證明一個數列不是等比數列，只需舉出證明一個數列不是等比數列，只需舉出三項不成等比即可三項不成等比即可. .第5頁/共17頁如果如果a與與b之間插入一個數之間插入一個數G , ,使使a, ,G, ,b成等比數列，那成等比數列，那么么G叫做叫做a與與b 的等比中項的等比中項. .注：（注：（1 1）等比中項）等比中項G有兩個；有兩個；2GbGabaG ,(0,b 0,G 0)aGab 根據等比數列的定義有根據等比數列的定義有（2 2）因為）因為 , ,故故a與與b必須同號；必須同號；20Ga

5、b （3 3）若去掉）若去掉 a0,b0且且G0, ,則由則由 得不得不到到a, ,G, ,b成等比數列成等比數列. .2Gab 第6頁/共17頁1aq na11nnaa q 2123211234311 aa qaa qa q qa qaa qa qqa q 推導：方法一（不完全歸納法推導：方法一（不完全歸納法）11nnaa q 歸納得到：歸納得到：第7頁/共17頁 3241231 , , 2nnaaaqqqaaaaqna 11 nnnaa qN 把以上把以上( (n-1)-1)個式子左右相乘個式子左右相乘：3124123211nnnnnaaaaaqqqqqaaaaa 因為當因為當n= =1時

6、時 也滿足上式的結論也滿足上式的結論1a 1111 2nnnnaqaaa qn （疊乘法疊乘法）第8頁/共17頁123456789102468101214161802xy xy 21,2,3,4,.nnan 數列數列 的的圖像是函數圖像是函數 的圖像上的孤立點的圖像上的孤立點. . 2nnanN 2xy 第9頁/共17頁即數列即數列 中的各項是函數中的各項是函數 的圖像上的圖像上的孤立點的縱坐標的孤立點的縱坐標. .1(1)xayqqq1naqq 數列數列 的圖像是函數的圖像是函數 的的圖像上的孤立點圖像上的孤立點. .111nnnaaa qqq 1(1)xayqqq 一般性結論：一般性結論：

7、第10頁/共17頁3121183122a qqa q na3412,18,aa12,a a2313411218aaqaaq 方程思想：方程思想： 中有四個量首項中有四個量首項 ，公比，公比q ，項數項數n, ,末項末項 , ,要能知三求一要能知三求一. .11nnaa q na1a12116 ,83aaa q解：解：第11頁/共17頁（1 1）定義法：）定義法： 是等比數列數列na2 112221naaaaaannnnnn或（2 2）等比中項法：）等比中項法：的指數型函數是一個關于nqqaqaannn111（3 3）通項公式法：）通項公式法： 是等比數列數列na0qq為常數，且211nqaaq

8、aannnn或 是等比數列數列na注：注：證明證明一個數列是等比數列要用定義證明一個數列是等比數列要用定義證明 第12頁/共17頁11nnaa q 5 5、性質：等比數列、性質：等比數列 首項首項 ，公比，公比 q na1a,n mnmm nNaa q 1111,nmnmaa qaa q 111111nnn mnmmmaa qqqaa qq n mnmaa q (1)(1)廣義通項公式：廣義通項公式：22 na q n mma q 證明：證明：第13頁/共17頁n mnmaa q 例例3.3.等比數列等比數列 中，中， 則公比則公比q是多少？是多少？ na258,64,aa 35264 8 8 2aqaq4116488a qa q382qq21451864aa qaa q 352aa q 解法一：應用廣義通項公解法一：應用廣義通項公式式解法二：化成含有解法二：化成含有 和和q的式子，解方程的式子，解方程組組1a第14頁/共17頁3 3、等比數列的通項公式及其推導方法，特別是、等比數列的通項公式及其推導方法，特別是疊乘法要求掌握；疊乘法要求掌握；4 4、判斷等比數列的方法：、判斷等比數列的方法：（1 1）定義法；（）定義法；（2 2）等比中項公式法