1、演繹、歸納、類比劉偉 邸賀璇什么是推理 推理是從一個或幾個已知判斷得到一個新的判斷的思維形式。每一個推理都是由前提和結論兩部分組成，用來得出新判斷的已知判斷就是推理的前提，得出的新判斷就是推理的結論。 推理的種類很多，按推理所表現出來的思維的方向性，可分為演繹推理、歸納推理、類比推理，每一種推理都對應著一種推理方法，他們構成了分析、論證數學問題的基本工具。什么是數學推理 推理有內容和形式兩個方面，內容指前提和結論的真假性問題，形式指推理的結構形式問題。通常的形式邏輯只研究推理的形式部分，不涉及推理的內容。數學推理則二者兼顧，不僅要求前提內容真實，而且推理必須合乎邏輯，即推理必須遵循正確的推理形

2、式。 數學推理方法按形式可分為演繹法、歸納法和類比法；按推得結論的可信性，又可分為歸屬必真推理和似真推理兩大類。 關于推理的詳細介紹可以參考錢佩玲編著的中學數學思想方法。什么是演繹 演繹法即推理演繹，是運用邏輯推理進行求解與論證的思維方法。只要推理是形式是正確有效的，總能由真實的前提得到真實的結論，是一種嚴格的推理方法，所以演繹推理可為數學問題提供嚴謹的邏輯證明，也可以用它來揭示事物間的內在聯系。是從一般到特殊或個別的推理方式。 演繹法是證明方法，只要前提正確，那么獲得的結論一定正確. 演繹推理分為直接推理和間接推理。直接推理是只有一個前提的推理，間接推理是有兩個或兩個以上前提的推理。 直接推

3、理主要包括換質法、換位法和換質位法三種。 間接推理種類很多，有三段論、關系推理、聯言推理、選言推理、假言推理。這里只介紹三段論。 所謂三段論推理，就是從某類事物的全稱判斷（大前提）和一個特稱判斷（小前提）得出一個新的、較小的全稱或特稱判斷（結論）的推理。它的結本結構是： 大前提 M是（或不是）P 小前提 S是（或不是）M 結論 S是（或不是）P其中，P稱為大項，M稱為中項，S稱為小項，中項是媒介，在結論中消失。 三段論的依據是下面這個不證自明的公理，也稱為三段論公理：一類事物的全部是什么或不是什么，那么這類事物中的部分也是什么或不是什么。演繹的作用 1 判斷一個數學命題的真實性。一個命題是否正

4、確，必須經過證明后方能確認，而證明是根據一些命題的真實性，并有一系列演繹推理構成的思維過程。 在數學發現的活動中，提出的猜想是否成立，還必須運用演繹的方法來驗證或尋找反例加以否定 2 建立數學知識體系。人們要把發現的數學知識整理成理論體系，必須運用演繹的方法，即從少量的概念（原始概念）、命題（公理）出發，進行推理論證，建立、展開整個理論體系。由此可見，演繹在數學思維中占有主導地位，它幾乎滲透于每一個思維過程之中，使得數學具有了高度的嚴謹性和結論的確定性。 例 利用二項式定理證明 NoImage 什么是歸納 歸納法也稱歸納推理，是指由個別到一般的推理方法，即從兩個或幾個單稱判斷或特稱判斷（前題）

5、得出一個新的全稱判斷（結論）的推理。 歸納是指由一類事物的部分對象具有某一屬性，而作出該類事物都具有這一屬性的一般結論的推理方法。 歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。 完全歸納法是指通過考察一類事物的全體對象，肯定它們具有某一屬性，從而做出這類事物都有這一屬性的一般性結論的歸納推理方法。 不完全歸納法亦稱部完全歸納推理，是指根據考察的一類事物的部分對象具有某一屬性，而做出該類事物都具有這一屬性的一般結論的歸納推理。 在數學中，常進行兩種不同內容的歸納。例：1、計算2、3、已知數列 ，其中 ，數列 是 中的那些3的倍數由小到大排列而成的數列。（1）試用k 表示 ，（2）求 的前 項之和 。nn

6、2221112 ,12xxxf ,求xfff naninia1 nb nakkbb212,nbm2mS2例12 試研究平面上N條直線至多把平面分成多少塊？ 解：“至多”，任意三條直線不交于一點，且任兩條直線不平行。 設f（n）為n條直線分割平面的最大塊數，則有f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，觀察可知，f（2）=f（1）+2； f（3）=f（2）+3；猜想有 f（n）=f（n-1）+n =f（n-2）+（n-1）+n= =f（1）+2+3+n=最后可用數學歸納法證之。222nn歸納在數學學習中的作用、意義和局限 歸納在數學學習中的作用和意義首先在于整理由觀察、實驗得到的經驗材料，是一種

7、進行比較、分析、抽象概括的基礎。 其次，歸納是數學發現與創新的一種方法，它從經驗材料推斷普遍特性，所以，它有發現新知識和探索真理的作用。 此外，在解題中，歸納法也是探索發現解決問題的常用方法。 誠然，歸納法在中學學習中比較符合學生的認知特點，尤其是有些公式和定理，由于受學生知識結構的限制，只能讓學生暫時接受其真實性，用歸納法給出而不加證明，但是，必須防止由此引出的弊端，是學生誤認為歸納出的結果就可信為真，造成邏輯上的混亂。為此，一方面要讓學生認識歸納既有一定的邏輯依據，又不具有充分的邏輯依據的特點，因此對歸納所得的結論必須證明才可以信以為真；另一方面有要向學生說明，哪些結論是應該證明，也可以證

8、明，知識目前受知識結構的限制，暫時不能證明的。 雖然歸納法有發現新知識、探索真理的作用，能概括、解釋新的數學事實，擴展認識成果，形成一般新的一般原理，但是發現過程并不是通過純粹的歸納來實現的，還必須有相應的知識基礎和聯想。 我珍視類比勝于任何東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中它應該是最不容忽視的 -開普勒 每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進 -康德1、類比法的含義類比法的含義 類比法是根據兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出在其他屬性上也相同或相似的推理方法，也稱為類比或類比推理。 從某種意義上講，類比是一種相似，兩個系統可以作類比

9、，如果它們各自的部分之間，在其可以清楚定義的一些關系上一致的話。也就是說，相似對象彼此在某些方面帶來一致性。 例：空間四面體與平面上的三角形。 四面體是有空間中最少數目的平面圍成的有限幾何體，三角形是有平面上最少數目的直線圍成的有限圖形。四面體在空間的位置與三角形在平面的位置是一致的，或者說在這一點上是相似的，它們具有類比關系。 類比的基礎是事物之間的相似性或某種一致性。只要兩個對象有某個方面的相似性，就可以類比，包括形式上的相似，結構上的相似，內容上的相似，地位上的相似等等。2、類比法的推理模式為：類比法的推理模式為： 類比往往應用于從一個對象（類比物）的“屬性”（類比項）推測另一個對象的“

10、屬性” A具有性質F1，F2，.,Fn,P B具有性質F1，F2，.,Fn. B具有性質P 一般地，兩個對象的已知共同相似屬性越多，由此推出結論的可靠性就越大。3、在數學中常見的類比在數學中常見的類比（1）個別與一般個別與一般例1： 整數整數 加、減、乘帶余除法算術基本定理 多項式多項式 加、減、乘 帶余除法 代數基本定理思考:以直角三角形為對應邊，所作出的其他各種相似圖形，是不是也具有（2）低維與高維）低維與高維例1：（維維阿尼定理）正三角形內任一點到三邊距離之和為一定值。類比：正四面體內任一點到其四個面的距離之和為一定值。（3）有限與無限）有限與無限例1：求和4、類比的危險類比的危險有限與

11、無限的類比，埋伏著許多危險陷阱。例：5、類比的作用類比的作用（1）類比有助于發現。盡管類比不能作為嚴格的推理方法，但是它在數學科學研究中，根據事物間的相似點提出假設和猜想，把已知事物的性質推廣到類似事物等方面上有重大作用。（2）類比是學習知識、系統地掌握知識和鞏固知識的有效方法。類比的客觀基礎是事物系統之間各要素的普遍聯系以及這些聯系之間存在的相似性和可比較性。所以利用原有認知結構，借助類比，可以有效的學習新知、掌握新知，對已有知識進一步作恰當類比，又可以將這些知識有機地系統起來。（3）類比在解題中具有啟迪思維的作用.6、類比與歸納、演繹的關系 類比與歸納的關系十分密切，二者既有聯系又有區別。

12、 從邏輯觀點看，它們都是合情推理，都具有創造潛能，而且在探索與發現的真理過程中，類比常與歸納綜合運用。當通過類比對已有的結果加以推廣時，所從事的常常就是歸納的工作。 類比與歸納在意義上差別很大，是兩種不同的探索式思維。類比法的推理是從特殊到特殊，它是歸納法和演繹法的中間狀態。演繹法只要前提正確，推出的結論就一定正確，但是演繹法推出的結論并沒有超出前提的范圍，不會得出新的一般原理；歸納法推出的結論不一定可靠，但是歸納法可以從許多事實中概括出新的一般原理，它是富于創造性的方法；而類比法推出的結論其可靠程度最差，但卻是最富有創造性的方法。小結 注意：類比法不是證明方法，它是一種似注意：類比法不是證明方法，它是一種似真推理，類比得到的結論或猜想不一定可真推理，類比得到的結論或猜想不一定可靠。靠。 類比既是一種邏輯推理方法，又是一種科學研究方法。它是人們思考和處理問題的重要手段，是發明創造的一把金鑰匙。如飛機的發明、潛艇的發明、叩診法、薄殼建筑等。 在中學教學中教師應當鼓勵學生觀察、聯想。 參考文獻：1 波利亞.數學與猜想（第一卷）M. 科技出版社,1984.2錢珮玲，邵光華. 數學思想方法與中學數學 M. 北京：北京師范大學出版社,