1、主講教師：李磊寧v 單位：中央財經大學金融工程系v 主講課程：金融工程學/固定收益證券v 聯系方式： 電子郵件：內容提要 久期久期1 凸性凸性2u久期的定義與計算u久期與票息率、到期收益率、剩余期限的關系u債券組合的久期 u凸性的定義與計算u凸性的性質 久期與凸度的簡單應用久期與凸度的簡單應用 3v基點價值表示當收益率變動一個基點時，百萬面值(或百元面值)的債券價格的絕對變動額.v基點價值計算的例子-1263100001263. 0/int1263. 0)/(8651.106%4238. 79914.106%4138. 7212211ypPVBPpobasisoneyppyppypy 基點價值

2、久期v久期的定義與計算(第一種含義) 久期(duration)是債券現金流發生的加權平均時間，權重是各次現金流的現值與債券市值的比重 （麥考利久期）公式：TtttBictD1)1 (久期v久期的計算(第一種含義) 票息率為5%、期滿日為3年的國債正在平價交易，其久期為 859. 2100%)51 (1053100%)51 ( 52100%)51 ( 51321DtTtticB11 tTttttTtitciictdidB111)1 (11)1 ()(DiBictiBdidBntt11)1 (1111didBBiD1didBBDm1久期久期v久期的定義(第二種含義) 久期是債券價格(針對利率的)變

3、化率乘以1加上利率 修正久期是債券價格(針對利率的)的變化率didBBiD1didBBDm1久期v債券價格的變動率 債券價格的變動率是修正久期與利率變動量的乘積 例如,某債券的修正久期是4，表明當利率下降（上漲）1%時，債券價格將上漲（下降）4%。 diDBdBm%4%14BdB久期v久期與票息率的關系 如果其他變量保持不變，當票息率（c/BT）增大時，則債券久期變小；反之，當票息率變小時，久期增大。TTTTiiiBcBiB)1 (1)1 (11/)()1 ()1 (1)/(1TTTTiiBciBBdidBBiD1iiBciBciTiDTTT 1)1)(/()1 ()/(11將該式考慮在內久期

4、兩邊取對數并對i求導024681012141618206.577.588.599.510c (%)d/md 圖 債 券 久 期 、 修 正 久 期 隨 息 票 率 變 動 示 意 圖 久 期修 正 久 期久期“21國債（10）”的息票率從1%變動到20%時，該債券的久期和修正久期如何變化 久期v久期與收益率的關系 久期對利率的一階導數小于零，意味著久期與利率的反向關系：當其他條件不變時，利率上升，久期縮短；利率下降，久期變長 TttTttTttTttTttTttDtwiDtDtwiwDtwDwtiDwtididD12112211211212121)()1 ()2()1 (2)1 ()1 ()(

5、)1 (iBicwttt久期TttDtwS12)(債券現金流發生時間的方差 現金流的權重01020304050607080901007.588.59i (0/oo)d/md圖 債 券 久 期 、 修 正 久 期 與 利 率 變 動 關 系 示 意 圖 久 期修 正 久 期收益率從1%變動到20%時， 21國債（10）”的久期和修正久期如何變化。 久期久期v久期與剩余到期時間的關系010203040506070809010005101520253035t (year)d/md圖 債 券 久 期 、 修 正 久 期 與 距 離 到 期 日 時 間 關 系 示 意 圖 久 期修 正 久 期對于零息債

6、券而言，久期就是其剩余期限，所以，零息債券的剩余期限嚴格與久期成正比；對于附息債券，隨著到期日的延長，久期也增大，但有一個極限（1+1/i） 久期v債券組合的久期 債券組合的久期是構成組合的各個債券久期的加權平均 權重是各個券種的市值占債券組合總市值的比重 注意：采用這種簡單的方式計算組合的久期必須有嚴格的假定前提，那就是利率期限結構是扁平的并且其形狀與位置都保持不變 1,)()(,11njjjjnjjjpXiPiBXDXD凸性v凸性的定義與計算 定義：凸性（convexity）即債券價格曲線的曲率，反映了該曲線的彎曲程度。價格曲線彎曲的程度越大，凸性就越大。 債券價格市場利率0圖4-1：債券

7、價格曲線圖v例子-某債券票息率 7.25% ,當前價格100.40695, 當前 YTM is是7.216%. 試比較發生以下兩種情況時,債券實際價格與由久期預計的價格變動的差別:(1) 收益率增加 1 basis point(2) 收益率增加 200 basis points凸性 (1)收益率增加一個基點后的新價格是 100.28478.PVBP 是(100.40695-100.28478)*10000=1223,MD=12.12%1212. 010001. 012.12yMDPP凸性凸性%24.2410020012.12yMDPP (2)收益率增加 200 基點后 所以由修正久期預測的新價

8、格是 100.40695*(1-24.24%)=76.06831凸性凸性v我們用新的收益率(9.216%)算出的實際價格是 80.16387.所以,實際價格變化是 100.40695-80.16387=20.24308v 而由久期預測的變化是 100.40695*0.2424=24.33865v 差別由債券價格曲線的凸性造成,這個差別是 24.33865-20.24308=4.09557凸性凸性7.216%9.216%80.1638776.0683差異收益率價格100.40695凸性凸性ttTticttiBdiBdBdidBdidBC)1 ()1 ()1 (1111222njjjpCXC1凸性

9、的算式組合的凸性凸性凸性v考慮凸性以后債券價格波動的估計 線性一次逼近 二次逼近i*i*+iB*B*+B321有效的債券價格市場收益率價格2)(21diCdiDBBm收益率債券價格債券A債券B凸性債券A相對于債券B的凸性大，所以A的價格往往高于B凸性v凸性的性質 凸性的大小與利率、久期和債券現金流發生時間的方差三個因素有關 ； 凸性與利率呈反向關系，與久期與債券現金流發生時間的方差呈正向關系 ；長期債券的凸性大于短期債券的凸性，因為前者的久期比較長；如果兩個債券組合有相同的久期，則常常是由若干不同的債券組成的債券組合的凸性大于由單一債券構成的債券組合的凸性，因為前者債券現金流發生時間的方差往往

10、大于后者 )1 ()1 (2DDSiC久期與凸性的簡單應用v 解決資產與負債的期限匹配 v 某一金融機構未來有一系列債務Lt，同時也有一系列的資產收入At，這些債務或者資產可以看作是一系列的零息債券。如果所有期限的利率水平為i，資產與債務的當前價值A0和L0是相同的，把它們放在一起就是一個投資組合N，令N=A0-L0，TtttiLL10)1 (TtttiAA10)1 (0101)1 ()1 (LitLDAitADTtttLTtttA資產的久期債務的久期0)1)(tttiLAdiddidN無論利率如何變化，投資組合N將來的價值變化為零 0)()1 ()1)()1 (00111ADLDiiALti

11、didNALTtttt只有DA=DL，即資產的久期與負債的久期相等，才能基本保證投資組合在利率變化時價值變化為零。如果再加上凸性相等，就能夠完全匹配資產與債務。 久期與凸性的簡單應用v構建對沖債券投資組合 市值相同 組合久期和凸性相同 做空對沖債券投資組合即可完全規避利率風險v構建凸性增強債券投資組合 市值相同 久期相同 用多種債券構造凸性更高的債券投資組合組合市值10萬元。各債券的市值權重相同，即各占債券組合總市值的1/3 。2009年10月29日這一天組合的久期和凸度分別為5.31和42.28。債券投資組合 （2009年10月29日）久期與凸性的簡單應用v構建對沖債券投資組合用于對沖的債券

12、組合 用于對沖的債券組合的屬性 215.41份“03國債(7)”、677.32份“06國債(3)”以及134.32份“03國債(3)”。 v構建對沖債券投資組合 久期與凸性的簡單應用久期與凸性的簡單應用v構建凸性增強債券投資組合 增強凸性的重要措施就是盡量用債券組合代替單一債券，因為債券組合的現金流發生時間的方差往往大于單個債券，在久期相同的情況下，現金流發生時間的方差大小對凸性有決定性的作用，方差越大，凸性越強。 久期與凸性的簡單應用v構建凸性增強債券投資組合 x、y、z是三個不同的債券，我們希望x、y構成一個組合來代替z。設Nx、Ny、Nz分別代表這三種債券的數量，Bx、By、Bz分別代表這三種債券的價格，Dx、Dy、Dz分別代表這三種債券的久期，組合構造的原則就是“市值相同、久期相同” zyzzyyxzzxxzzyyxxDDBNBNDBNBNBNBNBN)()()()(xyyxzzzyxyxyzzzxDDBDDBNNDDBDDBNN久期與凸性的簡單應用v構建凸性增強債券投資組合 現有債券的基本情況：假設投資者只擁有“2006年記賬式(三期)國債”債券這一種債券，其價值為100000元。該債券簡稱“06國債（3）”，該債券的發行日期為2006年3月27日，期限10年，半年付息一次，利息支付日為每年3月2