1、1第第10章章 數字信號最佳接收數字信號最佳接收主講：黃慧主講：黃慧210.1 數字信號的最佳接收數字信號的最佳接收n“最佳最佳”的準則：的準則：錯誤概率最小錯誤概率最小n產生錯誤原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二產生錯誤原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進制數字通信系統中如何使噪聲引起的錯誤概率最小。進制數字通信系統中如何使噪聲引起的錯誤概率最小。n判決規則判決規則設在一個二進制通信系統中發送碼元設在一個二進制通信系統中發送碼元“1”的概率為的概率為P(1)，發送碼元發送碼元“0”的概率為的概率為P(0)，則總誤碼率，則總誤碼率Pe等于等于式中式中Pe1 = P(0/1) 發送發送“

2、1”時，收到時，收到“0”的條件概率；的條件概率； Pe0 = P(1/0) 發送發送“0”時，收到時，收到“1”的條件概率；的條件概率；上面這兩個條件概率稱為上面這兩個條件概率稱為錯誤轉移概率錯誤轉移概率。01)0() 1 (eeePPPPP3按照上述分析，接收端收到的每個碼元持續時間內的電壓可按照上述分析，接收端收到的每個碼元持續時間內的電壓可以用一個以用一個k 維矢量表示。接收設備需要對每個接收矢量作判維矢量表示。接收設備需要對每個接收矢量作判決，判定它是發送碼元決，判定它是發送碼元“0”，還是，還是“1”。由接收矢量決定的兩個聯合概率密度函數由接收矢量決定的兩個聯合概率密度函數f0(r

3、)和和f1(r)的曲線的曲線畫在下圖中（在圖中把畫在下圖中（在圖中把r 當作當作1維矢量畫出。）：維矢量畫出。）：假設假設r0 為判決電平為判決電平，可以將此空間劃分為兩個區域可以將此空間劃分為兩個區域A0和和A1，其邊界是其邊界是r0，并將判決規則規定為：并將判決規則規定為： 若接收矢量落在區域若接收矢量落在區域A0內，則判為發送碼元是內，則判為發送碼元是“0”；若接收矢量落在區域若接收矢量落在區域A1內，則判為發送碼元是內，則判為發送碼元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)4這樣，總誤碼率可以寫為這樣，總誤碼率可以寫為式中，式中，P(A0/1)表示發送

4、表示發送“1”時，矢量時，矢量r落在區域落在區域A0的條件概的條件概率率 P(A1/0)表示發送表示發送“0”時，時， 矢量矢量r落在區域落在區域A1的的條件概率條件概率這兩個條件概率可以寫為：這兩個條件概率可以寫為：因此因此A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe0)() 1/(10AdfAPr rr r1)() 0/(01AdfAPr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr r什么情況下，什么情況下，Pe最小？最小？5為了求出使為了求出使Pe最小的判決分界點最小的判決分界點

5、r0 ，將上式對，將上式對r0 求導求導 并令導函數等于并令導函數等于0，求出最佳分界點求出最佳分界點r0的條件：的條件：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)()0()() 1 (00010r rr rr rfPfPPe0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP)()()0() 1 (0100r rr rffPP當先驗概率相等時，即當先驗概率相等時，即P(1) = P(0)時，時，f0(r0) = f1(r0)，所以，所以最佳分界點位于圖中兩條曲線交點處的最佳分界點位于圖中兩條曲線交點處的r 值上。值上。6在判決邊界在判決邊界r確定之后，這時有：確定之后

6、，這時有： 在發送在發送“0”和發送和發送“1”的先驗概率相等時，上兩式的條件簡化的先驗概率相等時，上兩式的條件簡化為：為：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0) 若f0(r) f1(r)，則判為“0” 若f0(r) f1(r)，則判為“1”這個判決準則常稱為這個判決準則常稱為最大似然準則最大似然準則。按照。按照這個準則判決就可以得到理論上最佳的誤這個準則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達到理論上的碼率，即達到理論上的誤碼率最小值誤碼率最小值。)()0()() 1 ()()()0() 1 (0110r rr rr rr rfPfPffPP或者)()0()() 1

7、()()()0() 1 (0110r rr rr rr rfPfPffPP或者若若 ，則判為，則判為“0” ；若若 ，則判為，則判為“1” 。7以上對于二進制最佳接收準則的分析，可以推廣到多進制信以上對于二進制最佳接收準則的分析，可以推廣到多進制信號的場合。設在一個號的場合。設在一個M 進制數字通信系統中，可能的發送碼進制數字通信系統中，可能的發送碼元是元是s1，s2，si，sM之一，它們的先驗概率相等，能之一，它們的先驗概率相等，能量相等。當發送碼元是量相等。當發送碼元是si時，接收電壓的時，接收電壓的k 維聯合概率密度函維聯合概率密度函數為數為于是，若于是，若 則判為則判為si(t)，其中

8、，其中，dttstrnfsTikni200)()(1exp21)(r r),()(r rr rjiffMjij, 2, 18n確知信號確知信號：指其取值在任何時間都是確定的、可以預知：指其取值在任何時間都是確定的、可以預知的信號。的信號。n判決準則判決準則(最大似然準則最大似然準則)已知：已知：當發送碼元為當發送碼元為“0”，波形為，波形為so(t)時，接收電壓的概率密度時，接收電壓的概率密度為為當發送碼元為當發送碼元為“1”，波形為，波形為s1(t)時，接收電壓的概率密度時，接收電壓的概率密度為為dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r rdttstrnfsTkn2010

9、1)()(1exp21)(r r10.2 確知數字信號的最佳接收機確知數字信號的最佳接收機9若若則判為發送碼元是則判為發送碼元是s0(t)；若若 則判為發送碼元是則判為發送碼元是s1(t)。 將上兩式的兩端分別取對數，得到若將上兩式的兩端分別取對數，得到若則判為發送碼元是則判為發送碼元是s0(t)；反之則判為發送碼元是；反之則判為發送碼元是s1(t)。這里。這里假設兩個碼元的能量相同，即假設兩個碼元的能量相同，即所以上式還可以進一步簡化。所以上式還可以進一步簡化。 ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp) 0 ()()(1exp) 1 (ssTTdttstrn

10、PdttstrnP02002010)()(1exp) 0()()(1exp) 1 (ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnssTTdttsdtts021020)()()()0()() 1 (01r rr rfPfP和將上兩式代入判決準則式，將上兩式代入判決準則式，10若若式中式中則判為發送碼元是則判為發送碼元是s0(t)；反之，則判為發送碼元是；反之，則判為發送碼元是s1(t)。W0和和W1可以看作是由先驗概率決定的加權因子。可以看作是由先驗概率決定的加權因子。n最佳接收機最佳接收機u按照上式畫出的最佳接收機原理方框圖如下：按照上式

11、畫出的最佳接收機原理方框圖如下：ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()()0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW 11W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比較判決積分器積分器ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(相關形式接收機相關形式接收機其中)0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW 12r(t)S0(t)S1(t)積分器積分器比較判決t = Ts若此二進制信號的若此二進制信號的先驗概率相等先驗概率相等，則上式，則上式簡化為簡化為最佳接收機的原理方框圖也可以簡化成最佳接收機的原理方框圖也可以簡化成 ssTTdtt

12、strdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(0/1等概時相關接收機等概時相關接收機13由上述討論不難推出由上述討論不難推出M 進制通信系統的最佳接收機結構進制通信系統的最佳接收機結構 u上面的最佳接收機的核心是由相乘和積分構成的相關運算，上面的最佳接收機的核心是由相乘和積分構成的相關運算，所以常稱這種算法為所以常稱這種算法為相關接收法相關接收法。u由最佳接收機得到的誤碼率是理論上可能達到的最小值。由最佳接收機得到的誤碼率是理論上可能達到的最小值。 積分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比較判決積分器積分器1410.3 數字信號

13、的匹配濾波接收法n什么是匹配濾波器？什么是匹配濾波器？ 用線性濾波器對接收信號濾波時，使用線性濾波器對接收信號濾波時，使抽樣時刻抽樣時刻t0上上輸出信號噪聲比最大輸出信號噪聲比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。的線性濾波器稱為匹配濾波器。sTttntstr0),()()(n假設條件：假設條件：u濾波器輸入碼元濾波器輸入碼元s(t)的持續時間為的持續時間為Ts，信號和噪聲之，信號和噪聲之和和r(t)為為式中，式中，s(t) 信號碼元，傅里葉變換為信號碼元，傅里葉變換為S(f)， n(t) Pn雙邊雙邊(f) = n0/2高斯白噪聲；高斯白噪聲；線性線性濾波濾波器器H(f)，h(t)r(t)r0(t

14、)15n輸出電壓輸出電壓uy(t)中也包含中也包含so(t)和噪聲和噪聲no(t)兩部分，即兩部分，即式中式中)()()(tntstyoodfefSfHtsftjo2)()()(dffHndfnfHNo2002)(22)(n輸出噪聲功率輸出噪聲功率)()()(2fPfHfPRY由由 ，這時的輸出噪聲功率，這時的輸出噪聲功率No等于等于n在抽樣時刻在抽樣時刻t0處的處的輸出信噪比輸出信噪比輸出信號輸出信號t0時刻的瞬時功率與噪聲平均功率之比為時刻的瞬時功率與噪聲平均功率之比為dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0當當H(f)滿足什么條件的時滿足什么條件的時候

15、，候，r0最大，最大是多少？最大，最大是多少？16dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0)()(*21xkfxf且當且當 其中其中k為任意常數時，則上式的等號成立。為任意常數時，則上式的等號成立。 dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()(施瓦茲不等式：施瓦茲不等式：0022022022)()(2)()(nEndffSdffHndffSdffHr則根據不等式得：則根據不等式得：02)(*)(ftjefkSfH當當 時，上式的等號成立，即得到最大輸出時，上式的等號成立，即得到最大輸出信噪比信噪比r0max=2E/n0。dttsdffSE22)

16、()(其中其中17n匹配濾波器匹配濾波器 當線性濾波器特性滿足當線性濾波器特性滿足 時，時，H(f)H(f)（除了（除了常數因子外）等于信號碼元頻譜的復共軛，稱此常數因子外）等于信號碼元頻譜的復共軛，稱此濾波器為匹濾波器為匹配濾波器。配濾波器。 02)(*)(ftjefkSfHn匹配濾波器時域特性匹配濾波器時域特性可見，匹配濾波器的可見，匹配濾波器的沖激響應沖激響應h(t)就是信號就是信號s(t)的鏡像的鏡像s(-t)，但在時間軸上（向右）平移了但在時間軸上（向右）平移了t0。 )()()()()()(*)()(00)(2)(2*2222000ttksdttskdsdfekdfedeskdfe

17、efkSdfefHthttfjttfjfjftjftjftj 18000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)n圖解圖解 19l假設信號為假設信號為s(t), 則通常對應的匹配濾波器的特性為：則通常對應的匹配濾波器的特性為：l 頻域特性：頻域特性：H(f)=KS*(f)e-j2ft0l 時域特性：時域特性：h(t)=Ks(t0-t)l通常可選擇為通常可選擇為K=1，該濾波器在時刻，該濾波器在時刻t0能獲得最大輸出信噪能獲得最大輸出信噪比比 r0max=2E/n0l 其中：其中：E為為信號信號s(t)能量，能量，l n0為噪聲的單邊帶功率譜密度。為噪

18、聲的單邊帶功率譜密度。l通常在物理可實現系統中通常在物理可實現系統中t0取必須在輸入信號結束之后，取必須在輸入信號結束之后，即即t0Tend(Tend是信號是信號s(t)結束時刻結束時刻)，通常取，通常取t0=Tend。 20n輸出有用信號輸出有用信號s0(t)：)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts【解解】上式所示的信號波形是一個矩形脈沖，如下圖所示。】上式所示的信號波形是一個矩形脈沖，如下圖所示。其頻譜為其頻譜為l【例【例10.1】設接收信號碼元】設接收信號碼元s(t)的表示式為的表示式為試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形。試求其匹配濾

19、波器的特性和輸出信號碼元的波形。其他, 00, 1)(sTttstTss(t)1sfTjftjefjdtetsfS22121)()(21令令k = 1，可得其匹配濾波器的傳輸函數為，可得其匹配濾波器的傳輸函數為匹配濾波器的沖激響應為匹配濾波器的沖激響應為可以求出輸出信號：可以求出輸出信號：sfTjefjfS2121)(tTsh(t)102)(*)(ftjefkSfHsfTjefjfH2121)(ssTttTsth0),()()() () () () (0tTst stht stss)2(TsTsttriTstTss0(t)tTss(t)122由其傳輸函數由其傳輸函數可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下：可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下：因為因為 (1/j2 f)是理想積分器的傳輸函數，而是理想積分器的傳輸函數，而exp(-j2 fTs)是延是延遲時間為遲時間為Ts的延遲電路的傳輸函數。的延遲電路的