1、中山市高三級20132014學年度第一學期期末統一考試數學試卷（文科）答案本試卷共4頁，20小題，滿分150分考試用時120分鐘一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分 daacd cbbcb二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分11. ; 12; 13. ; 14. 三、解答題： 本大題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟15（本題滿分12分）設平面向量，函數。（）求函數的值域和函數的單調遞增區間;（）當,且時,求的值.15解： 依題意（2分） （4分）（） 函數的值域是；（5分）令，解得（7分）所以函數的單調增區間為.（8分）（）由得,因為所以得,

2、（10分） （12分）16（本題滿分12分）某學校餐廳新推出a，b，c，d四款套餐，某一天四款套餐銷售情況的條形圖如下. 為了了解同學對新推出的四款套餐的評價，對每位同學都進行了問卷調查，然后用分層抽樣的方法從調查問卷中抽取20份進行統計，統計結果如下面表格所示：滿意一般不滿意a套餐50%25%25%b套餐80%020%c套餐50%50%0d套餐40%20%40%（）若同學甲選擇的是a款套餐，求甲的調查問卷被選中的概率；（）若想從調查問卷被選中且填寫不滿意的同學中再選出2人進行面 談，求這兩人中至少有一人選擇的是d款套餐的概率. 解：（）由條形圖可得，選擇a，b，c，d四款套餐的學生共有200

3、人， 其中選a款套餐的學生為40人， 由分層抽樣可得從a款套餐問卷中抽取了 份. .（2分）設事件=“同學甲被選中進行問卷調查”， 則 . .（5分）答：若甲選擇的是a款套餐，甲被選中調查的概率是. .（6分）（ii）由圖表可知，選a，b，c，d四款套餐的學生分別接受調查的人數為4，5，6，5. 其中不滿意的人數分別為1，1，0，2個 . .（7分）記對a款套餐不滿意的學生是a；對b款套餐不滿意的學生是b；對d款套餐不滿意的學生是c，d. .（8分）設事件n=“從填寫不滿意的學生中選出2人，至少有一人選擇的是d款套餐”從填寫不滿意的學生中選出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,

4、c),(b,d),(c,d)6個基本事件，而事件n有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5個基本事件， （10分）則. （12分）17（本題滿分14分）如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為,ae、df是圓柱的兩條母線，過作圓柱的截面交下底面于, 四邊形abcd是正方形.（）求證；（）求四棱錐e-abcd的體積.（）ae是圓柱的母線，下底面，又下底面，.3分又截面abcd是正方形，所以，又面，又面， （7分）（）因為母線垂直于底面，所以是三棱錐的高（8分），由（）知面，面，面面，又面面，面，面，即eo就是四棱錐的高（10分）設正方形的邊長為, 則，又，為直徑，即在中，, 即，

5、 （12分）18.（本小題滿分14分）數列的前n項和為，（i）設，證明：數列是等比數列；（ii）求數列的前項和；（）若，求不超過的最大整數的值。18【解析】(1) 因為，所以 當時，則， （2分） 當時，（4分）所以，即，所以，而， （6分）所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以（7分）（2）由(1)得所以 ， （9分）-得：， （12分）. （14分）19（本小題滿分14分） 已知函數，.（i）若，且對于任意恒成立，試確定實數的取值范圍；（ii）設函數，求證：19. 解:（）由可知是偶函數于是對任意成立等價于對任意成立（1分）由得當時，此時在上單調遞增 故，符合題意（3分）當時，當變化時的

6、變化情況如下表： （4分）單調遞減極小值單調遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實數的取值范圍是 （7分）（），又， （10分）， （12分）由此得:故成立. （14分）20已知函數，其中，且.當時，求函數的最大值； 求函數的單調區間；設函數若對任意給定的非零實數，存在非零實數（），使得成立，求實數的取值范圍.解：當時， 令，則， 在上單調遞增，在上單調遞減 （4分），（）當時，函數的增區間為，當時，當時，函數是減函數；當時，函數是增函數。綜上得，當時，的增區間為； 當時，的增區間為，減區間為 （10分） 當，在上是減函數，此時的取值集合；當時，若時，在上是增函數，此時的取值集合；若時，在上是減函數，此時的取值集合。對任意給定的非零實數，當時，在上是