1、二次曲線 即 圓錐曲線 。 圓錐曲線包括圓，橢圓，雙曲線，拋物線。其統一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。當e1時為雙曲線，當e=1時為拋物線，當e1時為橢圓。1簡介2000多年前，古希臘數學家最先開始研究圓錐曲線，并獲得了大量的成果。古希臘數學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”。事實上，阿波羅尼在其著作中使用純

2、幾何方法已經取得了今天高中數學中關于圓錐曲線的全部性質和結果。2定義編輯幾何觀點用一個平面去截一個圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線（conic sections)。通常提到的圓錐曲線包括橢圓，雙曲線和拋物線，但嚴格來講，它還包括一些退化情形。具體而言：1) 當平面與圓錐面的母線平行，且不過圓錐頂點，結果為拋物線。2) 當平面與圓錐面的母線平行，且過圓錐頂點，結果退化為一條直線。3) 當平面只與圓錐面一側相交，且不過圓錐頂點，結果為橢圓。4) 當平面只與圓錐面一側相交，且不過圓錐頂點，并與圓錐面的對稱軸垂直，結果為圓。5) 當平面只與圓錐面一側相交，且過圓錐頂點，結果退化為一個點。6) 當平面與

3、圓錐面兩側都相交，且不過圓錐頂點，結果為雙曲線的一支（另一支為此圓錐面的對頂圓錐面與平面的交線）。7) 當平面與圓錐面兩側都相交，且過圓錐頂點，結果為兩條相交直線。代數觀點在笛卡爾平面上，二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0的圖像是圓錐曲線。根據判別式的不同，也包含了橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。焦點-準線觀點（嚴格來講，這種觀點下只能定義圓錐曲線的幾種主要情形，因而不能算是圓錐曲線的定義。但因其使用廣泛，并能引導出許多圓錐曲線中重要的幾何概念和性質）。給定一點P，一直線L以及一非負實常數e，則到P的距離與L距離之比為e的點的軌跡是圓錐曲線。根據e的范圍不同，曲線也各

4、不相同。具體如下：1) e=0，軌跡退化為點（即定點P）；2) e=1（即到P與到L距離相同），軌跡為拋物線；3) 0e1，軌跡為雙曲線。3概念編輯（以下以純幾何方式敘述主要的圓錐曲線通用的概念和性質，由于大部分性質是在焦點準線觀點下定義的，對于更一般的退化情形，有些概念可能不適用。）考慮焦點-準線觀點下的圓錐曲線定義。定義中提到的定點，稱為圓錐曲線的焦點；定直線稱為圓錐曲線的準線；固定的常數（即圓錐曲線上一點到焦點與準線的距離比）稱為圓錐曲線的離心率；焦點到準線的距離稱為焦準距；焦點到曲線上一點的線段稱為焦半徑。過焦點、平行于準線的直線與圓錐曲線相交于兩點，此兩點間的線段稱為圓錐曲線的通徑，

5、物理學中又稱為正焦弦。圓錐曲線是光滑的，因此有切線和法線的概念。類似圓，與圓錐曲線交于兩點的直線上兩交點間的線段稱為弦；過焦點的弦稱為焦點弦。對于同一個橢圓或雙曲線，有兩個“焦點準線”的組合可以得到它。因此，橢圓和雙曲線有兩個焦點和兩條準線。而拋物線只有一個焦點和一條準線。圓錐曲線關于過焦點與準線垂直的直線對稱，在橢圓和雙曲線的情況，該直線通過兩個焦點，該直線稱為圓錐曲線的焦軸。對于橢圓和雙曲線，還關于焦點連線的垂直平分線對稱。Pappus定理：圓錐曲線上一點的焦半徑長度等于該點到相應準線的距離乘以離心率。Pascal定理：圓錐曲線的內接六邊形，若對邊兩兩不平行，則該六邊形對邊延長線的交點共線

6、。（對于退化的情形也適用）Brianchon定理：圓錐曲線的外切六邊形，其三條對角線共點。4定理編輯由比利時數學家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇凌定理證明了圓錐曲線幾何定義與焦點-準線定義的等價性。即有一以Q為頂點的圓錐（蛋筒），有一平面PI（你也可以說是餅干）與其相截得到了圓錐曲線，作球與平面PI及圓錐相切，在曲線為橢圓或雙曲線時平面與球有兩個切點，拋物線只有一個（或者另一個在無窮遠處），則切點為焦點。又球與圓錐之交為圓，設以此圓所在平面PI與PI之交為直線d（曲線為圓時d為無窮遠線），則d為準線。圖只畫了橢圓，證明對拋物線雙曲線都適用，即證，任一個切點為焦點，d為準線。證：

7、假設P為曲線上一點，聯線PQ交圓O于E。設平面PI與PI的交角為a，圓錐的母線（如PQ）與平面PI的交角為b。設P到平面PI 的垂足為H，H到直線d的垂足為R，則PR為P到d的垂線（三垂線定理），而PRH=a。又PE=PF，因為兩者同為圓球之切線。如此則有：PRsina=PH=PEsinb=PFsinb其中：PF/PR=sina/sinb為常數5性質編輯橢圓文字語言定義：平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個小于1的正常數e。平面內一個動點到兩個定點（焦點）的距離和等于定長2a的點的集合（設動點為P，兩個定點為F1和F2，則PF1+PF2=2a）。定點是橢圓的焦點，定直線是橢圓的

8、準線，常數e是橢圓的離心率。標準方程：1、中心在原點，焦點在x軸上的橢圓標準方程：（x2/a2)+(y2/b2)=1其中ab0，c0，c2=a2-b2.2、中心在原點，焦點在y軸上的橢圓標準方程：（x2/b2)+(y2/a2)=1其中ab0，c0，c2=a2-b2。參數方程：x=acos；y=bsin （為參數，02)雙曲線文字語言定義：平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個大于1的常數e。定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線，常數e是雙曲線的離心率。標準方程：1、中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線標準方程：（x2/a2)-(y2/b2)=1其中a0,b0,c2=a2+b2.2

9、、中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線標準方程：（y2/a2)-(x2/b2)=1.其中a0,b0,c2=a2+b2.參數方程：x=asec；y=btan （為參數 )直角坐標（中心為原點）：x2/a2 - y2/b2 = 1 （開口方向為x軸） y2/a2 - x2/b2 = 1 （開口方向為y軸）拋物線文字語言定義：平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是等于1。定點是拋物線的焦點，定直線是拋物線的準線。參數方程x=2pt2 y=2pt (t為參數） t=1/tan（tan為曲線上點與坐標原點確定直線的斜率）特別地，t可等于0直角坐標y=ax2+bx+c （開口方向為y軸，a0） x=

10、ay2+by+c （開口方向為x軸，a0 )圓錐曲線（二次非圓曲線）的統一極坐標方程為=ep/(1-ecos）其中e表示離心率，p為焦點到準線的距離。離心率橢圓，雙曲線，拋物線這些圓錐曲線有統一的定義：平面上，到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。且當0e1時為雙曲線。這里的參數e就是圓錐曲線的離心率，它不僅可以描述圓錐曲線的類型，也可以描述圓錐曲線的具體形狀，簡言之，離心率相同的圓錐曲線都是相似圖形。一個圓錐曲線，只要確定了離心率，形狀就確定了。特別的，因為拋物線的離心率都等于1，所以所有的拋物線都是相似圖形。極坐標方程1、在圓錐中，圓錐曲線極坐標方程可表示為：其中

11、l表示半徑，e表示離心率；2、在平面坐標系中，圓錐曲線極坐標方程可表示為：其中e表示離心率，p表示焦點到準線的距離。1焦半徑圓錐曲線上任意一點到焦點的距離稱為焦半徑。圓錐曲線左右焦點為F1、F2，其上任意一點為P(x,y），則焦半徑為：橢圓|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex雙曲線P在左支，|PF1|=a-ex |PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=a+exP在下支，|PF1|= a-ey |PF2|=a-eyP在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=a+ey拋物線|PF|=x+p/2切線方程圓錐曲線上一點P（，）的切線方程：以代替，以代替；以（x0+x)/2

12、代替x，以y0+y代替y2即橢圓：x0x/a2+y0y/b2=1；雙曲線：x0x/a2-y0y/b2=1；拋物線：y0y=p(x0+x)焦準距圓錐曲線的焦點到準線的距離p，叫圓錐曲線的焦準距，或焦參數。橢圓的焦準距：雙曲線的焦準距：拋物線的準焦距：p焦點三角形橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形。設F1、F2分別為橢圓或雙曲線的兩個焦點，P為橢圓或雙曲線上的一點且PF1F2能構成三角形。若F1PF2=，則橢圓焦點三角形的面積為S=tan（/2）；雙曲線焦點三角形的面積為S=cot（/2）通徑圓錐曲線中，過焦點并垂直于軸的弦稱為通徑。橢圓的通徑：雙曲線的通徑：拋物線的通徑：2p對比圓錐曲線

13、橢圓雙曲線拋物線標準方程ab0a0,b0p0范圍x-a,ay-b,bx（-，-aa,+）yRx0,+）yR對稱性關于x軸，y軸，原點對稱關于x軸，y軸，原點對稱關于x軸對稱頂點(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦點(c,0),(-c,0)【其中c2=a2-b2】(c,0),(-c,0)【其中c2=a2+b2】(p/2,0)準線x=（a2)/cx=（a2)/cx=-p/2漸近線y=(b/a)x2離心率e=c/a,e（0,1)e=c/a,e（1,+）e=1焦半徑PF1=a+exPF2=a-exPF1=ex+aPF2=ex-aPF=x+p/2焦準距p

14、=(b2)/cp=(b2)/cp通徑(2b2)/a(2b2)/a2p參數方程x=acosy=bsin，為參數x=asecy=btan，為參數x=2pt2y=2pt,t為參數過圓錐曲線上一點(x0,y0）的切線方程(x0x/a2)+(y0y/b2)=1(x0x/a2)-(y0y/b2)=1y0y=p(x+x0)斜率為k的切線方程y=kx(a2）（k2)+b2y=kx(a2）（k2)-b2y=kx+p/2k中點弦問題已知圓錐曲線內一點為圓錐曲線的一弦中點，求該弦的方程：1、聯立方程法。用點斜式設出該弦的方程（斜率不存在的情況需要另外考慮），與圓錐曲線方程聯立求得關于x的一元二次方程和關于y的一元二

15、次方程，由韋達定理得到兩根之和的表達式，在由中點坐標公式的兩根之和的具體數值，求出該弦的方程。2、點差法（代點相減法）設出弦的兩端點坐標（，）和（，），代入圓錐曲線的方程，將得到的兩個方程相減，運用平方差公式得(x1+x2)(x1-x2)/(a2)+(y1+y2)(y1-y2)/(b2=0由斜率為（y1-y2)/(x1-x2），可以得到斜率的取值（使用時注意判別式的問題）求點的軌跡方程在求曲線的軌跡方程時，如果能夠將題設條件轉化為具有某種動感的直觀圖形，通過觀察圖形的變化過程，發現其內在聯系，找出哪些是變化的量（或關系）、哪些是始終保持不變的量（或關系），那么我們就可以從找出的不變量（或關系）

16、出發，打開解題思路，確定解題方法。圓錐曲線的曲率（見右圖）曲率半徑的作圖。第二條垂線與法線的交點Z就是曲率的中心；它到P點的距離便是曲率半徑。統一方程平面直角坐標系內的任意圓錐曲線可用如下方程表示：其中，0,2)，p0，e0。e=1時，表示以F(g,h)為焦點，p為焦點到準線距離的拋物線。其中與極軸夾角（A為拋物線頂點）。0e1時，表示以F2(g,h)為一個焦點，p為焦點到準線距離，e為離心率的雙曲線。其中與極軸夾角。e=0時，表示點F(g,h)。五點法求平面內圓錐曲線可以采用該統一方程。代入五組有序實數對，求出對應參數。注：此方程不適用于圓錐曲線的其他退化形式，如圓等。附：當e0時，F(g,

17、h)對應準線方程：6CGY-EH定理編輯CGY-EH定理（又稱圓錐曲線硬解定理3）是一套求解橢圓雙曲線與直線相交時、 x1+x2 、x1* x2、y1+y2、y1*y2 及相交弦長的簡便算法.定理內容:若曲線 與直線A+By+C=0相交于E、F兩點,則:其中 ; 為一與同號的值.定理說明:應用該定理于橢圓 時,應將 代入.應用于雙曲線 時,應將 代入,同時 不應為零,即不為零.求解y1+y2與 y1*y2只須將A與B的值互換且m與n的值互換.可知與的值不會因此而改變.應用示例:1.橢圓x2/4+y2/3=1與直線y=x+1相交于E、F兩點,求解相交弦長|EF|,x_1+x_2, x_1 x_2

18、, y_1+y_2, y_1*y_2.列表:ABCmn1-1143772求解:x_1+x_2x_1*x_2|EF|互換表中A與B的值,m與n的值:ABmn-1134求解:y_1+y_2y_1*y_22.雙曲線x2/3-y2/4=1與直線y=x+2相交于E、F兩點,求解相交弦|EF|,x_1+x_2, x_1 x_2, y_1+y_2, y_1 y_2.列表:ABCmn1-123-4-160求解:x_1+x_2x_1*x_2|EF|12-24互換表中A與B的值,m與n的值:ABmn-11-43求解:y_1+y_2y_1*y_21647判別法編輯設圓錐曲線的方程為Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+

19、2Ey+F=0|A B D|= |B C E| , =|A B| , S=A+C , 稱為二次曲線不變量(=b2-4ac)|D E F| |B C|0=0有一實點的相交虛直線00S00S0虛橢圓0=0相交直線0平行直線=0=0D2+E2-AF-CF=0重合直線=0=0D2+E2-AF-CFPL，矩形PSRV超出矩形PLJV；而拋物線，短形PLJV恰好填滿。故而，橢圓、雙曲線、拋物線的原名分別叫“虧曲線”、“超曲線”和“齊曲線”。這就是阿波羅尼引入的圓錐曲線的定義。阿波羅尼所給出的兩個結論，也很容易用現代數學符號來表示：趨向無窮大時，LS=0，即拋物線，亦即橢圓或雙曲線的極限形式。在阿波羅尼的圓

20、錐曲線問世后的13個世紀里，整個數學界對圓錐曲線的研究一直沒有什么新進展。11世紀，阿拉伯數學家曾利用圓錐曲線來解三次代數方程，12世紀起，圓錐曲線經阿拉伯傳入歐洲，但當時對圓錐曲線的研究仍然沒有突破。直到16世紀，有兩年事促使了人們對圓錐曲線作進一步研究。一是德國天文學家開普勒（Kepler,15711630）繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道環繞太陽運行的事實；二是意大利物理學家伽利略（Galileo,15641642）得出物體斜拋運動的軌道是拋物線。人們發現圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態曲線，而且是自然界物體運動的普遍形式。于是，對圓錐曲線的處理方法開始有了一些小變動。譬如，

21、1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,15451607）橢圓定義為：到兩個焦點距離之和為定長的動點的軌跡。從而改變了過去對圓錐曲線的定義。不過，這對圓錐曲線性質的研究推進并不大，也沒有提出更多新的定理或新的證明方法。17世紀初，在當時關于一個數學對象能從一個形狀連續地變到另一形狀的新思想的影響下，開普勒對圓錐曲線的性質作了新的闡述。他發現了圓錐曲線的焦點和離心率，并指出拋物線還有一個在無窮遠處的焦點，直線是圓心在無窮遠處的圓。從而他第一個掌握了這樣的事實：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中一個連續地變為另一個，只須考慮焦點的各種移動方式。

22、譬如，橢圓有兩個焦點F1、F2，如圖4，若左焦點F1固定，考慮F2的移動，當F2向左移動，橢圓逐漸趨向于圓，F1與F2重合時即為圓；當F2向右移動，橢圓逐漸趨向于拋物線，F2到無窮遠處時即為拋物線；當F2從無窮遠處由左邊回到圓錐曲線的軸上來，即為雙曲線；當F2繼續向右移動，F2又與F1重合時即為兩相交直線，亦即退化的圓錐曲線。這為圓錐曲線現代的統一定義提供了一個合乎邏輯的直觀基礎。隨著射影幾何的創始，原本為畫家提供幫助的投射、截影的方法，可能由于它與錐面有著天然的聯系，也被用于圓錐曲線的研究。在這方面法國的三位數學家笛沙格（Desargue1591 1661）、帕斯卡（Pascal，1623 1662）和拉伊爾（Phailippe de La Hire，16