1、一. 工程問題1甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時， 16小時 . 丙水管單獨開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時？解： 1/20+1/169/80 表示甲乙的工作效率,9/80545/80 表示 5小時后進水量1-45/80 35/80 表示還要的進水量,35/80（ 9/80-1/10 ） 35表示還要 35小時注滿答： 5小時后還要 35小時就能將水池注滿。2 修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要 30天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分

2、之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九。現在計劃 16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數盡可能少，那么兩隊要合作幾天？解：由題意得，甲的工效為1/20 ，乙的工效為 1/30 ，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/107/100 ，可知甲乙合作工效 甲的工效 乙的工效。又因為，要求“兩隊合作的天數盡可能少”，所以應該讓做的快的甲多做，16天內實在來不及的才應該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊合作的天數盡可能少” 。設合作時間為 x天，則甲獨做時間為（16-x ）天1/20* （16-x ）+7/100*x 1x10答：甲乙最短合作 10天3 一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、

3、丙合做需5小時完成。現在先請甲、丙合做 2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時？解： 由題意知， 1/4 表示甲乙合作 1小時的工作量， 1/5 表示乙丙合作 1小時的工作量（ 1/4+1/5 ） 29/10 表示甲做了 2小時、乙做了 4小時、丙做了 2小時的工作量。根據“甲、丙合做 2小時后，余下的乙還需做6小時完成”可知甲做2小時、乙做 6小時、丙做 2小時一共的工作量為 1。所以 19/10 1/10 表示乙做 6-4 2小時的工作量。1/10 21/20 表示乙的工作效率。1 1/20 20小時表示乙單獨完成需要 20小時。答：乙單獨完成需要20小時。4 一

4、項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整數天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需 17天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？解：由題意可知1/ 甲+1/ 乙+1/ 甲+1/ 乙+1/ 甲 1,1/乙+1/甲+1/ 乙+1/ 甲+1/ 乙+1/ 甲 0.5 1（ 1/ 甲表示甲的工作效率、 1/ 乙表示乙的工作效率，最后結束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多 0.5 天）1/ 甲 1/ 乙+1/ 甲 0.5 （因為前面的工作量都相等）得到 1/ 甲 1/

5、乙 2 ,又因為 1/ 乙 1/17 ,所以 1/ 甲 2/17 ，甲等于1728.5 天5 師徒倆人加工同樣多的零件。當師傅完成了1/2 時，徒弟完成了 120個。當師傅完成了任務時，徒弟完成了4/5 這批零件共有多少個？解： 120（ 4/5 2） 300個可以這樣想：師傅第一次完成了1/2 ，第二次也是 1/2 ，兩次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5 ，可以推算出第一次完成了4/5 的一半是 2/5 ，剛好是 120個。 答案為 300個6一批樹苗， 如果分給男女生栽， 平均每人栽 6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽 10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？解：算式： 1（ 1

6、/6-1/10 ） 15棵答案是 15棵7一個池上裝有 3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完。現在先打開甲管，當水池水剛溢出時，打開乙, 丙兩管用了 18分鐘放完，當打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？解：1（1/20+1/30 ）12 表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數。1/12* （18-12 ）1/12*6 1/2 表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲 18分鐘進的水。1/2 181/36表示甲每分鐘進水最后就是 1（ 1/20-1/36 ） 45分鐘。答案 45分鐘。8 某工程

7、隊需要在規(guī)定日期內完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，問規(guī)定日期為幾天？解：由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成， ”可知：乙做 3天的工作量甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3 ，時間比的差是 1份 ，實際時間的差是 3天所以 3（ 3-2 ） 26天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期答案為 6天方程方法：1/x+1/（x+2） 2+1/ （ x+2）（ x-2 ）1解得 x69 兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小

8、時，而點完一根細蠟燭要1小時，一天晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，發(fā)現粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？解：設停電了 x分鐘根據題意列方程1-1/120*x（ 1-1/60*x ） *2解得 x40答案為 40分鐘。二雞兔同籠問題1雞與兔共 100只, 雞的腿數比兔的腿數少28條, 問雞與兔各有幾只 ?解： 4*100 400，400-0 400 假設都是兔子， 一共有 400只兔子的腳，那么雞的腳為 0只，雞的腳比兔子的腳少 400只。400-28 372 實際雞的腳數比兔子的腳數只少28只，相差 372只，這是為什么？4+26 這

9、是因為只要將一只兔子換成一只雞， 兔子的總腳數就會減少 4 只（從 400只變?yōu)?396只），雞的總腳數就會增加 2只（從 0只到 2只），它們的相差數就會少 4+26只（也就是原來的相差數是 400-0 400，現在的相差數為 396-2 394，相差數少了 400-3946）372662 表示雞的只數， 也就是說因為假設中的 100只兔子中有 62只改為了雞，所以腳的相差數從 400改為 28，一共改了 372只，100-6238表示兔的只數三數字數位問題1把1至2005這2005個自然數依次寫下來得到一個多位數123456789.2005,這個多位數除以 9余數是多少 ?解：首先研究能被

10、 9整除的數的特點：如果各個數位上的數字之和能被 9 整除，那么這個數也能被 9整除；如果各個位數字之和不能被 9整除，那么得的余數就是這個數除以 9得的余數。解題： 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被 9整除依次類推： 11999這些數的個位上的數字之和可以被9整除1019， 20299099這些數中十位上的數字都出現了10次，那么十位上的數字之和就是 10+20+30+90=450 它有能被 9整除同樣的道理， 100900 百位上的數字之和為 4500 同樣被 9整除也就是說 1999這些連續(xù)的自然數的各個位上的數字之和可以被9整除；同樣的道理： 10001999這些連續(xù)

11、的自然數中百位、十位、個位 上的數字之和可以被 9整除（這里千位上的“ 1”還沒考慮，同時這里我們少200020012002200320042005從10001999千位上一共 999個“ 1”的和是 999，也能整除；200020012002200320042005的各位數字之和是 27，也剛好整除。最后答案為余數為 0。2 A和 B是小于 100的兩個非零的不同自然數。求A+B分之 A-B的最小值.解： (A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B)前面的 1 不會變了，只需求后面的最小值，此時(A-B)/(A+B)最大。對于 B / (A

12、+B) 取最小時， (A+B)/B 取最大，問題轉化為求 (A+B)/B的最大值。(A+B)/B = 1 + A/B，最大的可能性是A/B = 99/1(A+B)/B = 100(A-B)/(A+B)的最大值是： 98 / 1003 已知 A.B.C都是非 0自然數 ,A/2 + B/4 + C/16的近似值市 6.4, 那么它的準確值是多少 ?解：因為 A/2 + B/4 + C/168A+4B+C/166.4 ，所以 8A+4B+C102.4 ，由于 A、B、C為非 0自然數，因此 8A+4B+C為一個整數，可能是 102，也有可能是 103。當是 102時， 102/16 6.375當是

13、 103時， 103/16 6.4375答案為 6.375 或6.43754 一個三位數的各位數字 之和是 17. 其中十位數字比個位數字大1. 如果把這個三位數的百位數字與個位數字對調, 得到一個新的三位數, 則新的三位數比原三位數大198, 求原數 .解：設原數個位為 a，則十位為 a+1，百位為 16-2a根據題意列方程 100a+10a+16-2a100（16-2a ）-10a-a 198解得 a6，則 a+17 16-2a 4答：原數為 476。5 一個兩位數 , 在它的前面寫上 3, 所組成的三位數比原兩位數的7倍多24, 求原來的兩位數 .解：設該兩位數為 a，則該三位數為 30

14、0+a7a+24300+aa24答：該兩位數為 24。6 把一個兩位數的個位數字與十位數字交換后得到一個新數 , 它與原數相加 , 和恰好是某自然數的平方 , 這個和是多少 ?解： 設原兩位 數為 10a+b，則 新兩 位數為 10b+a它們 的和就 是10a+b+10b+a11（a+b）因為這個和是一個平方數，可以確定a+b11因此這個和就是 1111121答：它們的和為 121。7 一個六位數的末位數字是2, 如果把 2移到首位 , 原數就是新數的 3倍,求原數 .解：設原六位數為 abcde2，則新六位數為 2abcde（字母上無法加橫線，請將整個看成一個六位數）再設 abcde（五位數

15、）為x，則原六位數就是 10x+2，新六位數就是 200000+x根據題意得，（200000+x） 310x+2解得 x85714所以原數就是857142答：原數為 8571428 有一個四位數 , 個位數字與百位數字的和是 12, 十位數字與千位數字的和是 9, 如果個位數字與百位數字互換 , 千位數字與十位數字互換 , 新數就比原數增加 2376, 求原數 .解：設原四位數為 abcd，則新數為 cdab，且 d+b12，a+c9根據“新數就比原數增加2376”可知 abcd+2376=cdab,列豎式便于觀察根據 d+b12，可知 d、b可能是 3、9；4、8；5、7；6、6。再觀察豎式

16、中的個位，便可以知道只有當 d3，b9；或d8，b4時成立。先取 d3，b9代入豎式的百位，可以確定十位上有進位。根據 a+c9，可知 a、c可能是 1、8；2、7；3、6；4、5。再觀察豎式中的十位，便可知只有當 c6，a3時成立。 再代入豎式的千位，成立。 得到： abcd3963再取 d8，b4代入豎式的十位，無法找到豎式的十位合適的數，所以不成立。 答案為 39639 有一個兩位數 , 如果用它去除以個位數字, 商為 9余數為 6, 如果用這個兩位數除以個位數字與十位數字之和, 則商為 5余數為 3, 求這個兩位數.解：設這個兩位數為 ab10a+b 9b+610a+b5（a+b）+3

17、化簡得到一樣： 5a+4b3由于 a、b均為一位整數得到 a3或7，b3或8原數為 33或78均可以10 如果現在是上午的10點 21分, 那么在經過 28799.99(一共有 20個9) 分鐘之后的時間將是幾點幾分 ?解：（287999（20個9）+1）/60/24 整除，表示正好過了整數天，時間仍然還是 10：21，因為事先計算時加了 1分鐘，所以現在時間是 10：20 ， 答案是 10：20四排列組合問題1有五對夫婦圍成一圈， 使每一對夫婦的夫妻二人動相鄰的排法有（ ）A768種B32種C24種D2的10次方中解：根據乘法原理，分兩步：第一步是把 5對夫妻看作 5個整體，進行排列有 54

18、321120種不同的排法，但是因為是圍成一個首尾相接的圈，就會產生5個5個重復，因此實際排法只有 120524種。第二步每一對夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對夫妻均有2種排法，總共又 2222232種綜合兩步，就有 2432768種。2 . 若把英語單詞 hello 的字母寫錯了 , 則可能出現的錯誤共有 ( )A119種B36種C59種D48種解： 5全排列 5*4*3*2*1=120有兩個 l 所以 120/2=60原來有一種正確的所以 60-1=59五容斥原理問題1 有 100種赤貧 . 其中含鈣的有 68種, 含鐵的有 43種, 那么 , 同時含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值

19、分別是( )A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11解：根據容斥原理最小值68+43-10011最大值就是含鐵的有 43種2 在多元智能大賽的決賽中只有三道題 . 已知 :(1) 某校 25名學生參加競賽 , 每個學生至少解出一道題 ;(2) 在所有沒有解出第一題的學生中 , 解出第二題的人數是解出第三題的人數的 2倍:(3) 只解出第一題的學生比余下的學生中解出第一題的人數多 1人;(4) 只解出一道題的學生中 , 有一半沒有解出第一題 , 那么只解出第二題的學生人數是 ( )A，5 B，6 C，7 D，8解：根據“每個人至少答出三題中的一道題”可知答題情況分為7類：只答

20、第 1題，只答第 2題，只答第 3題，只答第 1、2題，只答第 1、3題，只答 2、3題，答 1、2、3題。分別設各類的人數為 a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由（ 1）知： a1+a2+a3+a12+a13+a23+a12325 由（ 2）知： a2+a23（ a3+ a23 ） 2 由（ 3）知： a12+a13+a123a11 由（ 4）知： a1a2+a3 再由得 a23a2a32 再由得 a12+a13+a123a2+a31然后將代入中，整理得到a24+a326由于 a2、a3均表示人數，可以求出它們的整數解：當a26、5、4、3、2、1時， a32、6、10、14

21、、18、22又根據 a23a2a32 可知： a2a3因此，符合條件的只有a26，a32。然后可以推出 a18，a12+a13+a1237，a23 2，總人數 8+6+2+7+2 25，檢驗所有條件均符。故只解出第二題的學生人數 a26人。3 一次考試共有 5道試題。做對第 1、2、 3、4、5題的分別占參加考試人數的 95%、80%、79%、74%、85%。如果做對三道或三道以上為合格，那么這次考試的合格率至少是多少？答案：及格率至少為 71。 假設一共有 100人考試100-95 5100-8020100-7921 100-74 26 100-85 155+20+21+26+1587（表示

22、 5題中有 1題做錯的最多人數）87329（表示 5題中有 3題做錯的最多人數，即不及格的人數最多為29人）100-29 71（及格的最少人數，其實都是全對的）及格率至少為 71六抽屜原理、奇偶性問題1一只布袋中裝有大小相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種，問最少要摸出幾只手套才能保證有3副同色的？解：可以把四種不同的顏色看成是 4個抽屜，把手套看成是元素，要保證有一副同色的，就是 1個抽屜里至少有 2只手套，根據抽屜原理，最少要摸出 5只手套。這時拿出 1副同色的后 4個抽屜中還剩 3只手套。再根據抽屜原理，只要再摸出 2只手套，又能保證有一副手套是同色的，以此類推。把四種顏色看做

23、 4個抽屜，要保證有 3副同色的，先考慮保證有 1副就要摸出 5只手套。這時拿出 1副同色的后， 4個抽屜中還剩下 3只手套。根據抽屜原理，只要再摸出 2只手套，又能保證有 1副是同色的。以此類推，要保證有 3副同色的，共摸出的手套有： 5+2+2=9（只）答：最少要摸出 9只手套，才能保證有 3副同色的。2 有四種顏色的積木若干，每人可任取 1-2 件，至少有幾個人去取，才能保證有 3人能取得完全一樣？解：每人取 1件時有 4種不同的取法 , 每人取 2件時 , 有6種不同的取法 .當有 11人時 , 能保證至少有 2人取得完全一樣 :當有 21人時 , 才能保證到少有 3人取得完全一樣 .

24、答案為 213 某盒子內裝 50只球，其中 10只是紅色， 10只是綠色， 10只是黃色，10只是藍色，其余是白球和黑球，為了確保取出的球中至少包含有7只同色的球，問：最少必須從袋中取出多少只球？解：需要分情況討論，因為無法確定其中黑球與白球的個數。當黑球或白球其中沒有大于或等于7個的，那么就是：6*4+10+1=35( 個)如果黑球或白球其中有等于7個的，那么就是：6*5+3+1 34（個）如果黑球或白球其中有等于8個的，那么就是：6*5+2+1 33如果黑球或白球其中有等于9個的，那么就是：6*5+1+1 324 地上有四堆石子，石子數分別是1、9、15、31如果每次從其中的三堆同時各取出

25、 1個，然后都放入第四堆中，那么，能否經過若干次操作，使得這四堆石子的個數都相同?（如果能請說明具體操作，不能則要說明理由）答：不可能。因為總數為 1+9+15+3156 56/4 14 14 是一個偶數而原來 1、9、15、31都是奇數，取出 1個和放入 3個也都是奇數，奇數加減若干次奇數后，結果一定還是奇數，不可能得到偶數（14個）。七路程問題1狗跑 5步的時間馬跑 3步，馬跑 4步的距離狗跑 7步，現在狗已跑出 30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠，馬可以追上它？解：根據“馬跑 4步的距離狗跑 7步”，可以設馬每步長為7x米，則狗每步長為 4x米。根據“狗跑 5步的時間馬跑 3步”，可知同

26、一時間馬跑 3*7x 米 21x米，則狗跑 5*4x 20米。可以得出馬與狗的速度比是21x：20x21：20根據“現在狗已跑出30米”，可以知道狗與馬相差的路程是30米，他們相差的份數是21-20 1，現在求馬的21份是多少路程，就是30（ 21-20 ） 21630米2 甲乙輛車同時從 a b 兩地相對開出，幾小時后再距中點40千米處相遇？已知，甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時，求 a b兩地相距多少千米？分析：由“甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時”可知，相遇時甲行了 10份，乙行了 8份（總路程為 18份），兩車相差 2份。又因為兩車在中點 40千米處相遇，說明兩

27、車的路程差是（ 40+40）千米。所以算式是（ 40+40）（ 10-8 ）（ 10+8） 720千米。 答案 720千米3 在一個 600米的環(huán)形跑道上，兄兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步，兩人每隔 12分鐘相遇一次，若兩個人速度不變，還是在原來出發(fā)點同時出發(fā)，哥哥改為按逆時針方向跑，則兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？解： 60012=50，表示哥哥、弟弟的速度差6004=150，表示哥哥、弟弟的速度和（ 50+150） 2=100，表示較快的速度，方法是求和差問題中的較大數（ 150-50）/2=50 ，表示較慢的速度，方法是求和差問題中的較小數600 100=6分鐘，

28、表示跑的快者用的時間600/50=12分鐘，表示跑得慢者用的時間答案為兩人跑一圈各要 6分鐘和 12分鐘。4 慢車車長 125米，車速每秒行 17米，快車車長 140米，車速每秒行 22米，慢車在前面行駛，快車從后面追上來，那么，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車需要多少時間？分析：算式是（ 140+125)(22-17)=53 秒可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車”就是快車車尾上的點追及慢車車頭的點，因此追及的路程應該為兩個車長的和。答案為 53秒5 在 300米長的環(huán)形跑道上，甲乙兩個人同時同向并排起跑，甲平均速度是每秒 5米，乙平均速度是每秒 4.4 米，兩人起跑后的第一

29、次相遇在起跑線前幾米？分析： 300（ 5-4.4 ） 500秒，表示追及時間， 5 500 2500米，表示甲追到乙時所行的路程25003008圈 100米，表示甲追及總路程為8圈還多 100米，就是在原來起跑線的前方 100米處相遇。6 一個人在鐵道邊，聽見遠處傳來的火車汽笛聲后，在經過 57秒火車經過她前面，已知火車鳴笛時離他 1360米， ( 軌道是直的 ), 聲音每秒傳340米，求火車的速度（得出保留整數）算式： 1360(1360340+57） 22米/ 秒關鍵理解：人在聽到聲音后57秒才車到，說明人聽到聲音時車已經從發(fā)聲音的地方行出 13603404秒的路程。也就是 1360米一

30、共用了 4+5761秒。答案為 22米/ 秒7獵犬發(fā)現在離它 10米遠的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑 5步的路程，兔子要跑 9步，但是兔子的動作快，獵犬跑 2步的時間，兔子卻能跑 3步，問獵犬至少跑多少米才能追上兔子。解： 由“獵犬跑 5步的路程，兔子要跑 9步”可知當獵犬每步 a米，則兔子每步 5/9 米。由“獵犬跑 2步的時間，兔子卻能跑 3步”可知同一時間，獵犬跑 2a米，兔子可跑 5/9a*3 5/3a 米。從而可知獵犬與兔子的速度比是 2a：5/3a 6：5，也就是說當獵犬跑 60米時，兔子跑 50米，本來相差的 10米剛好追完，答案是至少跑 60米才能追

31、上8 AB兩地 , 甲乙兩人騎自行車行完全程所用時間的比是4:5, 如果甲乙二人分別同時從 AB兩地相對行使 ,40 分鐘后兩人相遇 , 相遇后各自繼續(xù)前行 , 這樣，乙到達 A地比甲到達 B地要晚多少分鐘 ?解：設全程為 1, 甲的速度為 x乙的速度為 y列式 40x+40y=1 x:y=5:4得x=1/72 y=1/90走完全程甲需 72分鐘 , 乙需 90分鐘故得解答案為 18分鐘9 甲乙兩車同時從 AB兩地相對開出。第一次相遇后兩車繼續(xù)行駛，各自到達對方出發(fā)點后立即返回。第二次相遇時離B地的距離是 AB全程的1/5 。已知甲車在第一次相遇時行了120千米。 AB兩地相距多少千米？解：通

32、過畫線段圖可知，兩個人第一次相遇時一共行了1個AB的路程，從開始到第二次相遇，一共又行了3個AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分別是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是 120*3 360千米，從線段圖可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5 ）。因此 360（ 1+1/5 ） 300千米從A地到 B地，甲、乙兩人騎自行車分別需要4小時、 6小時，現在甲乙分別 AB兩地同時出發(fā)相向而行，相遇時距AB兩地中點 2千米。如果二人分別至 B地， A地后都立即折回。第二次相遇點第一次相遇點之間有（）千米10 一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時 ; 逆流 8小時。如果水

33、流速度是每小時2千米，求兩地間的距離？解：（1/6-1/8 ） 21/48 表示水速的分率21/48 96千米表示總路程11 快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢車行完全程需要8小時，求甲乙兩地的路程。解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3，時間比為3：4所以快車行全程的時間為8/4*3 6小時，6*33 198千米12 小華從甲地到乙地 ,3 分之 1騎車 ,3 分之 2乘車 ; 從乙地返回甲地 ,5 分之3騎車 ,5 分之 2乘車 , 結果慢了半小時 . 已知 , 騎車每小時 12千米 , 乘車每小時 30千米 , 問:

34、 甲乙兩地相距多少千米 ?解：把路程看成 1，得到時間系數， 去時時間系數： 1/3 12+2/3 30，返回時間系數： 3/5 12+2/5 30兩者之差：（3/5 12+2/5 30）- （1/3 12+2/3 30）=1/75 相當于 1/2小時去時時間： 1/2 （ 1/3 12） 1/75 和1/2 （ 2/3 30）1/75路程：121/2 （1/3 12）1/75 +301/2 （2/3 30）1/75 =37.5 （千米）八比例問題1甲乙兩人在河邊釣魚, 甲釣了三條 , 乙釣了兩條 , 正準備吃 , 有一個人請求跟他們一起吃 , 于是三人將五條魚平分了, 為了表示感謝 , 過路

35、人留下10元, 甲、乙怎么分？解：“三人將五條魚平分，客人拿出10元”，可以理解為五條魚總價值為30元，那么每條魚價值 6元。又因“甲釣了三條”，相當于甲吃之前已出資 3*6 18元，“乙釣了兩條”，相當于乙吃之前已經出資2*612元。而甲乙兩人吃了的價值都是10元，所以甲還可以收回 18-10 8元乙還可以收回 12-10 2元剛好就是客人出的錢。2 一種商品，今年的成本比去年增加了10分之 1，但仍保持原售價，因此，每份利潤下降了 5分之 2，那么，今年這種商品的成本占售價的幾分之幾？分析最好畫線段圖思考：把去年原來成本看成20份，利潤看成 5份，則今年的成本提高 1/10 ，就是 22份

36、，利潤下降了 2/5 ，今年的利潤只有 3份。增加的成本 2份剛好是下降利潤的 2份。售價都是 25份。所以，今年的成本占售價的22/25 。3甲乙兩車分別從A.B兩地出發(fā) , 相向而行 , 出發(fā)時 , 甲. 乙的速度比是5:4, 相遇后 , 甲的速度減少 20%,乙的速度增加 20%,這樣 , 當甲到達 B地時 ,乙離 A地還有 10千米 , 那么 A.B兩地相距多少千米 ?解：原來甲 . 乙的速度比是 5:4 ， 現在的甲： 5（1-20 ）4 ， 現在的乙： 4（ 1+20） 4.8甲到 B后，乙離 A還有：5-4.8 0.2 ， 總路程： 100.2 （4+5）450千米4一個圓柱的底

37、面周長減少 25%，要使體積增加 1/3 ，現在的高和原來的高度比是多少？解：根據“周長減少 25”，可知周長是原來的 3/4 ，那么半徑也是原來的3/4 ，則面積是原來的 9/16 。根據“體積增加 1/3 ”，可知體積是原來的 4/3 。體積底面積高現在的高是 4/3 9/16 64/27 ，即現在的高是原來的高的 64/27 或者現在的高：原來的高 64/27 ：164：275某市場運來香蕉、蘋果、橘子和梨四種水果其中橘子、蘋果共 30噸香蕉、橘子和梨共 45噸。橘子正好占總數的 13分之 2。一共運來水果多少噸？第二題：答案為 65噸橘子 +蘋果 30噸香蕉 +橘子 +梨 45噸所以橘

38、子 +蘋果 +香蕉 +橘子 +梨 75噸橘子（香蕉 +蘋果 +橘子 +梨） 2/13說明：橘子是 2份，香蕉 +蘋果 +橘子 +梨是 13份橘子 +香蕉 +蘋果 +橘子+梨一共是 2+1315份過橋問題（ 1）1. 一列火車經過南京長江大橋，大橋長 6700米，這列火車長 140米，火車每分鐘行 400米，這列火車通過長江大橋需要多少分鐘？分析：這道題求的是通過時間。根據數量關系式，我們知道要想求通過時間，就要知道路程和速度。路程是用橋長加上車長。火車的速度是已知條件。答：這列火車通過長江大橋需要17.1 分鐘。2. 一列火車長 200米，全車通過長 700米的橋需要 30秒鐘，這列火車每秒行

39、多少米？分析與解答：這是一道求車速的過橋問題。我們知道，要想求車速，我們就要知道路程和通過時間這兩個條件。可以用已知條件橋長和車長求出路程，通過時間也是已知條件，所以車速可以很方便求出。答：這列火車每秒行 30米。3. 一列火車長 240米，這列火車每秒行 15米，從車頭進山洞到全車出山洞共用 20秒，山洞長多少米？分析與解答：火車過山洞和火車過橋的思路是一樣的。火車頭進山洞就相當于火車頭上橋；全車出洞就相當于車尾下橋。這道題求山洞的長度也就相當于求橋長，我們就必須知道總路程和車長，車長是已知條件，那么我們就要利用題中所給的車速和通過時間求出總路程。答：這個山洞長 60米。和倍問題1. 秦奮和

40、媽媽的年齡加在一起是 40歲，媽媽的年齡是秦奮年齡的 4倍，問秦奮和媽媽各是多少歲？我們把秦奮的年齡作為1倍，“媽媽的年齡是秦奮的 4倍”，這樣秦奮和媽媽年齡的和就相當于秦奮年齡的5倍是 40歲，也就是（ 41）倍，也可以理解為 5份是 40歲，那么求 1倍是多少，接著再求 4倍是多少？（1）秦奮和媽媽年齡倍數和是：415（倍）（2）秦奮的年齡： 4058歲 （3）媽媽的年齡： 8432歲綜合： 40（ 41） 8歲8 432歲為了保證此題的正確，驗證（1）83240歲 （2）3284（倍）計算結果符合條件，所以解題正確。2. 甲乙兩架飛機同時從機場向相反方向飛行， 3小時共飛行 3600千米

41、，甲的速度是乙的 2倍，求它們的速度各是多少？分析：已知兩架飛機3小時共飛行 3600千米，就可以求出兩架飛機每小時飛行的航程，也就是兩架飛機的速度和。看圖可知，這個速度和相當于乙飛機速度的 3倍，這樣就可以求出乙飛機的速度，再根據乙飛機的速度求出甲飛機的速度。甲乙飛機的速度分別每小時行800千米、400千米。3. 弟弟有課外書 20本，哥哥有課外書 25本，哥哥給弟弟多少本后，弟弟的課外書是哥哥的 2倍？思考：（1）哥哥在給弟弟課外書前后，題目中不變的數量是什么？（ 2）要想求哥哥給弟弟多少本課外書，需要知道什么條件？（ 3）如果把哥哥剩下的課外書看作 1倍，那么這時（哥哥給弟弟課外書后）弟

42、弟的課外書可看作是哥哥剩 下的課外書的幾倍？思考以上幾個問題的基礎上，再求哥哥應該給弟弟多少本課外書。根據條件需要先求出哥哥剩下多少本課外書。 如果我們把哥哥剩下的課外書看作 1倍，那么這時弟弟的課外書可看作是哥哥剩下的課外書的 2倍，也就是兄弟倆共有的倍數相當于哥哥剩下的課外書的 3倍，而兄弟倆人課外書的總數始終是不變的數量。（ 1）兄弟倆共有課外書的數量是 202545。（ 2）哥哥給弟弟若干本課外書后，兄弟倆共有的倍數是 213。（ 3）哥哥剩下的課外書的本數是 45315。（ 4）哥哥給弟弟課外書的本數是 251510。4. 甲乙兩個糧庫原來共存糧 170噸，后來從甲庫運出 30噸，給

43、乙?guī)爝\進10噸，這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍，兩個糧庫原來各存糧多少噸？分析：根據甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運出30噸，給乙?guī)爝\進 10噸，可求出這時甲、乙兩庫共存糧多少噸。根據“這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的 2倍”，如果這時把乙?guī)齑婕Z作為1倍，那么甲、乙?guī)焖婕Z就相當于乙存糧的3倍。于是求出這時乙?guī)齑婕Z多少噸，進而可求出乙?guī)煸瓉泶婕Z多少噸。最后就可求出甲庫原來存糧多少噸。甲庫原存糧 130噸，乙?guī)煸婕Z 40噸。列方程組解應用題（一）1. 用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身 16個，或制盒底 43個，一個盒身和兩個盒底配成一個罐頭盒，現有 150張鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒

44、底，才能使盒身與盒底正好配套？分析：依據題意可知這個題有兩個未知量，一個是制盒身的鐵皮張數，一個是制盒底的鐵皮張數，這樣就可以用兩個未知數表示，要求出這兩個未知數，就要從題目中找出兩個等量關系， 列出兩個方程， 組在一起，就是方程組。兩個等量關系是： A做盒身張數 +做盒底的張數 =鐵皮總張數 B 制出的盒身數 2=制出的盒底數用86張白鐵皮做盒身， 64張白鐵皮做盒底。奇數與偶數 （一）其實，在日常生活中同學們就已經接觸了很多的奇數、偶數。凡是能被 2整除的數叫偶數，大于零的偶數又叫雙數；凡是不能被2整除的數叫奇數，大于零的奇數又叫單數。因為偶數是 2的倍數，所以通常用這個式子來表示偶數 （

45、這里是整數）。因為任何奇數除以 2其余數都是 1，所以通常用式子來表示奇數（這里是整數）。奇數和偶數有許多性質，常用的有：性質 1 兩個偶數的和或者差仍然是偶數。例如： 8+4=12，8-4=4等。兩個奇數的和或差也是偶數。例如： 9+3=12，9-3=6等。奇數與偶數的和或差是奇數。例如： 9+4=13，9-4=5等。單數個奇數的和是奇，雙數個奇數的和是偶數，幾個偶數的和仍是偶數。性質 2 奇數與奇數的積是奇數。偶數與整數的積是偶數。性質 3 任何一個奇數一定不等于任何一個偶數。1. 有5張撲克牌，畫面向上。小明每次翻轉其中的 4張，那么，他能在翻動若干次后，使 5張牌的畫面都向下嗎？同學們

46、可以試驗一下，只有將一張牌翻動奇數次，才能使它的畫面由向上變?yōu)橄蛳隆Ｒ胧?5張牌的畫面都向下，那么每張牌都要翻動奇數次。5個奇數的和是奇數， 所以翻動的總張數為奇數時才能使 5張牌的牌面都向下。而小明每次翻動 4張，不管翻多少次，翻動的總張數都是偶數。所以無論他翻動多少次，都不能使5張牌畫面都向下。2. 甲盒中放有 180個白色圍棋子和 181個黑色圍棋子， 乙盒中放有 181個白色圍棋子，李平每次任意從甲盒中摸出兩個棋子，如果兩個棋子同色，他就從乙盒中拿出一個白子放入甲盒；如果兩個棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一個棋子，這個棋子是什么顏色的？不論李平從甲盒中拿

47、出兩個什么樣的棋子，他總會把一個棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋子數就減少一個，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一個棋子。如果他拿出的是兩個黑子，那么甲盒中的黑子數就減少兩個。否則甲盒子中的黑子數不變。也就是說，李平每次從甲盒子拿出的黑子數都是偶數。由于 181是奇數，奇數減偶數等于奇數。所以，甲盒中剩下的黑子數應是奇數，而不大于 1的奇數只有 1，所以甲盒里剩下的一個棋子應該是黑子。奧賽專題 -稱球問題例1. 有4堆外表上一樣的球，每堆 4個。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每個重 10克，次品球每個重 11克，請你用天平只稱一次，把是次品的那堆找出來。解 ：依次從第一、二、三、四堆球中，各取 1、2、3、4個球，這 10個球一起放到天平上去稱，總重量比 100克多幾克，第幾堆就是次品球。例2. 有