1、武漢工業學院武漢工業學院材材 料料 力力 學學教師：教師： 宋少云宋少云QQ:584554223QQ:584554223E-mail: E-mail: 0 緒論1 內力及內力方程2 內力圖3 平面圖形的幾何性質預預備備知知識識強強度度問問題題4 軸向拉伸與壓縮5 剪切與擠壓6 扭轉7 彎曲8 應力狀態和強度理論9 組合變形的強度問題11 積分法求變形12 疊加法求變形13 能量法求變形剛剛度度問問題題10 疲勞強度14 壓桿穩定穩穩定定性性15 超靜定問題16 動載荷高高級級話話題題能量法求變形能量法求變形第2節 桿件的應變能第3節 功能原理第1節 背景第5節 單位力法第6節 卡氏定理第4節

2、虛功原理第第1節節 背景背景L 問題問題 鉸接點的豎值位移是多少？鉸接點的豎值位移是多少？第第1節節 背景背景DCABDC1、計算四根桿的變形。、計算四根桿的變形。2、由伸長后的、由伸長后的BC、AC確定確定C點點3、由、由AD 、伸長后的、伸長后的AC確定確定D點點 問題問題 桁架變形后桁架變形后BD長是多少？長是多少？第第1節節 背景背景 問題問題 鋼架變形后尖端的位移是多少？鋼架變形后尖端的位移是多少？第第1節節 背景背景如何求解復雜結構的變形？如何求解復雜結構的變形？本章需要解決的主要問題本章需要解決的主要問題1. 何謂應變能？如何計算桿件系統的應變能？2. 何謂功能原理？如何用功能原

3、理計算變形？舉一個例子。4. 何謂單位載荷法？如何用單位載荷法計算變形？舉一個例子。3. 何謂虛功原理？它與理論力學的虛功原理的聯系和區別？第第8 8章章 能量法能量法第2節 桿件的應變能第3節 功能原理第1節 背景第5節 單位力法第6節 卡氏定理第4節 虛功原理第第2節節 桿件的應變能桿件的應變能應變能應變能 桿件在外力作用下發生彈性變形時，外力功轉變為一種能量，儲存于桿件內，從而使彈性桿件具有對外作功的能力，這種能量稱為彈性應變能，簡稱應變能應變能.FP第第2節節 桿件的應變能桿件的應變能拉伸變形的應變能拉伸變形的應變能dx+dudxFNxFNx微元的位移微元的應變能dxEAFNdxEAF

4、duFdUNN2212桿件的應變能LNLdxEAFdUU0202EALFUN22某一段內力，截面不變化的梁第第2節節 桿件的應變能桿件的應變能扭轉變形的應變能扭轉變形的應變能微元偏轉的角度微元的應變能桿件的應變能某一段內力，截面不變化的梁dxGITTddUP2212LPLdxGITdUU0202PGILTU22第第2節節 桿件的應變能桿件的應變能彎曲變形的應變能彎曲變形的應變能(只考慮彎矩只考慮彎矩)d微元偏轉的角度dxEIxMdxd)(微元的應變能dxEIxMdxMdU2)()(212桿件的應變能200( )2llM xUdudxEI第第2節節 桿件的應變能桿件的應變能組合變形的應變能組合變

5、形的應變能第第8 8章章 能量法能量法第2節 桿件的應變能第3節 功能原理第1節 背景第5節 單位力法第6節 卡氏定理第4節 虛功原理第第3節節 功能原理功能原理構件系統的應變能在數值上等構件系統的應變能在數值上等于外力在加載過程中在相應位移上于外力在加載過程中在相應位移上所做的功，即所做的功，即 U=W 例例1：試求圖示懸臂梁的變形能，并利用：試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自由端功能原理求自由端B的撓度。的撓度。CL12TU4解：解：M xP x( ) UMxEIxl22( )d ()PxEIxl202d P lEI2 36WP vB12由，得UWvPlEIB33 例例2：利用功能

6、原理求：利用功能原理求C截面的撓度。截面的撓度。解：解：UMxEIxl22( )dP bEI laP aEI lb222322232323WP vC12PblxEIxPalxEIxab1210222022ddP a bEI l2226由，得：UWvPa bEI lC223 例例3：利用功能原理求力的作用點的水平位移。其：利用功能原理求力的作用點的水平位移。其中中1，2，3，4桿的長度均為桿的長度均為L.P12345第第8 8章章 能量法能量法第2節 桿件的應變能第3節 功能原理第1節 背景第5節 單位力法第6節 卡氏定理第4節 虛功原理第第4節節 虛功原理虛功原理回顧：理論力學中的虛功原理回顧

7、：理論力學中的虛功原理具有理想約束的質點系，其平衡的充要條件是：具有理想約束的質點系，其平衡的充要條件是：作用于質點系的所有主動力在任何虛位移中作用于質點系的所有主動力在任何虛位移中所做的虛功之和等于所做的虛功之和等于0.0.第第4節節 虛功原理虛功原理材料力學中的虛功原理材料力學中的虛功原理在外力作用下處于平衡的梁結構，任意給它一在外力作用下處于平衡的梁結構，任意給它一個虛位移，則外力在虛位移上所做的虛功，個虛位移，則外力在虛位移上所做的虛功，等于梁的內力在虛變形上所做的虛功。等于梁的內力在虛變形上所做的虛功。初始狀態初始狀態平衡狀態平衡狀態給定虛位移后的狀態給定虛位移后的狀態第第4節節 虛

8、功原理虛功原理材料力學中的虛功原理材料力學中的虛功原理在外力作用下處于平衡的梁結構，任意給它一在外力作用下處于平衡的梁結構，任意給它一個虛位移，則外力在虛位移上所做的虛功，個虛位移，則外力在虛位移上所做的虛功，等于梁的內力在虛變形上所做的虛功。等于梁的內力在虛變形上所做的虛功。外力虛功外力虛功 = = 內力虛功內力虛功 = = 虛應變能虛應變能第第8 8章章 能量法能量法第2節 桿件的應變能第3節 功能原理第1節 背景第5節 單位力法第6節 卡氏定理第4節 虛功原理問題： 如何求C點的位移？（1）抄錄原結構形成新結構（不要外力）（2）在新結構的C點施加單位載荷（3）新結構在單位載荷下處于彈性平

9、衡（3）新結構在單位載荷下處于彈性平衡（4）讓新結構的C點發生虛位移，其大小等于原結構在C點的實位移（4）讓新結構的C點發生虛位移，其大小等于原結構在C點的實位移（5）讓新結構的D,E點如同C點一樣發生虛位移（5）讓新結構的D,E點如同C點一樣發生虛位移（6）讓新結構的其它點如同C點一樣發生虛位移，并把這些新點連成線原結構：要求原結構：要求C點的點的位移位移新結構：施加單位新結構：施加單位載荷載荷讓新結構發生虛位讓新結構發生虛位移，每個點的虛位移，每個點的虛位移等于原結構對應移等于原結構對應點的實位移點的實位移小結單位力法單位力法虛位移原理：在外力作用下處于平衡的梁結構，任意給它一個虛位移原理

10、：在外力作用下處于平衡的梁結構，任意給它一個虛位移，則虛位移，則外力在虛位移上所做的虛功外力在虛位移上所做的虛功，等于，等于梁的內力在虛梁的內力在虛變形上所做的虛功變形上所做的虛功。外力在虛位移上所做的虛功外力在虛位移上所做的虛功梁的內力在虛變形上所做的虛功梁的內力在虛變形上所做的虛功=？梁的內力在虛變形上所做的虛功梁的內力在虛變形上所做的虛功梁的內力在虛變形上所做的虛功梁的內力在虛變形上所做的虛功外力在虛位移上所做的虛功外力在虛位移上所做的虛功單位力法的使用步驟單位力法的使用步驟（1）計算原結構的彎矩方程（2）在所求點施加單位載荷，得到單位載荷結構（3）計算單位載荷結構的彎矩方程（4）使用公

11、式進行計算例例1：試用莫爾定理計算：試用莫爾定理計算圖圖所所示懸臂梁自由示懸臂梁自由端端B的的撓度。撓度。解解：（1）計算原結構的彎矩方程。）計算原結構的彎矩方程。PQM(x)x由力矩平衡，有：由力矩平衡，有：（2）形成單位載荷結構）形成單位載荷結構（3）計算單位載荷結構的彎矩）計算單位載荷結構的彎矩1QM(x)x由力矩平衡，有：由力矩平衡，有：解解：（1）計算原結構的彎矩方程。）計算原結構的彎矩方程。（2）形成單位載荷結構）形成單位載荷結構（3）計算單位載荷結構的彎矩）計算單位載荷結構的彎矩（4）使用公式計算）使用公式計算B點位移點位移直接用功能原理求解此題直接用功能原理求解此題P力在力在B

12、點豎直方向做的功能等于點豎直方向做的功能等于桿件桿件AB儲存的應變能。儲存的應變能。（1）計算結構的彎矩方程。）計算結構的彎矩方程。（2）使用功能原理求）使用功能原理求B點位移點位移用積分法求解此題用積分法求解此題（1）計算結構的彎矩方程。）計算結構的彎矩方程。（2）得到撓曲線微分方程）得到撓曲線微分方程用積分法求解此題用積分法求解此題（2）得到撓曲線微分方程）得到撓曲線微分方程（3）代入邊界條件求）代入邊界條件求c和和d.用積分法求解此題用積分法求解此題（2）得到撓曲線微分方程）得到撓曲線微分方程（3）代入邊界條件求）代入邊界條件求c和和d.（4）得到）得到B點的撓度點的撓度三種方法的比較三

13、種方法的比較積分法積分法功能原理功能原理單位載荷法單位載荷法例例2：試用莫爾定理計算試用莫爾定理計算圖圖所所示懸臂梁自由示懸臂梁自由端端B的轉角的轉角。（1）計算原結構的彎矩方程。）計算原結構的彎矩方程。PQM(x)x由力矩平衡，有：由力矩平衡，有：（2）形成單位載荷結構）形成單位載荷結構（3）計算單位載荷結構的彎矩）計算單位載荷結構的彎矩由力矩平衡，有：由力矩平衡，有：x1QM(x)（4）使用公式計算）使用公式計算B點位移點位移問問 題題 1可以用功能原理直接可以用功能原理直接計算計算B點的轉角嗎？點的轉角嗎？如何用積分法計算如何用積分法計算B點的轉角？點的轉角？問問 題題 2C如何計算任意

14、點如何計算任意點C的位移和轉角？的位移和轉角？例例3 3 試求圖示剛架試求圖示剛架ABCABC在均布荷載在均布荷載 q q 的作用下的作用下A A點的垂點的垂直位移和直位移和C C點的轉角。尺寸點的轉角。尺寸L L和和EIEI已知。剛架剪力和軸已知。剛架剪力和軸力忽略不計。力忽略不計。例例2 2 試求圖示剛架試求圖示剛架ABCABC在均布荷載在均布荷載 q q 的作用下的作用下A A點的垂點的垂直位移和直位移和C C點的轉角。尺寸點的轉角。尺寸L L和和EIEI已知。剛架剪力和軸已知。剛架剪力和軸力忽略不計。力忽略不計。qLRqLRqLRcycxA, 2/, 2/解解：1 1、求剛架的、求剛架

15、的 支座反力支座反力： 2 2、列出各段的彎矩方程、列出各段的彎矩方程：AB段段：)0(2)(1211LxxqxMBC段段)0(2)(222LxLxqxMARcxRcyR1x2xBLLqACARcxRcyR1xABC2x1sP3 3、計算計算A A點的垂直位移，點的垂直位移，應在應在A A點上加點上加 一個垂直方向單位力一個垂直方向單位力 , ,此時此時：1sP1, 1, 1cycxARRR各段的彎矩方程為：各段的彎矩方程為：)0()(1110LxxxM)0()(2220LxxxMBC段：段：根據莫爾積分法：根據莫爾積分法：EJqLEJdxxMxMfLA247)()(40（正，與（正，與 方向

16、一致）方向一致）sPAB段：段：4 4、計算、計算C C截面轉角，截面轉角，應在應在C C截面上加截面上加 一個單位力偶一個單位力偶 ，此時：，此時：1sM0,/ 1,/ 1cycxARLRLR)0(0)(110LxxM)0(/1)(2220LxLxxM根據莫爾積分法：根據莫爾積分法：EJqLEJdxxMxMLc12)()(30（負，與（負，與 方向相反）方向相反）sMARcxRcyR1xABC2x1sM各段的彎矩方程為：各段的彎矩方程為：ABAB段：段：BCBC段：段：例例3 3 求圖示桁架節點求圖示桁架節點D D的垂直位移的垂直位移 及及C C、D D的相對的相對 位移位移 。 DfCDf

17、解解：要求桁架節點：要求桁架節點D D的垂直位移，應在的垂直位移，應在D D點加一垂點加一垂直單位力直單位力 , , 在此單位力作用下各桿內力值在此單位力作用下各桿內力值記為記為 . . 1sP1NiFP12345LLABD3030C112345LLABD3030CAyRByR12345ABDC11為了為了計算節點計算節點C C、D D間的相對位移間的相對位移，應在，應在C C、D D點兩點兩節點連線上加一對相反的單位力節點連線上加一對相反的單位力, ,并求出這對力作并求出這對力作用下各桿內力用下各桿內力, ,記為記為 . .2NiF根據莫爾積分法根據莫爾積分法: :510139. 4iiNi

18、NiDEAPLEALFFf(正值，方向與正值，方向與 一致一致。) )sP5102577. 0iiNiNiCDEAPLEALFFf（正值，相對位移方向與所（正值，相對位移方向與所 設一對向背的單位力方向一設一對向背的單位力方向一 致致, ,即兩點距離加大即兩點距離加大。 ) 桿桿 件件 iL NiF 01NiF 02NiF 1 AC 2 CB 3 AD 4 DB 5 CD 3/2L3/2LLL3/ L-P-P2/3PP-1-12/31000012/3P2/3、計算時，、計算時，由單位力和實際載荷分別引起的內力應采用相由單位力和實際載荷分別引起的內力應采用相 同同的正負號規定的正負號規定。 若為

19、正值，則與所加單位力的方向若為正值，則與所加單位力的方向 相同，否則，則相反。相同，否則，則相反。應用莫爾積分法時應注意：應用莫爾積分法時應注意：、欲求的位移和施加的單位力應理解為、欲求的位移和施加的單位力應理解為廣義力和廣義位移廣義力和廣義位移。若若 為兩點間的為兩點間的相對線位移，則單位力是施加在兩點上的相對線位移，則單位力是施加在兩點上的 方向相反的一對單位力，其作用線與兩點的連線重合。方向相反的一對單位力，其作用線與兩點的連線重合。第第8 8章章 能量法能量法第2節 桿件的應變能第3節 功能原理第1節 背景第5節 單位力法第6節 卡氏定理第4節 虛功原理 2 1 3F1F2F3 332

20、211212121FFFWV,123 2 1 3F1F2F312iiF1122iiFFF112212iiiiVF FFF6012iiF1122iiVFFF1122iiiiFFFF iiVF iiVFiiFV iiFV xFxFEAxFEAxxFFFViiiid)()(2)d(NN2N xFxTGIxTGIxxTFFViiiid)()(2)d(pp2 xFxMEIxMEIxxMFFViiiid)()(2)d(2 ijnjjjiiFFEAlFFV N1NiiFV 2)d(2)d(2)d(2p22N llliEIxxMGIxxTEAxxFFxFxMEIxMxFxTGIxTxFxFEAxFiiid)(

21、)(d)()(d)()(pNN FABCMelae1e11)()(MxlFalMxM 111)(xlaFxM 1)(1e11 lxMxM222)(FxxM 0)(e22 MxM222)(xFxM ABClaFx1x2eRAMFaFllMe 1011d)()(xFxMEIxMwlCABClaFx1x220e222210e11d)()(d)()(xMxMEIxMxMxMEIxMalA 202222d)()(xFxMEIxMa )( )363(13e2 FalaMFlaEI)63(1eFlalMEI MeABCDaa2aMe)(21 eaRRMMaFFFAyD FRDFRAxFRAyFFAx RxMMaFxM)