1、多源測試信息融合多源測試信息融合證據理論基礎（證據理論基礎（2）萬 江 文主要內容主要內容n幾個概念n證據合成規則n基于證據理論的決策n基于證據理論的信息融合22021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合幾個概念幾個概念mass函數、信任函數、似然函數mass函數定義：設函數m是滿足下列條件的映射: m: 20，1 (1) 不可能事件的基本置信度是0，即m()=0 (2) 2 中全部元素的基本置信度之和為1，即 則稱m是2 上的mass函數（質量函數），m(A)稱為A的基本置信度指派值，表示對A的精確信任。3Am(A) 12021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合BABel(A)m(

2、B)概念回顧概念回顧信任函數定義：集合A是識別框架的任一子集，將A中全部子集對應的基本置信度之和稱為信任函數Bel(A)，即Bel：2 0，14注意：注意：mass函數與信任函數的區別！函數與信任函數的區別！2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合概念回顧概念回顧似然函數：設識別框架 ，冪集2 0,1映射，A為識別框架內的任一子集，似然函數（似真度函數）Pl(A)定義為對A的非假信任度，即對A似乎可能成立的不確定性度 ，此時有：5Pl (A) 表示A為非假的信任程度，A的上限概率； Bel() 表示對A為假的信任程度，即對A的懷疑程度。A ( )( )1( )BAPl Am BBel

3、A 證據區間劃分示意圖證據區間劃分示意圖2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合主要內容主要內容n概念回顧n證據合成規則n基于證據理論的決策n基于證據理論的信息融合62021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合貝葉斯融合方法是將前一次檢測得到的后驗概率當作下一次檢測的先驗概率，一次一次疊代。 證據理論無需先驗概率，又是如何關聯檢測結果？（1）兩條證據的合成（2）多條證據的合成72021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合 假設m1,m2分別是同一識別框架上兩條證據基本置信度指派，對應的焦元分別為A1, A2, , AN 和 B1, B2, , BM，由基本置信度指派值m1(A1

4、), m1(A2), ,m1(AN)和m2(B1), m2(B2), ,m2(BM)所確定的mass函數可用圖2來表示。將證據聯合作用下產生的信任度函數稱為原來信任度函數的直和(正交和)：m1 m2。8圖圖2 2 m1和和m2的基本置信度指派的基本置信度指派 (1)(1) massmass函數的幾何表示函數的幾何表示2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合兩證據直和運算可用圖3來描述。大矩形看作總的信任度，每個豎條分別表示證據m1分配到它的焦元A1,A2,AN上的信度，橫條表示證據m2分配到其焦元B1, B2, BM上的信任度，橫條與豎條相交的小矩形面積表示同時分配到Aj和Bj上的信度

5、。因此可以說，兩條證據的聯合作用就是將信度m1(Ai)、m2(Bj)精確的分配給 AiBj上。9圖圖3 3 m1與與m2的聯合作用的聯合作用2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合顯然可以看出，兩個證據聯合作用后，對于識別框架上某一子集C的總信任度可能包含多個小矩形，可以描述成：基于上述圖解，當C=時，將有一部分信任度 分配到空集上，這與信任度函數的定義中要求m()=0是相違背。因此，Shafer提出將這部分信任度丟棄的解決方法，而丟棄之后總的信任度又小于1，所以乘以系數：1012()()ijijABCm A m B12( )()ijijABm A m B112(1()()ijijAB

6、m A m B2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合例1： 對于同一識別框架=a,b,c，1，2兩次檢測的基本置信度指派值如圖4所示，求 兩 次 檢 測 后 集 合C=a,b的基本置信度指派值？11圖圖4 4 示例示例當當C=a,b時，即時，即AB=C2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合證據合成規則（定理1）：設m1和m2分別是同一識別框架上的基本置信度指派函數，焦元分別A1, A2 , , AN和B1, B2 , , BM，假設 ，若映射m:20,1，滿足m是基本置信度指派函數，其中 表示直和(正交和)運算。1212()()1jiABijKmA mB12120()()(

7、 )()( )1jiABCijCmA mBm CmmCCK 2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合證明： 由于已經假設了m()=0，所以下面只須證明13( )1Cm C12121121211212( )()( )()()1()()(1()()()()(1()()()()1ijijijijijijCCCijABCCijCABijijABCABCCijijABABm Cmm Cm A m Bm A m Bm A m Bm A m Bm A m Bm A m B 2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合 證據合成規則中，系數(1/(l一k)稱為歸一化因子，表明在合成時將非0的信任賦

8、給空集。 其中， k的值越大，說明證據沖突程度也越大。142021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合12()()1jiABijKmA mB定理2：設m1,m2,mn是同一識別框架上的基本置信度指派，對應的焦元分別為A1,A2,An，則這n條證據的組合公式 n條證據的組合可按照兩條證據的組合公式，經n-1次組合得到，獲得最終證據與其次序無關 )()( )(1)()()()nnnAAAAnm AmmmAKm AmAmA其中，11122()()()nnnAAKm AmAmA2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合例2：假設識別框架下的三個證據E1,E2,E3，

9、焦元分別為A、B和C（A，B，C不相交），相應的基本置信度指派值m1,m2,m3分別為求合成以后的mass值。16111( )0.8,( )0.1,( )0.1m Am Bm C222( )0.6,( )0.2,( )0.2m Am Bm C333( )0.6,( )0.1,( )0.3m Am Bm C2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合解法1：根據證據合成公式，首先計算證據1和2合成后的結果。171,2122122122( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )0.8 (0.20.2)0.1 (0.60.2)0.1 (0.60.2)0.48Km Am Bm C

10、m BmAm Cm CmAm B121,21,2( )( )0.8 0.6( )0.923110.48m A mAmAK121,21,2( )( )0.1 0.2( )0.038511 0.48m B m BmBK121,21,2( )( )0.1 0.2( )0.038511 0.48m C m CmCK2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合 基于證據1和2的組合結果m1,2，再次利用組合公式，與證據3進行合成。181,2,31,2331,2331,233( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )0.923 (0.10.3)0.0385 (0.60.3)0.038

11、5 (0.60.1 )0.432KmAm Bm CmBm Am CmCm Am B1,231,2,3( )( )0.923 0.6( )0.97211 0.432mA m Am AK1,231,2,3( )( )0.0385 0.1( )0.00711 0.432mB m Bm BK1,231,2,3( )( )0.0385 0.3( )0.02111 0.432mC m Cm CK2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合 解法2：191 ,3 ,2123( )( )( )( )0.8 0.6 0.60.288mAm A mA m A1 ,3 ,2123( )( )( )( )0.1

12、0.2 0.10.002mBm B m B m B1 ,3 ,2123( )( )( )( )0.1 0.2 0.30.006mCm C m C m C1 ,3 ,21,2,31 ,3 ,21 ,3 ,21 ,3 ,2( )( )0.972( )( )( )mAmAmAmBmC1 ,3 ,21,2,31 ,3 ,21 ,3 ,21 ,3 ,2( )( )0.007( )( )( )mBmBmAmBmC1 ,3 ,21,2,31 ,3 ,21 ,3 ,21 ,3 ,2( )( )0.021( )( )( )mCmCmAmBmC2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合 基本性質 Demps

13、ter證據組合規則滿足如下的具備基本性質。 (1) 交換性： 201221mmmm證明： 由于D-S合成規則中采用的是乘法策略，而乘法滿足交換率，所以合成規則也滿足交換率。 交換性準則由Dempster最早提出，該準則保證了在組合證據沒有任何先驗知識的情況下，認為兩個證據是平等的，調換組合的順序不改變組合結果。2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合(2) 結合率：21123123()()mmmmmm證明： 該定理可借助于共信任度函數來證明。 假定識別框架下的三組證據E1,E2,E3，相應的共信任度函數為Q1, Q2, Q3，焦元分別Ai, Bj, Ch，則 且 ， 的合成結果為ijD

14、AB D 12QQ1,2121,212( )( )QQQK Q D Q D111,212( 1)()()DDDKQ D Q D其中2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合22,hADCA ， 的合成結果為123()QQQ123111,231,231,212311,21231231123123( )()( 1)( )( )( )( )( )( )( )( 1)( )( )( )( )( )( )( 1)( )( )( )AAAAAAAAAQ AQQQQA QAQA QAKQ A QA QAKQ A QA QAQ A QA QAQ A QA QAQQQ2021-7-7多源測試信息融合多源測

15、試信息融合23,ijhAABCA 同理同理： 12311123123123( )()( 1)( )( )( )( )( )( )AAAQ AQQQQ A QA QAQ A QA QAQQQ 所以，所以， 。由于基本置信度指派函數和共信任度函數存在對應。由于基本置信度指派函數和共信任度函數存在對應關系，可知關系，可知123123123()()QQQQQQQQQ123123123()()mmmmmmmmm2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合(3) 極化性：若m()0,同一識別框架(包含m個元素)下n個相同證據合成后，單元素焦元總的信任分配值增加，m個元素焦元即的信任分配值減小，且m越大

16、越明顯。證明: 假設下的兩個證據E1=E2，相應的基本置信度指派函數為m1,m2(m1=m2),焦元分別為Ai,Bj，單元素焦元 ，合成后單元素焦元的增量為：24(1,2,., )hC hk2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合251211212121122112112()()()()()()()()()()()()()()()()()()ijhijijhihjhijijhihjhijijABChhijABhhijABCACBChijABhijABCACBCijABm Am Bm Cm Cm Am Bm Cm Cm Am Bm Cm Am Bm Cm A m Bm Am Am B或或

17、2112)()()()()ijijijhABijABm B m Cm Am B2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合2612mm1212()()()()ijhijhihjhihjhijhjABCABCACBCACBCm A m Bm C m B,1121212()()2() 1()()()()()ijhijihjhijhhjijABCABACBChijABm Cm CmBm A mBm Cm AmB ,121212()()()()0()()ijhijihjhihijhjijABCABA CBCA CijABm Cm Bm A m Bm Am B,所有單焦元的信任分配的總值1()0kh

18、hm C2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合焦元的信任分配增量為2712112111212111212( )( )( )( )()()( )( )()()()()( )( )2( )()()()ijijijijiijijABijABijABjABAijABmmmmm AmBmmm AmBm AmBmmmmBm AmB 111212111122112( )( )2( )()()()( )( )2( ) 1()()( )0()()ijiijijijjABAijABijABijABmmmmBm AmBmmmm AmBmm AmB 2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合例3：設有

19、兩個證據E1和E2，焦元分別為A,B,C，基本置信度指派函數為281212121212( )( )0.3,( )( )0.2,( )( )0.1,()()0.1,()()0.3m AmAm Bm Bm Cm Cm ABmABm BCm BC根據Demspter證據組合公式122212212221212( )( )( )()( )( )( )( )( )( )()()( )()( )0.42Km A m Bm Cm BCm B mAm Cm C mAm BmABm AB m Cm BC mA2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合291221212( )( )()()( )( )10.3

20、 0.30.10.1 0.30.2591 0.42m A mAmABm AB mAmAK122212212( )( )()()()( )()( )10.2 0.20.1 0.30.1 0.20.30.2931 0.42m B m BmABm BCm AB m Bm BCmBK2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合12212212( )( )()()( )()( )10.1 0.1 0.30.3 0.1 0.30.2761 0.42m C m Cm BCm BC m Cm BCmCK121212111( )( )( )( )( )( )mAmBmCm Am Bm C(4)魯棒性：在證據

21、推理中，魯棒性是指證據焦元的基本置信度指派發生小變化時，其組合結果不會發生質的變化。 證據的基本置信度指派函數發生變化前后，在不改變合成結果的主焦元信任值變化趨勢時，證據焦元的基本信任分配變化的最大范圍，即為魯棒性范圍。 當識別框架中僅含有兩個單焦元元素時，可利用證據的沖突強度Ik來衡量，其計算公式為3012121212(,)(,)(,)(,)KK E EIE EK E EC E E其中， 表示證據間的一致程度； 表示證據間的沖突值。1212(,)()()ijijABC E Em A mB1212(,)()()ijijABK E Em A mB2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合3

22、1Ik取不同數取時，參與合成的兩證據間具有如下的關系。0,000.5,1,1,1KKKKIKIKCIKCIK證據間的沖突量為 ，證據間沒有沖突0兩證據是一致的，沖突不影響合成結果0.5兩證據間是沖突的，且影響合成結果=兩證據間完全沖突，不能使用合成規則可見，D-S合成規則對 情況的處理是合理的，但對于 的情況，將無法使用或者使用之后得出與事實相悖的結果。基于上面的沖突強度定義，可得出D-S合成規則的魯棒范圍。0.5KI10.5KI2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合主要內容主要內容n概念回顧n證據合成規則n基于證據理論的決策n基于證據理論的信息融合2021-7-7多源測試信息融合多

23、源測試信息融合32基于證據理論的決策基于證據理論的決策 用證據理論組合證據后，如何進行決策？ 在實際工程應用中是跟具體應用密切相關的問題，需要具體問題具體分析。 理論上一般采用以下幾種方法：決策方法1：基于信任函數的決策 （1）根據組合后得到的m，求出信任值函數BEL，則該信任函數就是我們的判決結果。（軟判決）332021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合基于證據理論的決策基于證據理論的決策 （2）若希望縮小真值的范圍，或找出真值，則可以采用最小點原則求出真值。（最小點原則） 集合A的信任函數為Bel（A），若在A中去掉某個元素bi后的集合為B，且|Bel（B）-Bel（A）|，則認為元

24、素bi可以去掉。直至再也不能按照此方法去掉元素為止。342021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合基于證據理論的決策基于證據理論的決策決策方法決策方法2：基于基本置信度指派值的決策 設 ，滿足:， ，若有：則A1即為判決結果，其中1，2為預先設定的門限。3512A ,A 1iim(A) max m(A),A 2iii1m(A )max m(A ), AAA且 12121()()()()()m Am Amm Am 2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合基于證據理論的決策基于證據理論的決策決策方法決策方法3： 基于最小風險的決策基于最小風險的決策 設有設有識別框架識別框架 =x1,

25、 xq，決策集，決策集A=a1,ap，在狀態，在狀態為為xl時作出決策時作出決策ai的風險函數為的風險函數為 r(ai , xl)，i=1,2,p，l=1,q，又設有一批證據又設有一批證據E在在上產生了一基本概率賦值，焦元為上產生了一基本概率賦值，焦元為A1,An，基本概率賦值函數為，基本概率賦值函數為m(A1),m(An)，令：，令： 若若 使得使得 ，則，則ak即為所即為所求的最優決策。求的最優決策。361(,)(,), 1,.,; 1,.,kjijikxAjr aAr axipjnA 1()(,)()niijjjR ar aAmA kaA 1arg min(),.,()ikpaaR aR

26、 a 2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合基于證據理論的決策基于證據理論的決策決策方法決策方法4：類概率函數的方法 類概率函數的方法是一種定量方法，就是把類概率函數作為概率P(A)的點估計，進而采用最大后驗概率或最小Bayes代價等經典判別準則得到決策。類概率函數定義：性質：2021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合37Ag(A)(A)(A)(A)belplbelA()0,( )1, 0(A)1(A)1(A)(A)(A) (A)(A)1(A) (A)ggggbelgplgg 主要內容主要內容n概念回顧n證據合成規則n基于證據理論的決策n基于證據理論的信息融合382021-7-

27、7多源測試信息融合多源測試信息融合 圖圖5 5 基于基于D-S證據理論的信息融合一般思路證據理論的信息融合一般思路傳感器傳感器1命題的證據區間命題的證據區間傳感器傳感器2命題的證據區間命題的證據區間傳感器傳感器n命題的證據區間命題的證據區間證據組合成規則證據組合成規則最終判決規則最終判決規則融融合合結結果果計算計算mj(A), Belj(A), Plj(A)證據合成證據合成決策決策基于證據理論的信息融合基于證據理論的信息融合 在一個或多個（如個或多個（如n）傳感器的測試系統中有）傳感器的測試系統中有m個目標，即個目標，即m個命題個命題A1，A2，Am。每個傳感器都基于觀測證據產生。每個傳感器都

28、基于觀測證據產生對目標的身份識別結果，即產生對命題對目標的身份識別結果，即產生對命題Ai的后驗可信度分配的后驗可信度分配值值Mj(Ai)；之后在融合中心借助于；之后在融合中心借助于D-S合成規則，獲得融合的合成規則，獲得融合的后 驗 可 信 度 分 配 值 ，后 驗 可 信 度 分 配 值 ， 確 定 檢 測 對 象 的 最 終 狀 態 。確 定 檢 測 對 象 的 最 終 狀 態 。392021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合1. . 單傳感器多測量周期的信息融合單傳感器多測量周期的信息融合 設傳感器在各個測量周期中，對命題設傳感器在各個測量周期中，對命題A Ai i的后驗可信度分配

29、為的后驗可信度分配為M1(Ai)，M2(Ai)，Mn(Ai)，i=1,2,k 其中，其中，Mj( (Ai) )表示在第表示在第j個周期中個周期中( (j=1,2,n) )對命題對命題AiAi的可信的可信度分配值。度分配值。 根據根據證據合成公式證據合成公式，可得該傳感器依據，可得該傳感器依據n個測量周期的累計量測個測量周期的累計量測對對k個命題的融合后驗可信度分配為個命題的融合后驗可信度分配為-1isiAA 1 s njiM(A )cM (A ), i1,2,k 其中其中iisisiAA1 s n1 s nc1M (A )M (A ) 基于證據理論的信息融合基于證據理論的信息融合402021-

30、7-7多源測試信息融合多源測試信息融合2. . 多傳感器多測量周期的信息融合多傳感器多測量周期的信息融合 設設m個傳感器，各傳感器在各測量周期上獲得的后驗可信度分配個傳感器，各傳感器在各測量周期上獲得的后驗可信度分配為為Msj(Ai)，i=1,2,k；j=1,2,n；s=1,2,m 式中，式中，Msj( (Ai) )表示第表示第s個傳感器個傳感器(s=1,2,m)在第在第j個測量周期個測量周期( (j=1,2,n) ) 上對命題上對命題Ai(i=1,2,k)的后驗可信度分配。以下分兩種情的后驗可信度分配。以下分兩種情況討論多傳感器多測量周期命題可信度分配的融合。況討論多傳感器多測量周期命題可信

31、度分配的融合。基于證據理論的信息融合基于證據理論的信息融合412021-7-7多源測試信息融合多源測試信息融合傳感器傳感器1M1j(Ai)不同周期融合不同周期融合M1(Ai)傳感器傳感器2M2j(Ai)不同周期融合不同周期融合M2(Ai)傳感器傳感器mMmj(Ai)不同周期融合不同周期融合Mm(Ai)j=1，2，n融融合合中中心心M(Ai)i=1，2，k圖圖6 6 分布式分布式計算計算 （1 1）分布式計算（先單傳感器多周期融合，再中心融合）分布式計算（先單傳感器多周期融合，再中心融合） 如圖如圖6所示，分布式計算的主要思想：首先對于每一個傳感器，基于所示，分布式計算的主要思想：首先對于每一個傳感器，基于n n個個周期的累積量測計算每一個命題的融合后驗可信度分配，然后基于這些融合后周期的累積量測計算每一個命題的融合后驗可信度分配，然后基于這些融合后驗可信度分配，進一步計算總的融合后驗可信度分配。驗可信度分配，進一步計算總的融合后驗可信度分配。基于證據理論的信