1、19 / 16銳角的三角比的意義是九年級數學上學期第二章第一節的內容.銳角三角比的概念是以相似三角形為基礎建立起來的， 本講主要講解銳角的正切和余切、正 弦和余弦的概念，重點是會根據直角三角形中兩邊的長求相應的銳角的三角比的 值，難點是在幾何圖形和直角坐標系中靈活運用銳角的三角比進行解題，為解直角三角形做好準備.知識結構模塊一：正切和余切1、正切直角三角形中一個銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切(tangent).銳角A的正切記作tan A.銳角A的對邊BCtanA銳角A的鄰邊AC2、余切直角三角形中一個銳角的鄰邊與對邊的比叫做這個銳角的余切(cotangent).銳角A的余切記作cot

2、A.銳角A勺鄰邊cot A 銳角A勺對邊AC bBC a例題解析郭殷年九【例1】 如圖，在Rt ABC中，ACB 90 , A的對邊是 , A的鄰邊是 B的對邊是, B的鄰邊是【難度】【答案】【解析】【例2】如圖，在Rt MNP中,MPN 90 ， PQMN ,垂足為點Q.(1) 在RtMNP中，M的對邊是 ,M的鄰邊是;在Rt MPQ中，M的對邊是 ,M的鄰邊是.(2) 在Rt 中，N的對邊是 MP;在Rt 中， N的鄰邊是 NQ.(3) MPQ的鄰邊是 , NPQ的對邊是 .【例3】如圖，在Rt MNP中,MPN 90 , PQ MN ,垂足為點 Q.(1)tan MMQNP(2)PQ,M

3、P _QN -PN(用正切或余切表示)【例 4】 在 RtABC 中， C 90 , AC = 4, BC = 5 ,求 tan A、cot A tan B、cot B 的值.【難度】【答案】【解析】【例 5】 在 RtABC 中， C 90 , AC = 4, AB = 5,求 tan A、cot A、tan B、cot B 的值.【難度】【答案】【解析】【例6】 如圖，矩形 ABCD中，對角線 AC、BD相交于點O,已知OA = 2, AB = 3,求 tan OAD 和 cot ODC 的值.【難度】【答案】【解析】4【例7】 如圖，已知正比例函數 y J2x的圖像上有一動點 A, x軸

4、上有一動點 B,求tan AOB 和 cot AOB 的值.【難度】【答案】【例8】已知，在Rt ABC中，C【解析】求：（1） AB的長；（2） tan B的值.【難度】【答案】【解析】模塊二：正弦和余弦知識精講1、正弦直角三角形中一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個銳角的正弦（sine）.銳角A的正弦記作sin A. Bsin A銳角A的對邊Si*BC aAB c2、余弦直角三角形中一個銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個銳角的余弦（cosine）.銳角A的余弦記作cos A.cosA銳角A的鄰邊斜邊ACAB例題解析MPN 90 , PQ MN ,垂足為點 Q.(1)sin MMPNP(2)PQMQ【

5、例9】如圖，在Rt MNP中,PN MP（用正弦或余弦表示）【例 10】 在 Rt ABC 中， C 90 , AC = 4, AB = 5,求 sin A, cos A, sin B, cos B 的值.【難度】【答案】【解析】【例 11】 在 Rt ABC 中， C 90 , AC = 4, BC = 5,求 sin A, cos A, sin B, cos B 的值.【難度】【答案】【解析】P （2, 3）.求 OP與x軸正半軸的夾角的【例12如圖，在直角坐標平面內有一點正弦和余弦的值.【難度】【答案】【解析】【例 13】 已知，在 Rt ABC 中， C 90 , BC = 9, si

6、n A =-. 4求：（1） AB的長；（2） sin B的值.【難度】【答案】【解析】2【例14】 已知，在 Rt ABC中， C 90 , sin A =-,求sin B的值.3【難度】【答案】【解析】模塊三：銳角的三角比 知識精講1、銳角的三角比一個銳角的正切、余切、正弦、余弦統稱為這個銳角的三角比.X定義表送式取值范圍相互關系正 切A的對邊tan A 1AA 八iA的鄰邊, atan A b,b tan B atan A 0（A為銳角）1 tan A cot A余 切A的鄰邊 cot A,A的對邊 b cot A 一 a,-a cot B bcot A 0（A為銳角）正 弦A的對邊si

7、n A斜邊a sin A c.D b sin B c0 sin A 1（A為銳 角）sin A cos 90AcosA sin 90A余 弦A的鄰邊cosA斜邊.b cos A - cc a cos B 一 c0 cosA 1（A為銳 角）【例15如圖，在Rt ABC中,C 90 , AB = 5, BC = 4,求 A的四個三角比的值.【難度】【答案】【解析】【例16】在Rt ABC中,【難度】【答案】AC 90 , BC = 3, tan A =-,求 B的四個三角比的值.4【解析】【例 17】在 RtABC 中， C 90 ， sin B = 2,求 sinA、cosA、tanA 和 c

8、otA. 4【難度】【答案】【解析】【例 18】 在 RtABC 中， C 90 , AB = 13, BC = 12, AC = 5 ,求 sin A、cosA、tanA 和 cotA .【難度】【答案】【解析】【例19】已知等腰 ABC中，底邊BC = 20 cm,面積為40 cm2,求sin B和tan C.【難度】【答案】【解析】【例 20 如圖，在 Rt ABC 中， ABC 90 , BD AC ,若 AB = 9, BC = 12,求 sin A、 cos 、tan 、cot C 的值.90【難度】【答案】【例21如圖，在Rt ABC中,【解析】求 cos ABC 和 tan A

9、BC 的值.【難度】【答案】【解析】【例22】在直角坐標平面內有一點A （3, 1）,點A與原點。的連線與x軸正半軸的夾角為 ，求 sin 、cos 、tan 和 cot .【難度】【答案】【解析】【例23】已知一次函數y = 2x-1與x軸所夾的銳角為 ，求tan和sin的值.【難度】【答案】【解析】【例24如圖，在平面直角坐標系內，O為原點，點A的坐標為（10, 0）,點B在第一象限內，BO = 5, sin BOA 3.求：（1）點 B 的坐標；（2） cos BAO的值.5【難度】【答案】【解析】【例25】直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、8,現將 ABC如圖那樣折疊，使點A與點B重

10、合，折痕為 DE,求sin CBE的值.【難度】【答案】【解析】【例26如圖，在平行四邊形 ABCD中，AB = 10, B為銳角，sin B =- , tan ACB -, 52求AD、AC的長.【難度】【答案】【解析】【例27 如圖，在 ABC中，AB = 20, BC = 21 , AC = 13,求 ACB的四個三角比的值.【難度】【答案】【解析】【例28】已知 ABC中，sin A = , tan B = 2,且AB = 29.求 ABC的面積.13【難度】【答案】【解析】【例29 如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC, AB AD,對角線 AC、BD相交于點 E, 4BD CD

11、, AB = 12, cot ADB ,求：（1） DBC 的余弦值；（2） DE 的長. 3【難度】【答案】【解析】【例30如圖，在 ABC中， ACB 90=16 : 15,求 sin 、cot 的值.【難度】【答案】【解析】CD AB 于點 D, DCB ,若 AD : BC【例31 如圖，在 ABC中， ABC 45線.求：（1） ABC的面積；（2）【難度】【答案】【解析】3一 ,sin A - , AB = 14, BD 是 AC 邊上的中 5ABBAC 90 ,已知 A (1 , 0) , B (0, 3) , M 為【例32如圖，在等腰 Rt ABC中,BC 中點，求 tan

12、MOA .【難度】【答案】【解析】【習題1】已知，在Rt ABC中， C 90 , AB = 5, AC = 4.則：(1) sin A =, cos A =, tan A =, cot A =(2) sin B =, cos B =, tan B=, cot B =.【難度】【答案】【解析】2 一【習題 2】在 RtABC 中， C 90 , BC = 3, cos A =，貝U AB =5【難度】【答案】【解析】【習題3】已知 A B 90 ,則sin A - coB的值為【難度】【答案】【解析】ABC 中，AB = BC = 20, AC 4/10 ,求 sin A 和 tan A 的值

13、.【習題4】如圖，在【難度】【答案】【解析】【習題5】如圖，在RtABC中， C 90 , CD AB于D.已知AC = 8, BC = 15 .求DCA的三角比.【難度】【答案】【解析】【習題6】如圖，在Rt ABC中， ACB 90 , sin A = 2 ,點D、E分別在邊 AB、3AC 上，DE AC, DE = 2, DB = 9,求 DC 的長.【難度】【答案】【解析】【習題7】已知，銳角的頂點在坐標原點，一邊與 x軸正半軸重合，另一邊經過5點p（1,上5）.求的二角比. 2【難度】【答案】【解析】【習題8】已知一次函數y = 4x -4圖像分別與x軸、y軸交于A、B兩點，P是 3

14、線段AB的中點，求sin POB的值.【難度】【答案】【解析】【習題 9】ABC 中， ACB 90 , CD AB 于點 D, DCA , AD : BC = 7 : 12,求sin 、tan 的值.【難度】【答案】【解析】1【習題 10 如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD = AB = CD = 4, cos C - 4(1)求BC的長；(2)求 tan ADB 的值.【難度】【答案】【解析】課后作業【作業1】 在Rt ABC中， C 90 , A、 B的對邊是a、b,則b （）A. A的正弦值B.B的余弦值C.A的余切值D.B的余切值【作業2】在Rt ABC中， C 90

15、 , AB = c, AC = b, BC = a,則下列關系不成立的是（）A. b = c - cos AC.cos B【難度】【答案】【解析】3【作業 3】已知，在 Rt ABC 中， C 90 , AB = 16, cos A = 3.AC的長；（2） tan B的值.【作業4】已知 ABC的三邊a、b、c滿足a : b : c = 5 : 12 : 13,則sin A + cos A【難度】【作業5】若是銳角，且cot【難度】【答案】【解析】【作業6】【難度】【答案】【解析】已知 ABC中，BC = 10, cos C =1 , AC = 8 .求AB的長和 B的正切值.8【作業7】 如圖，在 ABC中，AB = BC = 10, AC 2而，求sin B和tan B的值.【難度】【答案】【解析】【作業8如圖，在Rt ABC中,C 90 , AC =